2024-2025学年广东广州外国语学校八年级(下)期中考数学试题含答案

初中广东省广州外国语学校2024−2025学年下学期八年级期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若二次根式有意义，则的取值范围为（）A. B. C. D.2.下列式子是最简二次根式的是（）A. B. C. D.3.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）A. B. C. D.4.下列计算中，正确的是（）A. B.C. D.5.下列选项的命题中，是真命题的是（）A.有三边相等的四边形是菱形B.四个角相等的菱形是正方形C.两条对角线互相平分的四边形是矩形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形6.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（）A.16 B.14 C.12 D.87.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A. B. C. D.8.如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（）A. B. C. D.9.如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（）A3 B.4 C.8 D.610.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（）A.15 B.16 C.17 D.18二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.计算：________．12.命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____，成立吗_____．13.菱形的周长是8，高为1，则菱形两邻角的度数比是___．14.如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________．15.如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为__________________．16.如图，在中，为角平分线，为中线，，，，则的长为______．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17.计算：．18.如图，将对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形．19.已知，求的值．20.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．21.在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：（1）化简：．（2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长．22.如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．（1）求的面积．（2）求折痕的长．23.如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积．24.已知：点是正方形外部的一个点，且满足，，（），连接．过点作交的延长线于点，连接．（1）图中补全图形；（2）求度数；（3）探索线段的数量关系．25.如图1，在平面直角坐标系中，点，的坐标分别是和，连接，以线段为边向右侧作菱形，且，点在轴上．（1）填空：点的坐标为，度．（2）连接，点是线段上一动点，点在轴上，且．过点作的平行线，过点作的平行线，两线相交于点．①如图2，当时，求的长度；②求证：四边形菱形．

广东省广州外国语学校2024−2025学年下学期八年级期中数学试卷一、选择题（本大题共10小题，每题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）1.若二次根式有意义，则的取值范围为（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次根式有意义的条件，熟知二次根式有意义的条件是解题的关键．根据二次根式有意义的条件是被开方数大于等于0进行求解即可．【详解】解∶∵二次根式有意义，∴，∴，故选∶A．2.下列式子是最简二次根式的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，最简二次根式需同时满足两个条件：①被开方数不含分母；②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式，逐一判断各选项．【详解】解：A、被开方数含分母，不是最简二次根式，不符合题意；B、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意；C、被开方数为质数，不含分母和能开方的因数，是最简二次根式，符合题意；D、，含能开方的因数，不是最简，不符合题意；故选：C．3.下列各组数中，不能构成直角三角形的一组是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查勾股定理的逆定理的应用．判断三角形是否为直角三角形，已知三角形三边的长，只要利用勾股定理的逆定理加以判断即可．由勾股定理的逆定理，只要验证两小边的平方和等于最长边的平方即可．【详解】解：A、∵，∴，能构成直角三角形，不符合题意；B、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意；C、∵，，∴，能构成直角三角形，不符合题意；D、∵，，∴，不能构成直角三角形，符合题意．故答案为：D．4.下列计算中，正确是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】本题主要考查二次根式的加法、减法、乘法、除法运算等知识点，明确二次根式加减乘除运算的计算法则是解答本题的关键．根据二次根式的加法、减法、乘法、除法运算法则逐项判断即可．【详解】解：A．和不是同类二次根式，不能相加减，故选项A错误，不符合题意；B．，故选项B错误，不符合题意；C．，故选项C错误，不符合题意；D．，故选项D正确，符合题意．故选：D．5.下列选项的命题中，是真命题的是（）A.有三边相等的四边形是菱形B.四个角相等的菱形是正方形C.两条对角线互相平分的四边形是矩形D.两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形【答案】B【解析】【分析】本题主要考查了真假命题的判断，涉及正方形、菱形和矩形的判定定理．根据相关判定定理可知：对角线相等且互相平分的四边形是矩形；对角线互相垂直且平分的四边形是菱形；对角线互相垂直、平分且相等的四边形是正方形．据此对各选项逐一判断即可．【详解】解：A、菱形的定义是四条边都相等的四边形，“有三边相等的四边形是菱形”是假命题，因为三边相等不能保证四边形是菱形，不符合题意；B、正方形的定义是四个角都是直角且四条边都相等的四边形，菱形已满足四边相等，若四个角相等，则每个角为，“四个角相等的菱形是正方形”是真命题；C、对角线互相平分的四边形是平行四边形，但矩形需满足对角线相等或有一个角是直角，“两条对角线互相平分的四边形是矩形”是假命题，不符合题意；D、对角线相等、互相垂直且平分的四边形是正方形，对角线互相垂直且相等的四边形不一定是平行四边形，因此不一定是正方形，“两条对角线互相垂直且相等的四边形是正方形”是假命题，不符合题意；故选：B．6.如图，在矩形中，对角线与相交于点O，点、分别是、的中点，若，则的长是（）A.16 B.14 C.12 D.8【答案】A【解析】【分析】本题考查了三角形中位线定理、矩形的性质，熟练掌握相关的性质定理正确推理计算是解题的关键．根据三角形中位线定理和矩形性质解题即可．【详解】解：∵点、分别是、的中点，∴是的中位线，∵，∴，∵矩形，∴．故选：A．7.如图，一支铅笔放在圆柱体笔筒中，笔筒的内部底面直径是，内壁高，若这支铅笔长为，则这只铅笔在笔筒外面部分长度不可能的是（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了勾股定理的应用，先根据勾股定理算出的长度，再进行求解即可，熟练掌握知识点是解题的关键．【详解】解：根据题意可得图形：，在中：，所以．则这只铅笔在笔筒外面部分长度在3厘米～6厘米之间．观察选项，只有选项A符合题意．故选：A．8.如图，将长方形沿直线折叠，顶点恰好落在边上点处，已知，，则边的长为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题注意考查勾股定理与折叠问题．设边的长为，首先根据长方形的性质得出，，，进而求出的长度，然后根据折叠的性质得出，，然后根据勾股定理求解即可．【详解】解：设边的长为，∵四边形是长方形，∴，，．，．由折叠的性质可知，，．在中，∵，，解得，∴边的长为，故选：C．9.如图，在中，，，以点B为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交于点D．若，则在中边上的高为（）A.3 B.4 C.8 D.6【答案】B【解析】【分析】本题考查了作图−基本作图、角平分线的性质，勾股定理，含30度角的直角三角形，正确地作出辅助线是解题的关键．由作图可知，为的平分线，过点D作于点E，结合勾股定理解题即可．【详解】解：∵，，∴，过点D作于点E，由作图可知，为的平分线，∴，，∴，在中，，，∴，解得：，∴．故选：B．10.如图，在边长为8的菱形中，点为边，上的动点，且，连接，若菱形面积为60，则的最小值为（）A.15 B.16 C.17 D.18【答案】C【解析】【分析】本题主要考查了菱形与三角形综合．熟练掌握菱形性质，全等三角形的判定和性质，轴对称性质，勾股定理，是解题的关键．作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，可得，根据，得，得,得,根据菱形性质和，可得，得，得，得取得最小值为17．【详解】作点C关于的对称点G，连接交于点H，连接，则，，，∵，∴，∵，∴，∴，∴，∵菱形中，，且，∴，∴，∴，∴当点E在线段上时，取得最小值17．故选：C．二、填空题（本大题共6小题，每题3分，共18分）11.计算：________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查了二次根式加减法，熟练掌握相关运算法则是解题关键．首先将化成最简二次根式，然后合并同类二次根式即可．【详解】解：．故答案为：．12.命题“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”的逆命题是_____，成立吗_____．【答案】①.如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；②.不成立【解析】【分析】把原命题的题设和结论交换即可得到其逆命题．【详解】解：因为“如果两个实数相等，那么它们的平方相等”它的逆命题是“如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等”，如两个互为相反数的数平方相等，但这两个数不相等，故不成立．故答案为：如果两个实数平方相等，那么这两个实数相等；不成立．【点睛】要根据逆命题的定义，和平方的有关知识来填空，对于两个命题，如果一个命题的条件和结论分别是另外一个命题的结论和条件，那么这两个命题叫做互逆命题，其中一个命题叫做原命题，另外一个命题叫做原命题的逆命题．13.菱形的周长是8，高为1，则菱形两邻角的度数比是___．【答案】5：1##1:5【解析】【分析】先根据菱形的性质求出边长AB＝2，取AB的中点F，再根据直角三角形的性质求出∠B＝30°，得出∠DAB＝150°，即可得出结论．【详解】解：如图所示：∵四边形ABCD是菱形，菱形的周长为8，∴AB＝BC＝CD＝DA＝2，∠DAB＋∠B＝180°，∵AE＝1，AE⊥BC，∴AE＝AB，取AB的中点F，∴EF=AF=AB∴AE＝EF=AF，∴∠BAE=60°，∴∠B＝30°，∴∠DAB＝150°，∴∠DAB：∠B＝5：1，故答案是：5：1或1:5．【点睛】本题考查了菱形的性质、直角三角形的性质，添加辅助线构造等边三角形是解决问题的关键．14.如图，网格小正方形边长为1，以O为圆心为半径画弧，交网格于点B，则长是___________．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理与网格问题，根据勾股定理求出，根据即可求解．【详解】解：如图所示，连接，由题意得：．故答案为：．15.如图，在中，，点E是中点，作于点F，已知，，则的长为__________________．【答案】【解析】【分析】本题主要考查平行四边形的性质，勾股定理以及三角形面积，熟练掌握平行四边形的性质是解题的关键．通过计算、的长度，利用三角形面积公式求得，即可求出答案．【详解】解：如图，连接，，四边形是平行四边形，，，，，，，，，点是中点，，，，，即，∴，故答案为：．16.如图，在中，为角平分线，为中线，，，，则的长为______．【答案】【解析】【分析】本题考查了矩形的判定和性质、勾股定理、全等三角形的判定及性质等知识，作于，延长交于，交于，连接，利用得，进而可得，，，连接，作垂足分别为M、N，得出是矩形，求出，进而求出，即可求出结论．【详解】解：作于，延长交于，交于，连接，如图：，为角平分线，，在和中，，，，，，是的中点，中线，是的中点，是的中位线，，且，，，，，，，，，，，，连接，，，作垂足分别为M、N，，，四边形为平行四边形，，是矩形，，在中，，，，在中，，同理，，，，故答案为：．三、解答题（本大题共9小题，共72分，解答应写出必要的文字说明、推理过程或演算步骤）17.计算：．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的混合运算，根据二次根式的乘法进行计算即可求解．【详解】解：原式．18.如图，将的对角线向两个方向延长，分别至点和点，且使．求证：四边形是平行四边形．【答案】答案见详解【解析】【分析】此题重点考查平行四边形的判定与性质、全等三角形的判定与性质，由平行四边形的性质得，，则，由，推导出，即可根据“”证明，得，，则，所以四边形是平行四边形；【详解】证明：四边形是平行四边形，，，，，，，在和中，，，，，，四边形是平行四边形．19.已知，求的值．【答案】【解析】【分析】本题考查了二次根式的化简求值，准确熟练地进行计算是解题的关键．先根据已知求出和的值，然后利用因式分解进行计算即可解答．【详解】解：，，，．20.如图，在一次夏令营活动中，小明从营地点出发，沿北偏东方向走了到达点，然后再沿北偏西方向走了到达目的地点，求两点间的距离．【答案】【解析】【分析】本题考查了勾股定理，平行线的性质，平角的定义等知识，解题的关键是掌握以上知识点．根据平行线的性质，平角的定义得到为直角三角形，然后根据勾股定理即可得到结论．【详解】解：为直角三角形，．答：两点间的距离是．21.在进行二次根式化简时，像，，这样的式子，我们可以将其进一步化简：，，．这种化简的方法叫做分母有理化，请利用分母有理化解答下列问题：（1）化简：．（2）矩形的面积为，一边长为，求它的周长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查二次根式混合运算、分母有理化，二次根式的应用，解答本题的关键是明确它们各自的计算方法．（1）根据题目中的例子进行分母有理化解答本题；（2）根据题意，可以求得矩形的另一边长，从而可以求得该矩形的周长．【小问1详解】解：；【小问2详解】解：∵矩形面积为，一边长为，∴其邻边长为，∴该矩形的周长为．22.如图，一张三角形纸片，已知，，，，将该纸片折叠，若折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．（1）求的面积．（2）求折痕的长．【答案】（1）（2）【解析】【分析】本题考查的是勾股定理以及勾股定理逆定理，勾股定理与折叠问题，熟知折叠的性质是解答此题的关键．（）先根据勾股定理逆定理，判断为直角三角形，然后根据三角形的面积公式解答即可；（）连接，根据折叠的性质可知，，，设，则，在中利用勾股定理即可求出的长，同理，在中利用勾股定理即可求出的长．【小问1详解】解：∵，，∴，∴，∴；【小问2详解】解：连接，设，∵折叠后点与点重合，折痕与边交于点，与边交于点．∴，，∴，设，则，在中，，即，解得，，∴，∵，∴．23.如图，在中，，，．点从点出发沿方向以每秒2个单位的速度向点匀速运动，同时点从点出发沿方向以每秒1个单位的速度向点匀速运动，当其中一个点到达终点时，另一个点也随之停止运动．设点，运动的时间是．过点作于点，连接，．（1）求证：四边形是平行四边形；（2）当的值为多少时，四边形为菱形？并求出该菱形的面积．【答案】（1）见解析（2）当t时，四边形为菱形，此时菱形的面积是【解析】【分析】此题是四边形综合题，主要考查了平行四边形的判定、菱形的判定与性质、勾股定理、直角三角形的性质等知识，在直角三角形中，30°角所对的直角边等于斜边的一半．解题时注意：有一组邻边相等的平行四边形是菱形．（1）根据直角三角形的性质得到，得到，根据平行四边形的性质得到，根据平行四边形的判定定理得到四边形为平行四边形；（2）首先得出四边形为平行四边形，进而利用菱形的判定与性质得出时，求出的值，进而得出答案．【小问1详解】证明：在中，，，．，．，，．∴四边形为平行四边形．【小问2详解】解：在中，，，．，．．．若使平行四边形为菱形，则需，即，解得t．即当t时，四边形为菱形．此时，，，，∴菱形的面积．24.已知：点是正方形外部的一个点，且满足，，（），连接．过点作交的延长线于点，连接．（1）在图中补全图形；（2）求的度数；（3）探索线段的数量关系．【答案】（1）见解析（2）（3）【解析】【分析】（）根据题意补全图形即可；（）延长到点，由，得，，则，，所以，，所以；（）作于点，交的延长线于点，可证明四边形是矩形，得，则，即可证明，得，则四边形是正方形，所以，则，作交于点，则，，所以，则，再证明，得，则．【小问1详解】解：如图，补全图形．【小问2详解】如图，延长到点，∵，∴，∴，，∴，，∵四边形是正方形，∴，∴；∴的度数是．【小问3详解】．证明：如图，作于点，交的延长线于点，则，∵交延长线于点，∴，∴四边形是矩形，∴，∴，在和中，，∴，∴，∴四边形是正方形，∴，∴，作交于点，则，