3-1 微分中值定理（罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理）

一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理3.1微分中值定理复习：闭区间上连续函数的性质在上达到最大值与最小值;上可取最大与最小值之间的任何值;4.当时,使必存在上有界;在在几何发现这6个相应点处有水平切线如何用分析语言来描述这一几何现象呢？如图所示,曲线在x1—x6这6点均是曲线在局部的最高点或最低点.首先设曲线的方程为y=f(x),则曲线在x=x1相应点处有水平切线,即函数y=f(x)x=x1相应点是曲线的局部最高点，在x1

的某一邻域内有f(x)

f(x1).可导函数图形局部最高(低)点处有水平切线.该点的导数为零在x=x1处可导,且f

(x1)=0,几何发现设函数f(x)在点x0

的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0

处可导，如果对任意的x

U(x0)，有(或f(x)

f(x0))，那么f

(x0)=0.费马引理

f(x)

f(x0)证:

设则通常称导数等于零的点为函数的驻点.几何发现设函数f(x)在点x0

的某邻域U(x0)内有定义，并且在x0

处可导，如果对任意的x

U(x0)，有(或f(x)

f(x0))，那么f

(x0)=0.费马引理

f(x)

f(x0)费马引理的结论非常好，但不太好用.有时需要快速地判别一条用费马引理就是要而这有时是困难的．因此需要将费马定理的条件进行改造。曲线在一个指定的区间上是否有水平切线。判别曲线是否有局部最高(低)点，且函数在这点是否可导，如图，曲线y=f(x)在开区间并且它们都平行于弦AB.那么这条曲线在[a,b]到底满足了哪些条件才做到了这一点呢？从图可以看出：(1)

它是连续曲线；(2)

除两个端点外处处有有不垂直于x轴的切线(3)

f(a)=f(b).任意曲线只要在一个闭区间上满足上述三个条件，(a,b)内有5条水平切线，(可导)则在相应的开区间内一定有水平切线.abBAabBA如果函数f(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导；(3)

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点

，使得f

(

)=0.一、罗尔定理

故在[a,b]上取得最大值

M

和最小值m.若M=m,则因此证：若M>m,则M和m中至少有一个与端点值不等,不妨设则至少存在一点使则由费马引理得abBA如果函数f(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导；(3)

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点

，使得f

(

)=0.一、罗尔定理

abBA如果函数f(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导；(3)

在区间端点处的函数值相等，即f(a)=f(b)，那么在(a,b)内至少存在一点

，使得f

(

)=0.一、罗尔定理

1.罗尔定理中的ξ是(a,b)内的某一点，定理仅从理论上指出了它的存在性，而没有给出它的具体取值；

2.罗尔定理的条件是充分非必要条件，只要三个条件均满足，就充分保证结论成立。两点说明：但如果三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：注意f(x)在[0,1]不连续f(x)在(-1,1)不可导f(0)

f(1)xy1Oxy1-1Oxy1Oxy2

Ox2

Oyf(0)

f(2

)f(0)

f(2

)且不连续罗尔定理三个条件不全满足，则定理的结论可能成立也可能不成立。看如下例子：例

如果方程证明方程有一个正根有一个小于的正根。证：又由罗尔定理可知在故f(x)在(0,x0)内连续罗尔定理的几何意义：切线平行于(端点)弦弦的斜率切线斜率==f(b)

–

f(a)=f

(

)(b

–

a).那么在曲线上至少存在一点

，在该点处的切线水平。并且两端点处纵坐标相等，外处处有不垂直于x轴的切线，闭区间上的连续函数除区间两个端点那么在(a,b)内至少存在一点

，使得如果函数f(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导，f(b)

–

f(a)=f

(

)(b

–

a).二、拉格朗日中值定理作辅助函数

且在(a,b)内可导,证:问题转化为证由罗尔定理知至少存在一点即定理结论成立.证毕

成立几点说明(1)

公式

f(b)

–

f(a)=f

(

)(b

–

a)叫做拉格朗日中值公式.(2)

拉格朗日中值公式对于b<a

也成立.(3)

拉格朗日中值公式的有限增量形式：(4)

拉格朗日中值定理也叫有限增量定理或微分中值定理.

则

(5)拉格朗日中值定理的两个条件是使结论成立的充分不必要条件；(7)当f(a)=f(b)时，拉格朗日中值定理即为罗尔中值定理；几点说明：罗尔定理拉格朗日中值定理拉格朗日中值定理是罗尔中值定理的推广。罗尔中值定理是拉格朗日中值定理的特例。定理如果函数f(x)在区间I

上连续，I内可导且导数恒为零，那么f(x)在区间I

上是一个常数.推论

如果函数y=f(x)与y=g(x)在区间(a,b)内的导数处处相等，即f

(x)=g

(x)，则这两个函数在(a,b)内只相差一个常数，即f(x)-g(x)=C．Lagrange中值公式=0证明等式证:

设由推论可知(常数)令x=0,得又故所证等式在定义域上成立.自证:经验:欲证时只需证在

I

上3-1.6.

证:

设中值定理条件,即因为故因此应有例.

证明不等式xyO那么在(a,b)内至少存在一点

，使得如果函数f(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导，f(b)

–

f(a)=f

(

)(b

–

a).拉格朗日中值定理当函数满足拉格朗日定理的条件时，在区间内拉格朗日定理的几何意义：至少存在一点

，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线弦的斜率=切线斜率成立那么在(a,b)内至少存在一点

,使得如果函数f(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导，f(b)

–

f(a)=f

(

)(b

–

a).拉格朗日中值定理当函数满足拉格朗日定理的条件时，在区间内拉格朗日定理的几何意义：至少存在一点

，使得该点的切线平行于曲线两端点(a,f(a))与(b,f(b))的连线弦的斜率=切线斜率=曲线成立如果函数f(x)及F(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导；(3)

对任一x

(a,b)，F(x)0，那么在(a,b)内至少存在一点

，使得成立思考:

柯西定理的下述证法两个

不一定相同上面两式相比即得结论.错!三、柯西中值定理

柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导；(3)

对任一x

(a,b)，F(x)0，那么在(a,b)内至少存在一点

，使得成立柯西中值定理如果函数f(x)及F(x)满足(1)

在闭区间[a,b]上连续；(2)

在开区间(a,b)内可导；(3)

对任一x

(a,b)，F(x)0，那么在(a,b)内至少存在一点

，使得成立柯西中值定理是拉格朗日中值定理的推广。拉格朗日中值定理是柯西中值定理的特例。例

设成立。解：原式变形为令满足柯西中值定理条件。有等式成立。

1.微分中值定理的条件、结论及关系罗尔定理拉格朗日中值定理柯西中值定理2.微分中值定理的应用(1)证明恒等式(2)证明不等式(3)证明有关中值问题的结论关键:

利用逆向思维设辅助函数费马引理内容小结F(x)=xF(x)=x课后练习习题3-11,,2,4,5,6,7,83-1.11(1)思考与练习1)函数在区间[1,2]上满足拉格朗日定理条件,则中值2)设有个根,它们分别在区间上.方程3-1:5费马(1601–1665)法国数学家,他是一位律师,数学只是他的业余爱好.他兴趣广泛,博览群书并善于思考,在数学上有许多重大贡献.他特别爱好数论,他提出的费马大定理:至今尚未得到普遍的证明.他还是微积分学的先驱,费马引理是后人从他研究最大值与最小值的方法中提炼出来的.机动目录上页下页返回结束拉格朗日(1736–1813)法国数学家.他在方程论,解析函数论,及数论方面都作出了重要的贡献,近百余年来,数学中的许多成就都直接或间接地溯源于他的工作,他是对分析数学产生全面影响的数学家之一.机动目录上页下页返回结束柯西(1789–1857)法国数学家,他对数学的贡献主要集中在微积分学,《柯西全集》共有27卷.其中最重要的的是为巴黎综合学校编写的《分析教程》,《无穷小分析概论》,