第14题几何直观VS代数暴力（解透一题） 学生版

第20题几何直观VS代数暴力（解透一题）【安徽2025届高三下学期4月质量检测数学试题T14】已知正三棱锥的各顶点均在半径为1的球的球面上，则正三棱锥内切球半径的最大值为.该试题的命题意图是综合考查正三棱锥与外接球、内切球的关系，同时考察空间几何优化问题的分析能力.题目要求正三棱锥各顶点均在半径为1的球面上，暗示考生需从对称性角度分析正三棱锥的形状.当正三棱锥为对称性最强的正四面体时，内切球半径可能达到最大值.解答需要将内切球半径转化为关于正三棱锥体积与表面积的函数，并利用约束条件（顶点在球面上）寻找最大值，从而将空间几何与极值问题的结合.方法一几何直观+合情猜想由平面几何知识知道在所有圆内接多边形中，正多边形的面积最大.当边数趋于无穷时，内接正多边形的面积趋近于圆面积；在所有圆内接多边形中，正多边形的周长最大.当边数增加时，周长趋近于圆周长.若周长固定，圆内接多边形的面积最大值对应的形状为正多边形.此时，所有边长相等且对称分布.若面积固定，圆内接多边形的周长最小值对应的形状仍为正多边形.此时，对称性使得周长效率最优.在固定外接球半径R=1时，正四面体的体积是所有正三棱锥中最大的.这是因为其结构紧凑，各顶点到外接球心的距离均匀分布，空间利用率最高.正四面体的表面积是所有同体积正三棱锥中最小的，因其各面均为全等的正三角形，无冗余的空间分布.根据内切球半径公式，当体积V最大且表面积S最小时，r自然达到最大值.正四面体的体积公式为，表面积公式为，代入可得

，而正四面体内接于半径为1的球内，则，故.方法点评：从几何直观出发，进行合情猜想，计算简洁，适合小题，但如果是解答题，则需要严密推证，于是可以采用等体积法求内切球半径的表达式，结合外接球几何构造法（如补形法或轴截面分析）进行综合计算.方法二代数推证设正三棱锥的底面长为a，高为h.正三棱锥D-ABC的底面是一个等边三角形，顶点到底面的垂足是底面的中心.如图底面中心到底面三顶点的距离为（等边三角形的高的），即底面正三角形的外接圆半径，中心（下底外接圆圆心）到底边距离为，正三棱锥的高为h，故侧棱长为为.侧面三角形的斜高.想象正三棱锥的外接球图如下，作出其轴截面图（过轴的截面），则以侧棱为腰，下底外接圆直径为底的等腰三角形内接于外接球的大圆.故借助初中例题（已知三角形两边a、b及夹高h，外接圆半径为）或解三角形的正弦定理有内切球的球心到正三棱锥各面的距离相等，即为r.想象一下其图象，结合等体积法为，其中V是正三棱锥的体积，S是正三棱锥的表面积.对于正三棱锥，所以借助有

求最大值的角度一:令，问题转化为求的最大值.用导数法.原函数为，令，则.对求导：对求导：令，可得：将代入并化简，解得临界点.将代入计算：当或时，，所以最大值在处取得.函数在区间上的最大值为.求最大值的角度二:令，则，（从分式函数最值得处理角度）同时(关键:分式函数一次函数与二次函数的组合则思考用基本不等式求最值)求最大值的角度三:不妨设，，所以，所以，设，，所以，综上都有内切球半径的最大值为.本题通过约束条件下的最值问题，考查学生对正三棱锥对称性、内切球与外接球关系的综合运用能力，以及将几何问题转化为代数优化的数学思维.关键是通过对称性分析锁定正四面体为最优解，再结合公式计算验证.在方法选择上，用几何直观快速定位关键矛盾，再通过代数运算实现精确突破.【空间问题平面化】1．平面上一个正三角形的内切圆半径与外接圆半径R之比为，在空间类似的结论为一个正四面体内切球半径与外接球半径R之比为．【训练空间想象能力】2．正三棱锥内有一个内切球，经过棱锥的一条侧棱和高作截面，正确的图是()A． B． C． D．【问题一般化】3．正三棱锥的内切球的半径为，外接球的半径为.若，则的最小值为.【不定正三棱锥的变式为三条棱两两互相垂直】4．正三棱锥P﹣ABC的三条棱两两互相垂直，则该正三棱锥的内切球与外接球的半径之比为（）A．1：3 B．1： C． D．【正三棱锥的变式为正四棱锥的相关问题】5．攒尖是古代中国建筑中屋顶的一种结构形式．宋代称为撮尖，清代称攒尖通常有圆形攒尖、三角攒尖、四角攒尖、八角攒尖．也有单檐和重檐之分．多见于亭阁式建筑，园林建筑以四角攒尖为例，它的主要部分的轮廓可近似看作一个正四棱锥．若此正四棱锥的侧面等腰三角形的底角为，则侧棱长与底面外接圆的半径的比为（

）A． B． C． D．【拓展训练】6．已知正三棱锥的侧面均为等腰直角