正弦函数、余弦函数的性质（第一课时周期性与奇偶性）课件2025-2026学年高一上学期数学人教A版必修第一册

第5章

三角函数5.4.2正余弦函数的性质第一课时

周期性与奇偶性【导学1】一般的函数图像都有哪些性质可以研究？【解答】图像特点、单调性、奇偶性、最值(极值)等等【导学2】类比以往对函数性质的研究，你认为应研究正弦函数、余弦函数的哪些性质？观察它们的图象，你能发现它们具有哪些性质？一.周期性根据研究函数的经验，我们要研究正弦函数、余弦函数的单调性、奇偶性、最大（小）值等．另外，三角函数是刻画“周而复始”现象的数学模型，与此对应的性质是特别而重要的．一.周期性

非零常数T叫做这个函数的周期（period）．

一.周期性

根据上述定义，有如下结论：【1】正弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，

最小正周期是2π【2】余弦函数是周期函数，2kπ(k∈Z且k≠0)都是它的的周期，

最小正周期是2π【周期函数的理解】

一.周期性

一.周期性【例1】求下列函数的周期：(1)y=3sinx，x∈R；一.周期性

【例1】求下列函数的周期：(1)y=3sinx，x∈R；∀x∈R，有3sin(x+2π)=3sin

x.由周期函数的定义可知，原函数的周期为2π.（1）解一.周期性

令z=2x，由x∈R得z∈R，且y=cos

z的周期为2π，即cos(z+2π)=cos

z，于是cos(2x+2π)=cos

2x，所以cos

2(x+π)=cos

2x，x∈R.由周期函数的定义可知，原函数的周期为π.（2）解

解【变式】1.求下列三角函数的周期：(1)y=7sinx，x∈R；(2)y=sin

2x，x∈R；

(4)y=|cosx|，x∈R.【变式】1.求下列三角函数的周期：(1)y=7sinx，x∈R；因为7sin(x+2π)=7sin

x，由周期函数的定义知，y=7sin

x的周期为2π.（1）解(2)y=sin

2x，x∈R；因为sin

2(x+π)=sin(2x+2π)=sin

2x，由周期函数的定义知，y=sin

2x的周期为π.（2）解

（3）解(4)y=|cosx|，x∈R.y=|cos

x|的图象如图(实线部分)所示.由图象可知，y=|cos

x|的周期为π.(4)解【变式】2求下列三角函数的最小正周期：(1)y=|sinx|；(2)y=cos

πx；

【变式】2求下列三角函数的最小正周期：(1)y=|sinx|；由f(x)=|sin

x|，f(x+π)=|sin(x+π)|=|sin

x|=f(x)，得y=|sin

x|的最小正周期为π(或通过图象判断).（1）解(2)y=cos

πx；

（2）解

（3）解

（4）解【探究】观察正弦曲线和余弦曲线，可以看到正弦曲线关于原点O对称，余弦曲线

关于y轴对称.所以正弦函数是奇函数，余弦函数是偶函数.【注意】①判断函数的奇偶性时，一定要先判断函数的定义域是否关于原点对称，

只要定义域不关于原点对称，那么这个函数肯定不具备奇偶性.②由奇偶性我们知道正弦曲线关于原点(0,0)对称，余弦曲线关于y轴(x=0)

对称.③正弦曲线和余弦曲线即是中心对称图形，又是轴对称图形.

二.奇偶性

（1）解二.奇偶性函数f(x)=|sin

x|+cos

x的定义域为R，因为∀x∈R，都有-x∈R，又f(-x)=|sin(-x)|+cos(-x)=|sin

x|+cos

x=f(x)，所以函数f(x)=|sin

x|+cos

x是偶函数.（2）解

（3）解【变式】1.下列函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？【解】(1)奇函数

(2)偶函数(3)奇函数(4)奇函数二.奇偶性

课本203页练习第3题【变式】2.判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)=sinxcosx；

（1）函数的定义域为R，关于原点对称.∵f(-x)=sin(-x)cos(-x)=-sin

xcos

x=-f(x)，∴f(x)=sin

xcos

x为奇函数.

解析√三.周期性与奇偶性的综合运用

解析√三.周期性与奇偶性的综合运用

解析

解析1

解析

课堂小结

2.判断函数奇偶性应把握好的两个方面：

一看函数的定义域是否关于原点对称；