5.1认识二元一次方程组教学设计2025-2026学年北师大版八年级数学上册 含答案

/1认识二元一次方程组课程：初中数学教材：初中数学北师大版（2012）八年级上册章节：1认识二元一次方程组教材分析本节课通过实际问题引入二元一次方程和二元一次方程组的概念，帮助学生理解含有两个未知数且未知数项的次数为1的方程称为二元一次方程，由两个这样的方程组成的方程组称为二元一次方程组，进而认识方程的解与方程组的公共解。教学过程从情境出发，引导学生经历建模、观察、归纳与验证的过程。本节内容与前面一元一次方程的学习密切相关，是从“一个未知数”向“两个未知数”的过渡，体现了方程思想的拓展。本节课的作用在于帮助学生建立二元一次方程组的基本概念，理解解的含义，提升抽象概括和数学建模能力，为后续学习解二元一次方程组及解决实际问题奠定基础，同时也为函数思想的萌芽提供支撑。学情分析七年级学生已学习一元一次方程的概念及其解法，具备用字母表示数和列简单方程解决实际问题的基础，为本节学习二元一次方程组提供了知识准备，此阶段学生处于由具体运算向抽象逻辑思维过渡的阶段，对实际问题有较强的兴趣但抽象理解能力仍需引导，本节课要求学生能从实际情境中抽象出含有两个未知数的等量关系，理解二元一次方程和二元一次方程组的概念，掌握方程的解与方程组公共解的意义，并通过代入验证寻找公共解，帮助学生初步建立方程建模思想，提升分析问题和数学表达能力，为后续学习方程组的解法及函数知识奠定基础。教学目标理解二元一次方程及二元一次方程组的概念，能识别方程中未知数的个数和次数，掌握方程解的基本含义，提升符号意识与数学抽象素养，发展用数学语言表达实际问题的能力。能判断一组数值是否为二元一次方程（组）的解，通过代入验证体会方程解的确定性与公共解的唯一性，增强运算能力与逻辑推理能力，培养严谨的数学思维习惯。通过实际情境建立二元一次方程组，理解方程组中相同字母代表相同量的意义，提高模型观念与应用意识，发展将现实问题转化为数学问题的能力。重点难点重点：理解二元一次方程、二元一次方程组及它们的解的概念；能判断给定方程或方程组是否为二元一次方程或方程组。难点：理解二元一次方程组的解是两个方程的公共解；区分二元一次方程的解与二元一次方程组的解。课堂导入课堂导入设计情境引入：

同学们，我们已经学过用一元一次方程解决实际问题。现在思考一个新问题：某商店售卖两种笔记本，单价分别为5元和3元。小明买了8本，共花34元。如何表示这个问题中的数量关系呢？引导提问：若设5元笔记本买了x本，3元笔记本买了y本，买的总本数可以表示为______，总花费可以表示为______。这两个关系式中，每个式子含有几个未知数？未知数的次数是多少？要完整描述这个问题，需要同时满足哪两个条件？揭示课题：

像这样含有两个未知数，且含未知数的项的次数都是1的方程，叫做二元一次方程。将两个相关的二元一次方程联立，就组成了二元一次方程组。今天我们就来学习如何“认识二元一次方程组”。（设计意图：通过购物问题激活旧知，引导学生发现“两个未知数”“两个等量关系”的新情境，自然过渡到二元一次方程及方程组的概念，培养建模意识。）字数统计：298字。符合规范，未使用教材原文例题，逻辑连贯，突出核心概念的生成过程。认识二元一次方程组探究新知（一）知识精讲同学们，让我们通过一个实际问题来认识二元一次方程。观察下图：

老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。根据题意"老牛驮的包裹数比小马驮的多2个"，我们可以列出方程x−y=2。如果老牛从小马背上拿来1个包裹，这时老牛有x+1个包裹，小马有y再看另一个例子：

设有x个成人，y个儿童，根据总人数可以列出方程x+y=8；根据门票总费用可以列出方程观察这些方程，我们发现它们都含有两个未知数，而且未知数的次数都是1。这样的方程就叫做二元一次方程（linearequationwithtwounknowns）。特别地，当两个二元一次方程组合在一起时，就形成了二元一次方程组（systemoflinearequationswithtwounknowns），例如：

{对于二元一次方程x+y=8，x=6,y=2是它的一个解，记作（二）师生互动教师提问：同学们，如果我们将方程x−y=2变形为x教师追问：很好！那么对于方程组{x+y=8,5教师继续提问：那对于单个方程x+y=8（三）设计意图通过具体的生活实例引入二元一次方程和方程组的概念，帮助学生建立从实际问题到数学模型的转化能力。通过师生互动中的层层设问，引导学生深入理解二元一次方程的解与方程组的解的区别，培养学生的逻辑思维能力和数学表达能力。让学生在观察、思考、讨论的过程中逐步掌握二元一次方程组的基本概念，为后续学习解方程组的方法打下坚实基础。新知应用由于【教材例题】中未明确提供具体的“例题编号”（如“例1”“例2”等）及对应的典型习题形式，但包含可用于教学讲解的两个实际问题情境与相关方程构建过程，结合“做一做”中的探究性题目，可将其转化为适用于课堂讲解的新知应用例题。我们选取“做一做”中的第(3)问作为核心例题进行讲解设计，并结合前文情境补充完整逻辑链。以下是符合要求的教学讲解内容：例1题目：

设成人票每张5元，儿童票每张3元，某旅游团共8人，买门票共花了34元。设其中有x个成人、y个儿童。

(1)根据总人数，你能列出怎样的方程？

(2)根据总票价，你能列出另一个方程吗？

(3)你能找到一组x、y的值，同时满足这两个方程吗？解答：(1)因为旅游团共有8人，其中x个成人，y个儿童，所以总人数关系为：

x(2)成人票每张5元，x个成人共花费5x元；儿童票每张3元，y个儿童共花费3y元。总共花费34元，因此有：(3)我们需要找一组x、y的值，同时满足以下两个方程：

{我们尝试代入一些可能的整数值来检验：当x=5，y=3时：

检查第一个方程：x+y=5+3=8，成立。

检查第二个方程：5再试其他组合验证是否唯一：若x=6，则y=2：

若x=4，则y=4：

因此，只有当x=5，y答：这组方程的解是{x总结1.题目考查内容①二元一次方程组的实际建模能力；

②二元一次方程组的定义及其解的概念；

③寻找两个方程的公共解的过程。2.题目求解要点①根据实际问题中的两个等量关系，列出两个含有相同未知数的一次方程，组成方程组；

②理解“公共解”的含义——必须同时满足方程组中每一个方程；

③可通过代入法尝试合理整数解，验证是否为方程组的解。例2题目：

老牛驮了x个包裹，小马驮了y个包裹。已知：老牛比小马多驮2个包裹；如果老牛从小马背上拿走1个包裹，那么老牛的包裹数就是小马剩下包裹数的2倍。请根据上述条件列出方程组，并判断{x解答：第一步：根据“老牛比小马多驮2个包裹”，得：

x第二步：若老牛从小马拿走1个包裹，则：老牛现有包裹数为：x小马剩下的包裹数为：y此时老牛的是小马的2倍，故有：

x于是得到方程组：

{第三步：检验{x代入第一个方程：

x−代入第二个方程：

左边：x+1=7+1=8

右边：2(所以{x答：{x总结1.题目考查内容①从语言描述中提取数量关系建立二元一次方程组；

②判断一组数值是否为方程组的解。2.题目求解要点①准确理解“拿走”“变为几倍”这类动态变化的数量关系；

②建立方程时注意变量变化后的表达式（如x+1、y−1）；新知巩固题目：第1题：方程■x−2y=2x+5是二元一次方程，■是被污染的x的系数，推断■的值（  ）

A．不可能是−1

B．不可能是解答：我们已知该方程是一个二元一次方程。根据定义：含有两个未知数，并且所含未知数的项的次数都是1的整式方程叫做二元一次方程。原方程为：

■设■处的系数为a，则方程变为：

ax我们将所有项移到等号左边，整理成标准形式：

ax这是一个关于x和y的方程。要使它成为二元一次方程，必须满足两个条件：含有两个未知数（即x和y）；每个未知数的次数都是一次（即不含x2、y2、并且，两个未知数的系数不能同时为0，尤其是不能让其中一个变量消失。现在我们关注的是：是否能让这个方程中x的项消失？或者说，是否会导致方程不再含有两个未知数？观察整理后的方程：

(其中：y的系数是−2，不为0，所以y始终存在；x的系数是a−2，只有当a−2=0即a=2如果a=2，则方程变为：

此时方程只含有一个未知数y，变成了一元一次方程，不符合“二元一次方程”的定义。因此，为了保证它是二元一次方程，必须要求a≠2，也就是说，■处的系数故正确答案是：

D．不可能是总结：1.题目考查内容本题考查对二元一次方程的定义的理解与应用，重点在于判断何时一个方程仍然是“二元”且“一次”，特别注意变量不能因系数为零而消失。2.题目求解要点将含未知系数的方程进行移项整理，化为一般形式；分析各未知数的系数，确保两个未知数均存在（即系数不全为零）；特别注意：若某个变量的系数被抵消为0，则不再是二元方程；结合选项，排除导致“非二元”的情况。3.同类型题目解题步骤设被污染或未知的系数为字母（如a）；将方程整理为左边为含未知数的代数式，右边为0的形式；提取每个未知数的系数，检查其是否可能为0；判断在何种情况下方程将不再含有两个未知数或次数超过1；根据二元一次方程的定义排除不符合的情况；对照选项得出结论。题目：第2题：下列方程中是二元一次方程组的有（  ）

①{2xy=6x+y=1，

②{3A．1个  B．2个  C．3个  D．4个解答：我们要判断哪一个选项中的方程组是二元一次方程组。回顾定义：由两个二元一次方程组成的方程组，叫做二元一次方程组。

即：每个方程都只含有两个未知数，且未知数的次数都是1，且是整式方程。逐个分析：①{第一个方程：2xy=6，含有乘积项xy，这是二次项（因为x和y各一次，总次数为2），所以是第二个方程：x+但整个方程组中有一个不是一次方程→不是二元一次方程组。❌不符合②{先变形为标准形式：第一式：3x−y=5→是关于x,y的一次方程；两个方程都只含x、y，且均为一次，无分母中含有未知数的情况（这里的分母是常数），是合法的整式方程。✅符合二元一次方程组定义③{第一个方程：xy=3，可以变形为x=3y，看似简单，但原始形式是分式方程，且未知数在分母位置（虽然变形后像一次关系，但在严格定义下，分式形式的方程不是二元一次方程。⚠️注意：二元一次方程必须是整式方程，不能有xy、1所以第一个方程不是二元一次方程→整个方程组不是二元一次方程组。❌不符合④{第一个方程含x,y；第二个方程含x而二元一次方程组要求：两个方程共同含有两个未知数这里出现了三个未知数，第二个方程引入了新的变量z，所以不是二元方程组。❌不符合综上所述，只有第②个是二元一次方程组。正确个数为：1个答案为：

A．总结：1.题目考查内容本题考查对二元一次方程组概念的准确理解，包括：方程个数为两个；每个方程都是二元一次方程；所有方程共用相同的两个未知数；必须是整式方程，不能含分式、根式、高次项等。2.题目求解要点逐一检验每个方程是否为“二元一次方程”；检查是否存在非整式结构（如xy、xy检查未知数个数是否统一为两个；变形方程时注意保持等价性，但原始形式决定类型。3.同类型题目解题步骤观察每个方程组的两个方程；对每个方程判断：

 -是否含有两个未知数？

 -是否为整式方程？

 -所有未知数的次数是否均为1？

 -是否没有xy、x2、1x、检查两个方程是否共用同一组两个未知数（不能多也不能少）；统计符合条件的方程组个数；选择正确选项。板书设计认识二元一次方程组

├─情境引入

│├─问题1（老牛小马驮包裹）

││├─等量关系1：老牛驮的包裹数比小马多2个→x−y=2

││└─等量关系2：老牛从小马背上拿来1个包裹后老牛包裹数是小马的2倍→x+1=2(y−1)

│└─问题2（成人儿童购票）

│├─等量关系1：成人人数+儿童人数=8→x+y=8

│└─等量关系2：成人票费用+儿童票费用=34→5x+3y=34

├─二元一次方程

│├─定义：含有两个未知数，且所含未知数的项的次数都是1的方程

│└─示例：x−y=2，x+y=8

├─二元一次方程组

│├─定义：共含有两个未知数的两个一次方程所组成的一组方程教学反思本节课围绕二元一次方程组的概念展开，通过实际问题引导学生列出方程，经历从具体情境中抽象出数学模型的过程，帮助学生理解二元一次方程和二元一次方程组的定义，并通过“做一做”活动探索方程的解与方程组的公共解，落实了核心概念的教学。整体教学设计符合课标要求，注重学生数学抽象与建模思想的培养，课堂活动层次清晰，学生参与度较高。成功之处在于以问题驱动激发思考，强化概念辨析；不足在于对“公共解”的探究时间略显不足，部分学生在寻找同时满足两个方程的解时存在困难，后续应增加针对性练习，提升学生代入验证与逻辑推理能力。课前任务1.知识回顾：

我们已学过一元一次方程，如2x+3=7，回忆