2025年机械振动学考试题及答案

2025年机械振动学考试题及答案一、选择题（每题3分，共30分）1.以下关于机械振动分类的描述中，错误的是（）A.按振动系统自由度可分为单自由度、多自由度和连续系统振动B.按激励特性可分为自由振动、受迫振动和自激振动C.按振动规律可分为简谐振动、非简谐周期振动和随机振动D.按阻尼特性可分为无阻尼振动、欠阻尼振动和过阻尼振动2.某单自由度弹簧质量系统的固有频率为ω₀，若将弹簧刚度增大为原来的2倍，质量减小为原来的1/2，则新的固有频率为（）A.ω₀B.√2ω₀C.2ω₀D.ω₀/√23.对于欠阻尼系统的自由振动，其振幅衰减的速率主要取决于（）A.固有频率B.阻尼比C.初始位移D.初始速度4.受迫振动的稳态响应幅值与下列哪项无关（）A.激励力幅值B.系统固有频率C.阻尼比D.初始位移5.多自由度系统的主振型向量满足正交性，其物理意义是（）A.不同主振型之间动能和势能的相互独立B.主振型向量在数学上线性无关C.主振型对应的固有频率互不相同D.主振型向量的模长相等6.连续梁的横向振动微分方程中，弯曲刚度EI的量纲是（）A.[MLT⁻²]B.[ML²T⁻²]C.[ML³T⁻²]D.[ML⁴T⁻²]7.振动测试中，加速度传感器的工作原理基于（）A.压电效应B.电磁感应C.电阻应变D.电容变化8.对于旋转机械的不平衡振动，其振动频率与转子转速的关系是（）A.1倍频B.2倍频C.0.5倍频D.随机频率9.下列哪种方法可用于求解多自由度系统的固有频率（）A.瑞利法B.杜哈梅积分C.传递函数法D.傅里叶变换10.振动隔离中，当激励频率ω大于√2倍固有频率ω₀时，隔振效果（）A.逐渐变差B.逐渐变好C.无变化D.先变差后变好二、填空题（每空2分，共20分）1.单自由度系统的运动微分方程一般形式为______。2.临界阻尼系数c_c的计算公式为______（用质量m和固有频率ω₀表示）。3.受迫振动稳态响应的相位差φ与激励频率ω、固有频率ω₀和阻尼比ζ的关系为______。4.多自由度系统的柔度矩阵[δ]与刚度矩阵[K]的关系为______。5.连续弦的横向振动微分方程为______（用线密度ρ、张力T表示）。6.振动信号的频谱分析中，傅里叶变换的作用是______。7.旋转机械的临界转速是指______等于系统固有频率时的转速。8.振动控制的基本方法包括隔振、吸振和______。9.对于简谐振动x(t)=Acos(ωt+φ)，其速度幅为______。10.主振动是多自由度系统在______下的振动形式。三、简答题（每题8分，共32分）1.简述振动系统等效质量的计算原则，并举例说明其在工程中的应用。2.比较位移幅频特性、速度幅频特性和加速度幅频特性的异同点。3.说明多自由度系统主振型正交性的物理意义，并写出其数学表达式（以质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]表示）。4.分析阻尼对受迫振动响应的影响，重点说明共振区和非共振区的不同表现。四、计算题（共48分）1.（12分）一单自由度弹簧质量阻尼系统，质量m=2kg，弹簧刚度k=800N/m，阻尼系数c=8N·s/m。系统受到简谐激励力F(t)=40cos(20t)N作用，求：（1）系统的固有频率ω₀、阻尼比ζ、阻尼固有频率ω_d；（2）稳态响应的振幅X和相位角φ；（3）若激励频率变为ω=10rad/s，振幅如何变化？2.（16分）两自由度弹簧质量系统如图1所示（示意图：质量m₁和m₂通过弹簧k₁、k₂连接，k₁连接m₁与固定端，k₂连接m₁与m₂），已知m₁=m₂=1kg，k₁=k₂=2N/m，求：（1）系统的质量矩阵[M]和刚度矩阵[K]；（2）固有频率方程并求解固有频率ω₁和ω₂；（3）主振型向量{φ}₁和{φ}₂，并验证其关于[M]的正交性。3.（20分）一简支梁长度为L，弯曲刚度为EI，单位长度质量为ρA（ρ为材料密度，A为截面积），推导其横向自由振动的微分方程，并求解前两阶固有频率（边界条件：x=0和x=L处挠度y=0，弯矩M=EI∂²y/∂x²=0）。五、综合分析题（20分）某大型风机在运行中出现异常振动，振动测试显示其1倍频（与转速同频）幅值显著增大，且振动方向以径向为主。结合机械振动学知识，分析可能的故障原因及诊断方法：（1）列出3种可能的故障类型；（2）针对每种故障，说明其振动特征（如频率成分、相位特性、振幅随转速变化规律等）；（3）提出2种用于验证故障原因的测试手段。答案一、选择题1.D（过阻尼属于阻尼特性分类，但无阻尼是独立类别，正确分类应为无阻尼、欠阻尼、临界阻尼、过阻尼）2.C（ω₀=√(k/m)，新k'=2k，m'=m/2，故ω₀'=√(2k/(m/2))=√(4k/m)=2√(k/m)=2ω₀）3.B（振幅衰减由阻尼比ζ决定，衰减因子为e^(-ζω₀t)）4.D（稳态响应与初始条件无关）5.A（主振型正交性意味着不同主振动之间动能和势能无耦合）6.C（EI=弯矩/(曲率)，弯矩量纲[ML²T⁻²]，曲率量纲[L⁻¹]，故EI量纲[ML³T⁻²]）7.A（压电式加速度传感器利用压电材料的压电效应）8.A（不平衡力频率等于转速频率）9.A（瑞利法用于估算固有频率，杜哈梅积分用于求解非周期激励响应）10.B（当ω>√2ω₀时，传递率小于1，隔振效果随ω增大而增强）二、填空题1.mẍ+cẋ+kx=F(t)2.c_c=2mω₀3.φ=arctan[2ζ(ω/ω₀)/(1-(ω/ω₀)²)]4.[δ]=[K]⁻¹5.ρ∂²y/∂t²=T∂²y/∂x²6.将时域信号转换为频域信号，分析频率成分7.转子旋转频率8.阻尼控制（或主动控制）9.Aω10.初始条件与某一主振型成比例三、简答题1.等效质量计算原则：将分布质量或复杂结构的动能等效为集中质量的动能。例如，齿轮传动系统中，可将各齿轮的转动惯量按速比转换为等效的直线运动质量，简化为单自由度系统分析固有频率。2.相同点：均反映响应幅值随激励频率的变化规律，共振频率均为ω₀/√(1-2ζ²)（当ζ较小时近似为ω₀）。不同点：位移幅频特性在ω→0时趋于静位移，ω→∞时趋于0；速度幅频特性在ω→0时趋于0，ω→∞时趋于F₀/(cω)；加速度幅频特性在ω→0时趋于0，ω→∞时趋于F₀/(mω²)。3.物理意义：不同主振型对应的振动能量相互独立，系统总能量为各主振动能量之和。数学表达式：{φ}_i^T[M]{φ}_j=0（i≠j），{φ}_i^T[K]{φ}_j=0（i≠j）。4.阻尼在共振区（ω≈ω₀）对振幅抑制作用显著，阻尼比增大，共振峰幅值大幅降低；在非共振区（ω远小于或远大于ω₀），阻尼对振幅影响较小，低阻尼系统的响应幅值接近无阻尼情况。四、计算题1.（1）ω₀=√(k/m)=√(800/2)=20rad/s；ζ=c/(2mω₀)=8/(2×2×20)=0.1；ω_d=ω₀√(1-ζ²)=20×√(0.99)≈19.9rad/s。（2）频率比λ=ω/ω₀=20/20=1（共振）；振幅X=F₀/[k√((1-λ²)²+(2ζλ)²)]=40/[800×(2×0.1×1)]=40/(800×0.2)=0.25m；相位角φ=arctan[2ζλ/(1-λ²)]=arctan(∞)=90°（或π/2rad）。（3）当ω=10rad/s时，λ=0.5；X=40/[800×√((1-0.25)²+(2×0.1×0.5)²)]=40/[800×√(0.5625+0.01)]=40/(800×0.756)=0.066m，振幅减小。2.（1）质量矩阵[M]=[[1,0],[0,1]]；刚度矩阵[K]=[[k₁+k₂,-k₂],[-k₂,k₂]]=[[4,-2],[-2,2]]。（2）固有频率方程：|[K]-ω²[M]|=0→(4-ω²)(2-ω²)-4=0→ω⁴-6ω²+4=0；解得ω₁²=(6-√(36-16))/2=3-√5≈0.764，ω₁≈0.874rad/s；ω₂²=3+√5≈5.236，ω₂≈2.288rad/s。（3）主振型：对于ω₁²=3-√5，代入[K]-ω₁²[M]=[[1+√5,-2],[-2,-1+√5]]，取第一元素为1，第二元素为(1+√5)/2≈1.618，故{φ}₁=[1,1.618]^T；同理{φ}₂=[1,-0.618]^T。验证正交性：{φ}₁^T[M]{φ}₂=1×1+1.618×(-0.618)≈1-1=0，满足正交。3.横向振动微分方程推导：梁的弯曲应变能U=(1/2)∫₀^LEI(∂²y/∂x²)²dx，动能T=(1/2)∫₀^LρA(∂y/∂t)²dx。由哈密顿原理δ∫(T-U)dt=0，得EI∂⁴y/∂x⁴+ρA∂²y/∂t²=0。边界条件：x=0和x=L时，y=0，∂²y/∂x²=0。设y(x,t)=Y(x)e^(iωt)，代入方程得Y''''(x)-(ρAω²/EI)Y(x)=0，通解Y(x)=Acos(βx)+Bsin(βx)+Ccosh(βx)+Dsinh(βx)，其中β⁴=ρAω²/EI。利用边界条件：x=0时，Y(0)=A+C=0，Y''(0)=-Aβ²+Cβ²=0→A=C=0；x=L时，Y(L)=Bsin(βL)+Dsinh(βL)=0，Y''(L)=-Bβ²sin(βL)+Dβ²sinh(βL)=0→联立得sin(βL)=0（因sinh(βL)≠0），故βL=nπ（n=1,2,…）。因此β=nπ/L，ωₙ=β²√(EI/ρA)=(n²π²/L²)√(EI/ρA)。前两阶固有频率：ω₁=π²/L²√(EI/ρA)，ω₂=4π²/L²√(EI/ρA)。五、综合分析题（1）可能故障：转子不平衡、不对中、轴承磨损。（2）振动特征：-转子不平衡：1倍频幅值主导（占总能量80%以上），径向振动明显，相位稳定，振幅随转速升高而增大（与转速平方成正比）。-不对中：除1倍频外，2倍频幅值显著（可达1倍频的60%以上），轴向振动增大，相位差随联轴节类型变化（如齿式联轴节轴向振动突出）。