2026年高考数学常考考点专题之抛物线和答案

2026年高考数学常考考点专题之抛物线一．选择题（共10小题）1．（2025•泰安四模）已知O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，P为抛物线C上任意一点（不与O重合），Q为PF的中点，则直线OQ的斜率的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．[-12，12] D．（﹣2．（2025•柳州二模）若点A（2，1）在抛物线x2＝2py（p＞0）上，F为抛物线的焦点，则|AF|＝（）A．1 B．2 C．3 D．43．（2025•辽宁模拟）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，C上一点P到y轴的距离为34，则|PF|A．32 B．2 C．94 D4．（2025•涧西区校级一模）已知点A，B在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，设C的焦点为F，线段AB的中点M在C的准线l上的射影为M′，且|AB|=3|MM'|，则向量A．π6 B．π3 C．2π3 5．（2025•诸城市校级模拟）已知F为抛物线y2＝2x的焦点，直线2x﹣y﹣4＝0与抛物线交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．172 B．3172 C．3176．（2025•湖北模拟）过抛物线C：y2＝4x上的一点P作切线l，设l与x轴相交于点M，F为C的焦点，直线PF交C于另一点Q，则△PQM面积的最小值为（）A．833 B．4 C．16397．（2025•鹤壁二模）如图，曲线AOB是抛物线C：x2＝4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|＝4，则点B到C的焦点的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．18．（2025•云南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（t，2），满足|MF|＝2，则p＝（）A．12 B．1 C．2 D．9．（2025•鲤城区校级模拟）直线mx﹣ny﹣n＝0上存在两点A，B，使得A，B到直线y＝﹣1的距离等于它们到点F（0，1）的距离，则nmA．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）10．（2025•蚌山区校级模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若cos∠BAF=35，|AF|＝10，则A．1 B．2 C．3 D．4二．多选题（共5小题）（多选）11．（2025•邵阳模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线过点A（﹣1，0），M是抛物线上的动点，则（）A．p＝2 B．当|MF|＝t|MA|时，t的最小值为22C．点M到直线y＝x+3的距离的最小值为2 D．当MN→=2NF→（多选）12．（2025•河北三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点（A点在x轴上方），点P在C的准线上，则下列结论正确的是（）A．|AF|+4|BF|的最小值为9 B．∠APB≤πC．当△ABP为等边三角形时，△ABP的面积为243D．若点P的坐标为（﹣1，0），且|PA|＝4|PB|，则直线l的斜率为4（多选）13．（2025•黑龙江一模）已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，准线为l，点M（﹣4，m）在A．直线OM的倾斜角为135° B．l的方程为y=-1C．|MF|＝5 D．C在点M处的切线方程为2x+y+4＝0（多选）14．（2025•苏州校级二模）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若p＝1，则（）A．开口向上的抛物线的方程为y=1B．|AB|＝4 C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为34D．阴影区域的面积大于4（多选）15．（2025•青秀区校级二模）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝5，则（）A．F的坐标为（1，0） B．x0＝±4 C．y0＝3 D．|OM|=4三．填空题（共5小题）16．（2025•湖北模拟）已知点（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，T为直线y＝x﹣2上的一动点，过点T作C的2条切线，切点分别为M，N，直线TM、TN分别交x轴于点A、B，则AB的最小值为，△TAB外接圆半径的最小值为．17．（2025•高台县校级模拟）已知点A（a，2）为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p＝．18．（2025•南京校级二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为PQ的中点．若FQ→=-3FP→，点M到l的距离为4，则p的值为19．（2025•麦积区模拟）已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AB|＝12，若△OAB面积为46，则p＝20．（2025•南开区二模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），倾斜角为45°的直线l过点F．若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为．四．解答题（共5小题）21．（2025•上犹县校级模拟）已知动点P在曲线y2＝8x上运动，O为坐标原点，Q为线段OP中点，记Q的轨迹为曲线C．（1）求Q的轨迹方程C．（2）已知A（1，2）及曲线C上的两点B和D，直线AB和直线AD的斜率分别为k1和k2，且k1+k2＝1，求证：直线BD过定点．22．（2025•山海关区校级模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点．当θ＝60°时，|AB|=16（1）求抛物线E的方程；（2）证明：无论θ如何变化，OA→⋅OB（3）点M（3，0），直线AM与E交于另一点C，直线BM与E交于另一点D，证明：△ABM与△CDM的面积之比为定值．23．（2025•江苏模拟）设O为坐标原点，抛物线C1：y2=2x与C2：y2=2px(p＞0)的焦点分别为F1，F2，F1为线段OF2的中点．点A1，B1在C1上（A1（1）求曲线C2的方程；（2）设直线A1B1的方程为y＝2x﹣2，求直线A1A2的斜率；（3）若直线A1A2与B1B2的斜率之积为﹣2，求四边形A1A2B2B1面积的最小值．24．（2025•沧州校级三模）已知抛物线W：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l1：x﹣y+1＝0与W相切．（1）求W的方程．（2）过点F且与l1平行的直线l2与W相交于M，N两点，求|MN|．（3）已知点P（4，4），直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．25．（2025•固始县校级模拟）已知圆M：（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝16（a≠0）的圆心M在抛物线N：x2＝2py（p＞0）上，且圆M与抛物线N的准线相切．如图，过抛物线N上的三个不同点A，B，C（B在A，C之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D，E，F．（1）求圆M和抛物线N的方程；（2）是否存在常数λ，使得DA→⋅FC（3）当点C的横坐标为4时，以C为直角顶点，作抛物线的两个内接Rt△CPQ及Rt△CRT，求线段PQ，RT的交点坐标．

2026年高考数学常考考点专题之抛物线参考答案与试题解析一．选择题（共10小题）题号12345678910答案BBACCCCCCD二．多选题（共5小题）题号1112131415答案ABDABDACDABDBD一．选择题（共10小题）1．（2025•泰安四模）已知O为坐标原点，F为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点，P为抛物线C上任意一点（不与O重合），Q为PF的中点，则直线OQ的斜率的取值范围是（）A．[﹣1，1] B．（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞） C．[-12，12] D．（﹣【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】由抛物线的方程及抛物线的性质，结合基本不等式的应用求解即可．【解答】解：由题意可得：F(0，不妨设P（2pt，2pt2），其中t≠0，Q(pt，则直线OQ的斜率为1+4t又4t+1即直线OQ的斜率的取值范围是（﹣∞，﹣1]∪[1，+∞）．故选：B．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了基本不等式的应用，属中档题．2．（2025•柳州二模）若点A（2，1）在抛物线x2＝2py（p＞0）上，F为抛物线的焦点，则|AF|＝（）A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】B【分析】由抛物线的方程，结合抛物线的定义求解．【解答】解：已知点A（2，1）在抛物线x2＝2py（p＞0）上，则4＝2p，即p＝2，则|AF|=1+p故选：B．【点评】本题考查了抛物线的方程，重点考查了抛物线的定义，属基础题．3．（2025•辽宁模拟）已知F为抛物线C：y2＝3x的焦点，C上一点P到y轴的距离为34，则|PF|A．32 B．2 C．94 D【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】A【分析】根据抛物线的方程得准线方程，再利用抛物线的定义即可求解．【解答】解：由题可得准线方程为x=-3由C上一点P到y轴的距离为34，得点P到直线x=-34由抛物线的定义可知|PF|=3故选：A．【点评】本题主要考查抛物线的性质应用，属于基础题．4．（2025•涧西区校级一模）已知点A，B在抛物线C：y2＝2px（p＞0）上，设C的焦点为F，线段AB的中点M在C的准线l上的射影为M′，且|AB|=3|MM'|，则向量A．π6 B．π3 C．2π3 【考点】直线与抛物线的综合；余弦定理．【答案】C【分析】根据梯形中位线可得|MM'|=12(|AP|+|BQ|)【解答】解：过A，B分别作AP⊥l，BQ⊥l，此时MM′是梯形ABQP的中位线，所以|MM'|=1因为|AP|＝|AF|，|BQ|＝|BF|，所以|MM'|=1所以|AB|=3cos＜=1当且仅当|AF|＝|BF|时，等号成立，所以FB→则FB→，FA故选：C．【点评】本题考查抛物线的定义，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．5．（2025•诸城市校级模拟）已知F为抛物线y2＝2x的焦点，直线2x﹣y﹣4＝0与抛物线交于A，B两点，则△ABF的面积为（）A．172 B．3172 C．317【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】C【分析】直线AB方程与抛物线方程联立后化简得2x2﹣9x+8＝0，再结合韦达定理可求得|AB|=852，利用点到直线距离公式求得高h=35【解答】解：易知抛物线y2＝2x的焦点坐标为F(1设A（x1，y1），B（x2，y2）联立y2=2xy=2x-4，消去y并整理得2x2﹣9x+8由韦达定理得x1所以|AB|=1+易知F到直线2x﹣y﹣4＝0的距离为h=|1-0-4|则S△ABF故选：C．【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于基础题．6．（2025•湖北模拟）过抛物线C：y2＝4x上的一点P作切线l，设l与x轴相交于点M，F为C的焦点，直线PF交C于另一点Q，则△PQM面积的最小值为（）A．833 B．4 C．1639【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】设P（x0，y0），则切线l的方程为y＝y0+2y0（x﹣x0），进而可得点M坐标，设直线PQ的方程为x＝ty+1，联立抛物线的方程，可得y2﹣4ty﹣4＝0，设Q（x1，y1），结合韦达定理可得y0y1，则S△PQM=12|MF||y0﹣y【解答】解：对y2＝4x两边求导可得2yy′＝4，则y′=2设P（x0，y0），则切线l的方程为y＝y0+2y0（x﹣令y＝0，得x＝﹣x0，所以M（﹣x0，0），设直线PQ的方程为x＝ty+1，代入y2＝4x，得y2﹣4ty﹣4＝0，设Q（x1，y1），则y0y1＝﹣4，所以S△PQM=12|MF||y0﹣y1|=12|1+x0||y0+4y0|=12|1设f（y）＝y3+16y，y＞则f′（y）＝3y2-16令f′（y）＝0，得y=2所以当0＜y＜233时，f′（y）＜0，f当y＞233时，f′（y）＞0，f所以f（y）min＝f（233）所以S△PQM的最小值为163故选：C．【点评】本题考查抛物线的切线，直线与抛物线的位置关系，三角形的面积，解题中注意转化思想的应用，属于中档题．7．（2025•鹤壁二模）如图，曲线AOB是抛物线C：x2＝4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|＝4，则点B到C的焦点的距离为（）A．4 B．3 C．2 D．1【考点】抛物线的弦及弦长．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】求出点B坐标，进而可得解．【解答】解：已知曲线AOB是抛物线C：x2＝4y的一部分，且曲线AOB关于y轴对称，|AB|＝4，则C的焦点坐标为（0，1），点B（2，1），所以点B到C的焦点的距离为2．故选：C．【点评】本题考查了抛物线的性质，属基础题．8．（2025•云南模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（t，2），满足|MF|＝2，则p＝（）A．12 B．1 C．2 D．【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】将M（t，2）代入抛物线方程得22＝2pt，解得t=2p，再根据抛物线焦半径公式列出方程，求出【解答】解：因为抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，抛物线上一点M（t，2），所以22＝2pt，解得t=2所以|MF|=t+p2=2p+p2=2，整理得（p﹣2故选：C．【点评】本题考查抛物线的几何性质，属基础题．9．（2025•鲤城区校级模拟）直线mx﹣ny﹣n＝0上存在两点A，B，使得A，B到直线y＝﹣1的距离等于它们到点F（0，1）的距离，则nmA．（﹣1，1） B．[﹣1，1] C．（﹣1，0）∪（0，1） D．（﹣∞，﹣1）∪（1，+∞）【考点】直线与抛物线的位置关系及公共点的个数；直线的斜率；根据定义求抛物线的标准方程．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】C【分析】由抛物线的定义，结合直线与抛物线的位置关系求解即可．【解答】解：由抛物线的定义可知：平面中到点F（0，1）的距离等于到直线y＝﹣1的距离的点的轨迹为抛物线，且抛物线方程为x2＝4y，又直线mx﹣ny﹣n＝0上存在两点A，B，使得A，B到直线y＝﹣1的距离等于它们到点F（0，1）的距离，即直线mx﹣ny﹣n＝0与抛物线x2＝4y有两个交点，联立mx-ny-n=0x显然m≠0，n≠0，消y可得：x2即Δ=(-4m即(n即nm的取值范围（﹣1，0）∪（0，1故选：C．【点评】本题考查了抛物线的定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．10．（2025•蚌山区校级模拟）设抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过C上一点A作其准线的垂线，设垂足为B，若cos∠BAF=35，|AF|＝10，则A．1 B．2 C．3 D．4【考点】抛物线的焦点弦及焦半径．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】D【分析】由抛物线的性质，结合抛物线的定义求解即可．【解答】解：设A在第一象限，则xA则xA则yA又cos∠BAF=3则tan∠BAF=4则yA即2p(10-p即p＝4．故选：D．【点评】本题考查了抛物线的性质，重点考查了抛物线的定义，属中档题．二．多选题（共5小题）（多选）11．（2025•邵阳模拟）已知抛物线y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线过点A（﹣1，0），M是抛物线上的动点，则（）A．p＝2 B．当|MF|＝t|MA|时，t的最小值为22C．点M到直线y＝x+3的距离的最小值为2 D．当MN→=2NF→【考点】直线与抛物线的综合；抛物线与平面向量；根据定义求抛物线的标准方程．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】ABD【分析】根据抛物线的定义计算出p的值判断选项A，根据抛物线的方程设抛物线上任意一点M的坐标为（4m2，4m），将几何问题转化为代数问题进行计算，进而可判断选项B，C，D．【解答】解：易知抛物线的准线为x=-p因为准线过点A（﹣1，0），所以p＝2，则抛物线的方程为y2＝4x，故选项A正确；设抛物线上的点的动点为M（4m2，4m），对于B选项，当m＝0时，t＝1；当m≠0时，t==1当且仅当m=±12时，等号成立，故选项易知M（4m2，4m）到直线y＝x+3的距离d=|4当m=12时，dmin易知抛物线的焦点F（1，0），因为MN→所以N(4当m＝0时，kON＝0；当m≠0时，kON当且仅当m=22时，等号成立．故选项故选：ABD．【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理、分类讨论和运算能力，属于中档题．（多选）12．（2025•河北三模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，过抛物线C的焦点F的直线l交抛物线C于A，B两点（A点在x轴上方），点P在C的准线上，则下列结论正确的是（）A．|AF|+4|BF|的最小值为9 B．∠APB≤πC．当△ABP为等边三角形时，△ABP的面积为243D．若点P的坐标为（﹣1，0），且|PA|＝4|PB|，则直线l的斜率为4【考点】直线与抛物线的综合；抛物线的焦点与准线．【专题】计算题；整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ABD【分析】设lAB：x＝ty+1，A（x1，y1），A（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，求出1|AF|+1|BF|=1，由基本不等式可判断A；设AB的中点为D，由D到准线的距离d=xD+1=|AB|2可判断B；当△ABP为等边三角形时，求出△ABP的面积为可判断C；由kPA+kPB＝0可得x轴为∠APB的角平分线，根据角平分线定理求出|AF||BF|=4，将【解答】解：因为抛物线C：y2＝2px（p＞0）的准线方程为x＝﹣1，因此p2=1，因此p＝2，因此抛物线C：y2＝4设lAB：x＝ty+1，A（x1，y1），A（x2，y2），联立x=ty+1y得：y2﹣4ty﹣4＝0，则Δ＝（﹣4t）2+16＝16t2+16＞0，y1+y2＝4t，y1•y2＝﹣4，x1+x对于A选项，1|AF|因此|AF|+4|BF|=(|AF|+4|BF|)(1当且仅当|AF||BF|=4|BF||AF|，即|BF|＝2|AF对于B选项，设AB的中点为D，由x1+x又因为|AB|=x1+x2因此以AB为直径的圆与抛物线的准线相切，又点P在C的准线上，因此∠APB≤π2，故对于C选项，D（2t2+1，2t），因为△APB为等边三角形，故P在AB的中垂线上，当t＝0时，显然△ABP为直角三角形，不合题意，当t≠0时，kAB=1t，kPD＝﹣|AD|=12|AB|=12(4t2因此|PD|=63，|AD|=6，S对于D选项，点P（﹣1，0），则k=4因为y1y2（y1+y2）+4（y1+y2）＝﹣4•4t+4•4t＝0，因此kPA+kPB＝0，因此x轴为∠APB的角平分线，根据角平分线定理：|AF||BF|设直线l的倾斜角为θ(0＜θ＜π2)，过点A作AA1则|AF|＝|AA1|＝p+|AF|cosθ，因此|AF|=p同理|BF|=p因此21-cosθ21+cosθ=4，解得：cosθ=3故选：ABD．【点评】本题考查直线与抛物线的综合，属于难题．（多选）13．（2025•黑龙江一模）已知抛物线C：y=14x2的焦点为F，准线为l，点M（﹣4，m）在A．直线OM的倾斜角为135° B．l的方程为y=-1C．|MF|＝5 D．C在点M处的切线方程为2x+y+4＝0【考点】抛物线的弦及弦长；根据定义求抛物线的标准方程．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】ACD【分析】根据给定条件，求出点M的坐标，结合抛物线方程及导数的几何意义逐项判断即可．【解答】解：抛物线C：y=14x2，点M（﹣4，m）在C上，所以m＝4，则M（﹣对于A，直线OM的斜率k＝﹣1，所以直线OM的倾斜角为135°，故A正确；对于B，抛物线C的标准方程为x2＝4y，则准线l的方程为y＝﹣1，故B错误；对于C，F为焦点，则|MF|＝4﹣（﹣1）＝5，故C正确；对于D，由y=14x2，求导得y'=12x，则C在点M处的切线斜率为y则C在点M处的切线方程为y﹣4＝﹣2（x+4），即2x+y+4＝0，故D正确．故选：ACD．【点评】本题主要考查抛物线的性质，切线方程的求法，考查运算求解能力，属于中档题．（多选）14．（2025•苏州校级二模）在2024年巴黎奥运会艺术体操项目集体全能决赛中，中国队以69.800分的成绩夺得金牌，这是中国艺术体操队在奥运会上获得的第一枚金牌．艺术体操的绳操和带操可以舞出类似四角花瓣的图案，它可看作由抛物线C：y2＝2px（p＞0）绕其顶点分别逆时针旋转90°、180°、270°后所得三条曲线与C围成的（如图阴影区域），A，B为C与其中两条曲线的交点，若p＝1，则（）A．开口向上的抛物线的方程为y=1B．|AB|＝4 C．直线x+y＝t截第一象限花瓣的弦长最大值为34D．阴影区域的面积大于4【考点】根据定义求抛物线的标准方程．【专题】方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程．【答案】ABD【分析】对于A，利用旋转前后抛物线焦点和对称轴变化，即可确定抛物线方程；对于B，联立抛物线方程，求出点A，B的坐标，即得；对于C，将直点线与抛物线方程联立求出M，N的坐标，由两点间距离公式求得弦长，利用换元和函数的图象即可求得弦长最大值；对于D，利用以直线近似取代曲线的思想求出三角形面积，即可对阴影部分面积大小进行判断．【解答】解：由题意，开口向右的抛物线方程为C：y2＝2x，顶点在原点，焦点为F1将其逆时针旋转90°后得到的抛物线开口向上，焦点为F2(0，12)，则其方程为x2＝2对于B，根据A项分析，由y2=2xx2=2y可解得，x＝0或x＝2，即xA＝2，代入可得由图象对称性，可得A（2，2），B（2，﹣2），故|AB|＝4，即B正确；对于C，如图，设直线x+y＝t与第一象限花瓣分别交于点M，N，由y=-x+ty2=2x解得xM=t+1-即得M(t+1-2t+1则弦长为：|MN|=2(t+2-2由图知，直线x+y＝t经过点A时t取最大值4，经过点O时t取最小值0，即在第一象限部分满足0＜t≤4，不妨设u=2t+1，则1＜u≤3，且t=代入得，|MN|=2|u2-12由此函数的图象知，当u＝2时，|MN|取得最大值为22，即C对于D，根据对称性，每个象限的花瓣形状大小相同，故可以先求18在抛物线y=12x2，(x≥0)上取一点由y′＝x＝1可得切点坐标为P(1，12)，因lOA：x﹣y＝0，则点P到直线于是S△OPA=1故原图中的阴影部分面积必大于8×12=4故选：ABD．【点评】本题主要考查曲线与方程的联系的应用问题，属于难题．（多选）15．（2025•青秀区校级二模）已知抛物线C：x2＝4y的焦点为F，O为坐标原点，点M（x0，y0）在抛物线C上，若|MF|＝5，则（）A．F的坐标为（1，0） B．x0＝±4 C．y0＝3 D．|OM|=4【考点】抛物线的焦点弦及焦半径；抛物线的定义．【专题】计算题；转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】BD【分析】直接由抛物线方程得焦点坐标及其准线方程可判断A，由抛物线定义可判断BC，由两点间距离公式可判断D．【解答】解：对于A，抛物线C：x2＝4y的焦点为F（0，1），准线方程为y＝﹣1，故A错误；对于BC，由抛物线定义可得|MF|＝5＝y0+1，所以y0＝4，x02=16，解得x0＝±4，故B对于D，|OM|=16+16=42故选：BD．【点评】本题考查了抛物线的标准方程及其性质、焦半径公式、两点之间的距离公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．三．填空题（共5小题）16．（2025•湖北模拟）已知点（2，1）在抛物线C：y＝ax2上，T为直线y＝x﹣2上的一动点，过点T作C的2条切线，切点分别为M，N，直线TM、TN分别交x轴于点A、B，则AB的最小值为2，△TAB外接圆半径的最小值为342【考点】直线与抛物线的综合；利用导数求解曲线在某点上的切线方程．【专题】对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】2；34【分析】首先求抛物线方程，根据导数的几何意义求切线方程，并求点A，B的坐标，并联立方程求点T的坐标，根据点T的坐标的特点，以及弦长|AB|，转化为二次函数求最值；根据坐标运算得到FA⊥TA，FB⊥TB，确定T，A，F，B四点共圆，根据圆的几何性质，即可求解．【解答】解：因为点（2，1）在抛物线C上，所以1＝4a，解得a=1则抛物线C的方程为x2＝4y，设M(x因为y=x所以y'=x此时kTA直线TA：y=x令y＝0，可得A(x因为y=x所以x=x即T(x可得x1x2＝2（x1+x2）﹣8，|AB|=|x=1则当x1+x2＝4时，|AB|的最小值为2；已知抛物线C的焦点F（0，1），所以TA→此时TA→同理得TB→所以TA⊥FA，TB⊥FB，所以T，A，F，B四点共圆，则△TAB的外接圆的直径为TF，此时|TF|的最小值即为F到直线x﹣y﹣2＝0的距离，易知点F到直线x﹣y﹣2＝0的距离d=|0-1-2|则△TAB的外接圆的半径的最小值为34故答案为：2；34【点评】本题考查抛物线的方程，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．17．（2025•高台县校级模拟）已知点A（a，2）为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，且点A到抛物线的焦点F的距离为3，则p＝2．【考点】抛物线上的点到准线及其平行线的距离．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】2．【分析】根据焦半径公式得到方程，求出p的值．【解答】解：因为点A（a，2）为抛物线x2＝2py（p＞0）上一点，所以由焦半径公式得，点A到抛物线的焦点F的距离2+p解得p＝2．故答案为：2．【点评】本题主要考查了抛物线的定义，属于基础题．18．（2025•南京校级二模）已知抛物线C：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，准线为l，过F的直线与C交于P，Q两点（P在x轴上方），M为PQ的中点．若FQ→=-3FP→，点M到l的距离为4，则p的值为【考点】抛物线的焦点与准线．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】3．【分析】当PQ斜率为0时，不合要求，设出PQ：x=my+p2，联立抛物线方程，得到两根之和，两根之积，由FQ→=-3FP→得到y2＝﹣3y1，进而求出y12=13p2【解答】解：当PQ斜率为0时，过F的直线与抛物线只有1个交点，不合要求，舍去，设PQ：x=my+p2，P（x1，y1），Q（x2，y2），y1＞0，y2＜由x=my+p2与y2＝2px联立，得y2﹣2pmy﹣p2＝0，所以由FQ→=-3FP→，得y2＝﹣3y1，代入故y12=因为M为PQ的中点，所以M点的横坐标为x1因为点M到l的距离为4，所以x1即y122p+y22故答案为：3【点评】本题主要考查抛物线的性质以及向量的应用，考查计算能力，属于中档题．19．（2025•麦积区模拟）已知O为坐标原点，过抛物线y2＝2px（p＞0）焦点的直线与该抛物线交于A，B两点，若|AB|＝12，若△OAB面积为46，则p＝4【考点】直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；转化法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】4．【分析】求出抛物线的焦点坐标，设出直线AB方程并与抛物线方程联立，利用韦达定理，结合抛物线的定义及三角形面积公式列式求出P．【解答】解：抛物线y2＝2px的焦点F(p设直线AB：x=ty+p2，点A（x1，y1），B（x2，y由x=ty+p则y2﹣2pty﹣p2＝0，所以y1+y2＝2pt，y1|AB|=|AF|+|BF|=x即p（t2+1）＝6，又|y因为△OAB面积为46所以S△OAB即p2即p3＝64，解得p＝4，故答案为：4．【点评】本题考查抛物线方程的应用，属于中档题．20．（2025•南开区二模）已知抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），倾斜角为45°的直线l过点F．若l与C相交于A，B两点，则以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为27【考点】直线与抛物线的综合．【专题】转化思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】27【分析】根据题意易得抛物线C方程为：x2＝4y，联立直线与抛物线方程，利用设而不求法，根与系数的关系，圆的弦长公式，即可求解．【解答】解：因为抛物线C：x2＝2py（p＞0）的焦点为F（0，1），所以p2=1，所以p＝2，所以抛物线C方程为：x2＝4又直线l的方程为y＝x+1，联立y=x+1x2=4y，可得y2﹣6y+1＝0，显然Δ所以yA+yB＝6，所以|AB|＝yA+yB+p＝6+2＝8，所以以AB为直径的圆的圆心的纵坐标为3，半径为4，所以以AB为直径的圆被x轴截得的弦长为216-9故答案为：27【点评】本题考查抛物线的几何性质，直线与抛物线的位置关系，属中档题．四．解答题（共5小题）21．（2025•上犹县校级模拟）已知动点P在曲线y2＝8x上运动，O为坐标原点，Q为线段OP中点，记Q的轨迹为曲线C．（1）求Q的轨迹方程C．（2）已知A（1，2）及曲线C上的两点B和D，直线AB和直线AD的斜率分别为k1和k2，且k1+k2＝1，求证：直线BD过定点．【考点】直线与抛物线的综合；轨迹方程．【专题】计算题；方程思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解答．【分析】（1）借助Q为线段OP中点，利用相关点法求轨迹方程；（2）设直线BD：x＝ty+m，联立抛物线方程，设B（x1，y1），D（x2，y2），可得根与系数的关系式，结合k1+k2＝1化简可得参数之间的关系，进而利用直线方程求得定点坐标．【解答】解：（1）设P（x0，y0），Q（x，y），∵Q是OP的中点，∴x0+02=x，y0+02=y，∴x0又∵动点P在曲线y2＝8x上，∴4y2＝16x，即y2＝4x，故点Q的轨迹方程是y2＝4x．（2）证明：由题意A（1，2）点坐标适合y2＝4x，即点A在C上，由题意可知BD斜率不会为0，设直线BD：x＝ty+m，B（x1，y1），D（x2，y2），联立x=ty+my2=4x，消去x并整理得y2﹣4ty﹣4m需满足Δ＝16t2+16m＞0，即t2+m＞0，则y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4m，∵k1=y∴k1+∴2（y1+y2）+12＝y1y2，将y1+y2＝4t，y1y2＝﹣4m代入得8t+12＝﹣4m，即2t+3＝﹣m，∴直线BD：x＝ty﹣2t﹣3，即x+3＝t（y﹣2），∴直线BD经过定点（﹣3，2）．【点评】本题主要考查抛物线的方程，直线与抛物线的综合，考查运算求解能力，属于中档题．22．（2025•山海关区校级模拟）已知抛物线E：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，过F作倾斜角为θ的动直线l交E于A，B两点．当θ＝60°时，|AB|=16（1）求抛物线E的方程；（2）证明：无论θ如何变化，OA→⋅OB（3）点M（3，0），直线AM与E交于另一点C，直线BM与E交于另一点D，证明：△ABM与△CDM的面积之比为定值．【考点】抛物线与平面向量；抛物线的定点及定值问题；抛物线的标准方程．【专题】整体思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；运算求解．【答案】（1）y2＝4x；（2）证明见解析；（3）证明见解析．【分析】（1）设直线l：x=ty+p2，A（x1，y1），B（x2，y2），联立直线与抛物线的方程，由抛物线的性质可得弦长|AB（2）由（1）可知，y1y2＝﹣4，将韦达定理代入OA→（3）设直线AC的方程：x＝my+3，直线BD的方程：x＝ny+3，分别与抛物线联立求出y1y3，y2y4，由（2）求出y1y2，则y3y4，再由三角形的面积公式表示出△ABM与△CDM的面积之比，即可得出答案．【解答】（1）解：根据题意直线l的斜率不为0，可设直线l：联立x=ty+p得y2﹣2pty﹣p2＝0，设A（x1，y1），B（x2，y2），所以Δ＝4p2（t2+1）＞0，y1+y2＝2pt，y1即|AB|=1+当θ＝60°时，t=3即|AB|=8p即p＝2，则抛物线E的方程为y2＝4x．（2）证明：由（1）可知，y1则x1所以OA→（3）证明：设C（x3，y3），D（x4，y4），直线AC的方程：x＝my+3，直线BD的方程：x＝ny+3，由x=my+3y得y2﹣4my﹣12＝0，所以y1y3＝﹣12，同理，y2y4＝﹣12，所以y1y2y3y4＝（y1y3）（y2y4）＝144，由（2）知y1y2＝﹣4，则y3y4＝﹣36，即S△ABM【点评】本题考查了抛物线的性质及定义，重点考查了直线与抛物线的位置关系，属中档题．23．（2025•江苏模拟）设O为坐标原点，抛物线C1：y2=2x与C2：y2=2px(p＞0)的焦点分别为F1，F2，F1为线段OF2的中点．点A1，B1在C1上（A1（1）求曲线C2的方程；（2）设直线A1B1的方程为y＝2x﹣2，求直线A1A2的斜率；（3）若直线A1A2与B1B2的斜率之积为﹣2，求四边形A1A2B2B1面积的最小值．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】综合题；对应思想；综合法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维；运算求解．【答案】（1）y2＝4x；（2）1；（3）32【分析】（1）求出F1的坐标，即可得到F2的坐标，从而求出抛物线方程；（2）设A1（x1，y1），A2（x2，y2），B1（x3，y3），B2（x4，y4），联立直线与抛物线方程，求出A1，B1的坐标，再由向量的关系求出A2的坐标，即可得解；（3）推导出OA2→=2OA1→，同理OB2→=2OB1→，即可得到S四边形A1【解答】解：（1）易知抛物线C1的焦点为F1因为F1为线段OF2的中点，所以抛物线C2的焦点F2（1，0），则曲线C2的方程为y2＝4x；（2）若直线A1B1的方程为y＝2x﹣2，设A1（x1，y1），A2（x2，y2），B1（x3，y3），B2（x4，y4），联立y=2x-2y2=2x，消去x并整理得y2﹣y﹣2解得y1＝2，y3＝﹣1，此时A1（2，2），B1因为A2所以x4因为x2=y所以y4则y2＝4，x2即A2（4，4），此时kA则直线A1A2的斜率为1；（3）因为A1（x1，y1），A2（x2，y2），B1（x3，y3），B2（x4，y4），所以A1B1因为A2所以x因为x1=y122，所以y4又y4﹣y2＝2（y3﹣y1），可得y4+y2＝2（y3+y1），由y4解得y1因为x1=y所以x1此时OA同理得OB所以△OA1B1∽△OA2B2且S△O所以S四边形因为直线A1A2与B1B2的斜率之积为﹣2，所以kA可得kO即y1解得y1y3＝﹣2，设A1B1的方程为x＝my+n，联立x=my+ny2=2x，消去x并整理得y2﹣2my﹣2n由韦达定理得y1y3＝﹣2n＝﹣2，所以n＝1，可得直线A1B1过定点（1，0），则S△O当且仅当|y1|=所以S四边形故四边形A1A2B2B1面积的最小值为32【点评】本题考查抛物线的方程以及直线与圆锥曲线的综合问题，考查了逻辑推理和运算能力，属于中档题．24．（2025•沧州校级三模）已知抛物线W：y2＝2px（p＞0）的焦点为F，直线l1：x﹣y+1＝0与W相切．（1）求W的方程．（2）过点F且与l1平行的直线l2与W相交于M，N两点，求|MN|．（3）已知点P（4，4），直线l与W相交于A，B两点（异于点P），若直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，试问直线l是否过定点？若是，请求出定点坐标；若不是，请说明理由．【考点】直线与抛物线的综合．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线中的最值与范围问题；逻辑思维．【答案】（1）y2＝4x．（2）8．（3）直线AB恒过定点(7【分析】（1）通过联立直线与抛物线方程，利用判别式为0求出p的值，进而得到抛物线方程；（2）先求出直线l2的方程，再联立直线l2与抛物线方程，利用抛物线的焦点弦长公式求出|MN|；（3）设出直线l的方程，联立直线l与抛物线方程，根据直线AP，BP分别和以F为圆心的动圆相切，同构得到a，b是一元二次方程（16﹣r2）x2+（8﹣2r2）x+1﹣2r2＝0的两个实数根，借助韦达定理求出y=-316，【解答】解：（1）联立直线与抛物线可得y2=2px，x-y+1=0，化简得y2﹣2py由于l1与W相切，因此（﹣2p）2﹣8p＝0，解得p＝2或p＝0（舍去），因此W：y2＝4x．（2）根据第一问可知F（1，0）．由于l1∥l2，因此l2：x﹣y﹣1＝0．设N（x2，y2），M（x1，y1），联立抛物线方程和l2y2=4x，x-y-1=0，化简得y2﹣4y﹣4＝0，根据韦达定理可得y1y2＝﹣4，y1+|MN|＝x1+x2+p＝y1+1+y2+1+2＝8．（3）设B（4b2，4b），A（4a2，4a），那么直线l：x＝（a+b）y﹣4ab，①直线BP的方程为x＝（b+1）y﹣4b，直线AP的方程为x＝（a+1）y﹣4a，设动圆F的半径为r，r∈（0，4）∪（4，5）．因为直线AP和圆F相切，所以|1+4a|(a+1)整理得（16﹣r2）a2+（8﹣2r2）a+1﹣2r2＝0，同理可得（16﹣r2）b2+（8﹣2r2）b+1﹣2r2＝0，所以a，b是一元二次方程（16﹣r2）x2+（8﹣2r2）x+1﹣2r2＝0的两个实数根，则a+b=2r2-816-r2由8y+48+2y=16，得y=-316，此时x=7【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于中档题．25．（2025•固始县校级模拟）已知圆M：（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝16（a≠0）的圆心M在抛物线N：x2＝2py（p＞0）上，且圆M与抛物线N的准线相切．如图，过抛物线N上的三个不同点A，B，C（B在A，C之间），作抛物线的三条切线，分别两两相交于点D，E，F．（1）求圆M和抛物线N的方程；（2）是否存在常数λ，使得DA→⋅FC（3）当点C的横坐标为4时，以C为直角顶点，作抛物线的两个内接Rt△CPQ及Rt△CRT，求线段PQ，RT的交点坐标．【考点】直线与抛物线的综合；抛物线与平面向量．【专题】方程思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程；逻辑思维．【答案】（1）圆M的方程为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16，抛物线N的方程为x2＝8y．（2）存在λ＝1，使得DA→（3）（﹣4，10）．【分析】（1）根据圆的标准方程求出圆心坐标，代入抛物线方程，再结合圆与抛物线准线相切求出a，p的值，从而得到圆和抛物线的方程；（2）设A（x1，y1），B（x2，y2），C（x3，y3），利用导数求出切线方程，进而得到交点坐标，再通过向量运算可得答案；（3）根据已知条件求出C点坐标，设P（xP，yP），Q（xQ，yQ），R（xR，yR），T（xT，yT），利用直角三角形条件得到PQ，RT方程，解方程组求出交点坐标．【解答】解：（1）圆（x﹣2a）2+（y﹣a）2＝16（a≠0）的圆心M（2a，a），由于圆心M在N上，因此4a2＝2p×a（p＞0），所以2a＝p，由于圆M与N的准线相切，因此p2解得a＝2，p＝4，因此圆M为（x﹣4）2+（y﹣2）2＝16，N为x2＝8y；（2）存在常数1，使得DA→设C（x3，y3），B（x2，y2），A（x1，y1），y'=1那么在点B处的坐切线方程为y-y2=在点A处的坐切线方程为y-y1=根据y=14xx1同理可得xF=x3+x2DE→DA→因此DA=xDE→=x3-因此存在λ＝1，使得DA→（3）由于Rt△CRT，Rt△CPQ是抛物线的两个内接三角形，因此直线CR，CQ，CT，CP，的斜率存在且不为0，当点C的横坐标为4时，代入42＝8y，可得y＝2，因此点C（4，2），设T（xT，yT），Q（xQ，yQ），P（xP，yP），R（xR，yR），根据C为直角顶点，设kCR＝h，那么kCQ那么直线CR为y﹣2＝h（x﹣4），与抛物线x2＝8y联立得x2﹣8hx+32h﹣16＝0，那么xR+4＝8h，xR＝8h﹣4，yR=h(xR-4)+2=8h2-8h+2，可得R（8h﹣同理T(-8因此直线RT的方程为y-(8h化简得y=(h-1设kCP＝k，那么kCQ那么直线CP为y﹣2＝k（x﹣4），与抛物线x2＝8y联立得：x2﹣8kx+32k﹣16＝0，那么xP+4＝8k，所以xP＝8k﹣4，yP=k(xP-4)+2=8k2-8k+2，可得P（8k﹣4，同理Q(-8因此直线PQ为y-(8k化简得y=(k-1k-1)(x+4)+10由(h-1h-1)(x+4)+10-y=0所以PQ，RT的交点坐标为（﹣4，10）．【点评】本题考查直线与抛物线的综合应用，属于难题．

考点卡片1．利用导数求解曲线在某点上的切线方程【知识点的认识】曲线在某点上的切线方程可以通过该点的导数值和坐标求得．【解题方法点拨】﹣求导：计算函数的导数f'（x）．﹣切线方程：利用导数值作为切线的斜率，结合点的坐标，写出切线方程．﹣公式：切线方程为y﹣f（a）＝f'（a）（x﹣a），其中a是点的横坐标．【命题方向】常见题型包括求解曲线在特定点的切线方程，分析函数的局部行为．曲线y=2xx2+1在点（2，解：由题意得y'=2(则曲线在点（2，45）处的切线斜率k＝y'|x＝2=故曲线y=2xx2+1在（2，45）处的切线方程为y-45=-625（x﹣2故答案为：6x+25y﹣32＝0．2．余弦定理【知识点的认识】1．正弦定理和余弦定理定理正弦定理余弦定理内容asinA=（R是△ABC外接圆半径）a2＝b2+c2﹣2bccosA，b2＝a2+c2﹣2accos_B，c2＝a2+b2﹣2abcos_C变形形式①a＝2RsinA，b＝2Rsin_B，c＝2Rsin_C；②sinA=a2R，sinB=b2R，③a：b：c＝sinA：sinB：sinC；④asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA=bcosB=acosC=解决三角形的问题①已知两角和任一边，求另一角和其他两条边；②②已知两边和其中一边的对角，求另一边和其他两角①已知三边，求各角；②已知两边和它们的夹角，求第三边和其他两角【解题方法点拨】正余弦定理的应用1、解直角三角形的基本元素．2、判断三角形的形状．3、解决与面积有关的问题．4、利用正余弦定理解斜三角形，在实际应用中有着广泛的应用，如测量、航海、几何等方面都要用到解三角形的知识（1）测距离问题：测量一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，用正弦定理就可解决．解题关键在于明确：①测量从一个可到达的点到一个不可到达的点之间的距离问题，一般可转化为已知三角形两个角和一边解三角形的问题，再运用正弦定理解决；②测量两个不可到达的点之间的距离问题，首先把求不可到达的两点之间的距离转化为应用正弦定理求三角形的边长问题，然后再把未知的边长问题转化为测量可到达的一点与不可到达的一点之间的距离问题．（2）测量高度问题：解题思路：①测量底部不可到达的建筑物的高度问题，由于底部不可到达，因此不能直接用解直角三角形的方法解决，但常用正弦定理计算出建筑物顶部或底部到一个可到达的点之间的距离，然后转化为解直角三角形的问题．②对于顶部不可到达的建筑物高度的测量问题，我们可选择另一建筑物作为研究的桥梁，然后找到可测建筑物的相关长度和仰、俯角等构成三角形，在此三角形中利用正弦定理或余弦定理求解即可．点拨：在测量高度时，要理解仰角、俯角的概念．仰角和俯角都是在同一铅锤面内，视线与水平线的夹角．当视线在水平线之上时，成为仰角；当视线在水平线之下时，称为俯角．3．直线的斜率【知识点的认识】1．定义：当直线倾斜角α≠π2时，其倾斜角的正切值叫做这条直线的斜率．用小写字母k表示，即k＝tan2．斜率的求法（1）定义：k＝tanα（α≠π（2）斜率公式：k=y3．斜率与倾斜角的区别和联系（1）区别：①每条直线都有倾斜角，范围是[0，π），但并不是每条直线都有斜率．②倾斜角是从几何的角度刻画直线的方向，而斜率是从代数的角度刻画直线的方向．（2）联系：①当α≠π2时，k＝tanα；当α②根据正切函数k＝tanα的单调性：当α∈[0，π2）时，k＞0且随α的增大而增大，当α∈（π2，π）时，k＜0且随【解题方法点拨】直线的斜率常结合直线的倾斜角进行考查．直线倾斜角和斜率是解析几何的重要概念之一，是刻画直线倾斜程度的几何要素与代数表示，也是用坐标法研究直线性质的基础．在高考中多以选择填空形式出现，是高考考查的热点问题．【命题方向】（1）已知倾斜角范围求斜率的范围；（2）已知斜率求倾斜角的问题．（3）斜率在数形结合中的应用．4．抛物线的定义【知识点的认识】抛物线是指平面内到一个定点和一条定直线l距离相等的点的轨迹．他有许多表示方法，比如参数表示，标准方程表示等等．它在几何光学和力学中有重要的用处．抛物线也是圆锥曲线的一种，即圆锥面与平行于某条母线的平面相截而得的曲线．抛物线在合适的坐标变换下，也可看成二次函数图象．标准方程①y2＝2px，当p＞0时，为右开口的抛物线；当p＜0时，为左开口抛物线；②x2＝2py，当p＞0时，为开口向上的抛物线，当p＜0时，为开口向下的抛物线．性质我们以y2＝2px（p＞0）为例：①焦点为（p2，0）；②准线方程为：x=-p2；③离心率为e＝1．④通径为2p（过焦点并垂直于x【解题方法点拨】例1：点P是抛物线y2＝x上的动点，点Q的坐标为（3，0），则|PQ|的最小值为解：∵点P是抛物线y2＝x上的动点，∴设P（x，x），∵点Q的坐标为（3，0），∴|PQ|==x=(x-∴当x=52，即P（|PQ|取最小值112故答案为：112这个例题其实是一个求最值的问题，一般的解题思路就是把他转化为求一个未知数的最值，需要注意的是一定要明确这个未知数的定义域，后面的工作就是求函数的最值了．例2：已知点P是抛物线y2＝4x上的一个动点，点P到点（0，3）的距离与点P到该抛物线的准线的距离之和的最小值是．解：如图所示，设此抛物线的焦点为F（1，0），准线l：x＝﹣1．过点P作PM⊥l，垂足为M．则|PM|＝|PF|．设Q（0，3），因此当F、P、Q三点共线时，|PF|+|PQ|取得最小值．∴（|PF|+|PQ|）min＝|QF|=3即|PM|+|PQ|的最小值为10．故答案为：10．这是个经典的例题，解题的关键是用到了抛物线的定义：到准线的距离等于到焦点的距离，然后再根据几何里面的两点之间线段最短的特征求出p点．这个题很有参考价值，我希望看了这个例题的同学能把这个题记下了，并拓展到椭圆和双曲线上面去．【命题方向】抛物线是初中高中阶段重要的一个知识点，高中主要是增加了焦点、准线还有定义，这也提示我们这将是它的一个重点，所以在学习的时候要多多理会它的含义，并能够灵活运用．5．抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的标准方程的四种种形式：（1）y2＝2px，焦点在x轴上，焦点坐标为F（p2，0），（p（2）x2＝2py，焦点在y轴上，焦点坐标为F（0，p2），（p四种形式相同点：形状、大小相同；四种形式不同点：位置不同；焦点坐标不同．下面以两种形式做简单的介绍：标准方程y2＝2px（p＞0），焦点在x轴上x2＝2py（p＞0），焦点在y轴上图形顶点（0，0）（0，0）对称轴x轴焦点在x轴长上y轴焦点在y轴长上焦点（p2，0（0，p2焦距无无离心率e＝1e＝1准线x=-y=-6．根据定义求抛物线的标准方程【知识点的认识】抛物线的定义是平面上到一个定点（焦点）和一条定直线（准线）的距离相等的点的轨迹．对于对称轴是x轴或y轴且顶点在原点的抛物线，其标准方程为y2＝2px或x2＝2py，其中p是焦点到准线的距离．【解题方法点拨】1．确定焦点和准线的位置：由焦点和准线的距离p确定．2．代入标准方程：使用y2＝2px（对称轴为x轴）或x2＝2py（对称轴为y轴）．【命题方向】﹣给定焦点和准线，求抛物线的标准方程．﹣根据定义推导抛物线方程．7．抛物线的焦点与准线【知识点的认识】抛物线的简单性质：8．抛物线上的点到准线及其平行线的距离【知识点的认识】抛物线上的点到准线的距离为|y-p/2|2或|x-p/2|2，