2024-2025学年广东广大附中黄埔实验学校九年级(下)开学考数学试题含答案

初中2024-2025学年第二学期开学检查九年级数学试题考试时间120分钟，总分120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.2.下列选项中是空心圆柱（如图）主视图的是（）A. B. C. D.3.绝对值小于的整数的个数是（）A2 B.3 C.4 D.54.如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交于点D．若，则（）A. B. C. D.5.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（）A. B. C. D.6.如图，中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（）A.1 B.2 C. D.7.若直线经过和，若，则m的取值范围是（）A. B. C. D.8.如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则的长为（

）A. B.5 C. D.69.在平面直角坐标系中，二次函数，的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A. B.C. D.10.如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A.2 B. C. D.3二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.若函数经过点，则代数式的值等于______．12.某市6月份日最高气温统计如图所示，则在日最高气温这组数据中，众数_____℃，中位数是_____℃．13.如图，一个圆锥形零件，高为8cm，底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积是_________．14.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m15.如图，已知点A，点C在反比例函数，轴，若，则与的面积比为________．16.如图，在中，，，边上高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17计算：．18.如图，已知AC平分BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC19.先化简，再求值：，且为满足的整数．20.如图，在中，．点在边上，以为圆心，为半径的经过两点．（1）尺规作图：作出，并标出点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，为劣弧的中点，连接与交于点，延长至点，使．求证：是的切线．21.打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题；（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．22.某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值．23.如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．24.已知：抛物线．（1）若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当时，求函数的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值．25.已知与有公共顶点为等边三角形，在中，．（1）如图1，当点与点重合时，连接，已知四边形的面积为，求的值；（2）如图2，，、、三点共线，连接、，取中点，连接，求证：；（3）如图3，，，将以为旋转中心旋转，取中点，当的值最小时，求的值．

2024-2025学年第二学期开学检查九年级数学试题考试时间120分钟，总分120分一、单选题（本大题共10小题，每小题3分，满分30分．）1.下列各式计算正确的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法判断即可。【详解】A选项，根据同底数幂的乘法，故本选项错误；B选项，根据幂的乘方，故本选项错误；C选项，根据积的乘方，故本选项正确；D选项，根据同底数幂的乘法，故本选项错误；故选C【点睛】本题考查同底数幂的乘法、幂的乘方、积的乘方、同底数幂的除法概念的理解，熟记公式和法则是解题的关键.2.下列选项中是空心圆柱（如图）主视图的是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】本题考查了主视图，根据主视图定义即可解答．【详解】解：根据题意可得：的主视图是故选：C．3.绝对值小于的整数的个数是（）A.2 B.3 C.4 D.5【答案】D【解析】【分析】此题主要考查实数的估算，解题的关键是熟知实数的估算方法．先估算的大小，再根据绝对值的性质即可求解．【详解】解：∵，∴，∴绝对值小于的整数有0，，，共5个，故选：D．4.如图，将绕点C按照顺时针方向旋转得到，交于点D．若，则（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由旋转的性质得出，再根据三角形内角和定理即可求解．【详解】解：∵将绕点C按照顺时针方向旋转得到∴，∵∴，故选：C．【点睛】本题考查了旋转的性质，明确旋转前后对应边，对应角相等是解题的关键．5.俗语有云：“一天不练手脚慢，两天不练丢一半，三天不练门外汉，四天不练瞪眼看．”其意思是知识和技艺在学习后，如果不及时复习，那么学习过的东西就会被遗忘．假设每天“遗忘”的百分比为x，根据“两天不练丢一半”，可列方程（）A B. C. D.【答案】A【解析】【分析】本题考查了一元二次方程的应用，由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，即可求解；【详解】解：由题意得：一天后记得的知识为：，两天后记得的知识为：，∴，故选：A6.如图，中，，点D，E分别是边的中点，点F在线段上，且，则的长为（）A.1 B.2 C. D.【答案】A【解析】【分析】利用三角形中位线定理得到．由直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半得到．所以由图中线段间的和差关系来求线段的长度即可．【详解】解：∵点D、E分别是边的中点，∴是的中位线，∵，∴．∵，D是的中点，，∴，∴．故选：A．【点睛】本题考查了三角形的中位线定理和直角三角形的性质，解题的关键是了解三角形的中位线平行于第三边且等于第三边的一半．7.若直线经过和，若，则m的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】本题考查一次函数的增减性，由时，，可得y随x的增大而减小，进而可得一次项系数，解不等式即可．【详解】解：，，，，故选D．8.如图，在中，是直径，直线l与相切于点C，，垂足为．若，，则长为（

）A. B.5 C. D.6【答案】D【解析】【分析】本题重点考查切线的性质、矩形的判定与性质、勾股定理等知识，连接，作于点F，由直线l与相切于点C，得，可证明四边形是矩形，则，所以，求得，于是得到问题的答案．【详解】解：连接，作于点F，则，直线l与相切于点C，于点D，，，四边形是矩形，，，，，，的长为6，故选：D．9.在平面直角坐标系中，二次函数，的图象如图所示，则函数的图象可能是（

）A. B.C. D.【答案】A【解析】【分析】本题主要考查了二次函数的图象与性质，根据函数图象的开口大小与y轴的交点位置以及对称轴的位置进行判断即可．【详解】解：设，，由图象知，，，，，，，函数的图象开口向下，对称轴在y轴的右侧，与y轴的交点在y轴的正半轴上，只有选项A符合题意，故选：A10.如图，在矩形纸片ABCD中，点E、F分别在矩形的边AB、AD上，将矩形纸片沿CE、CF折叠，点B落在H处，点D落在G处，点C、H、G恰好在同一直线上，若AB＝6，AD＝4，BE＝2，则DF的长是（）A.2 B. C. D.3【答案】A【解析】【分析】构造如图所示的正方形，然后根据相似三角形的判定和性质解直角三角形FNP即可．详解】如图，延长CE，FG交于点N，过点N作，延长交于，∴∠CMN=∠DPN=90°，∴四边形CMPD是矩形，根据折叠，∠MCN=∠GCN，CD=CG，，∵∠CMN=∠CGN=90°，CN=CN，∴，∴，四边形为正方形，∴，∴，，，，设,则，在中，由可得解得；故选A．【点睛】本题考查了折叠问题，正方形的性质与判定，矩形的性质，平行线的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形，勾股定理等知识点的综合运用，难度较大．作出合适的辅助线是解题的关键．二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，满分18分．）11.若函数经过点，则代数式的值等于______．【答案】【解析】【分析】此题考查了二次函数的图象的性质．把代入得到，求出，代入求值即可．【详解】解：∵二次函数的图象经过点，∴，∴，∴，故答案为：．12.某市6月份日最高气温统计如图所示，则在日最高气温这组数据中，众数是_____℃，中位数是_____℃．【答案】①.21②.22【解析】【分析】先从图中找出出现次数最多的数据，求出众数，再将题中的数据按照从小到大的顺序排列，求出中位数即可．【详解】解：由统计图可得出，该市6月份日最高气温为的天数最多，故这组数据中，众数为，将这组数据按照从小到大的顺序排列，可得出第15天和第16天的日最高气温均为，可得出中位数为：．故答案为：21，22．【点睛】本题考查了众数和中位数的概念，解题的关键是掌握一组数据中出现次数最多的数据叫做众数；将一组数据按照从小到大（或从大到小）的顺序排列，如果数据的个数是奇数，则处于中间位置的数就是这组数据的中位数；如果这组数据的个数是偶数，则中间两个数据的平均数就是这组数据的中位数．13.如图，一个圆锥形零件，高为8cm，底面圆的直径为12cm，则此圆锥的侧面积是_________．【答案】60πcm2．【解析】【详解】∵底面直径为12cm，∴底面周长=12πcm，由勾股定理得，母线长=10cm．∴侧面面积×12π×10=60π（cm2）．14.某菜农搭建了一个横截面为抛物线的大棚，尺寸如图，若菜农身高为1.8m，他在不弯腰的情况下，在棚内的横向活动范围是__m【答案】3【解析】【分析】设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，列方程组得到抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，根据题意求出y=1.8时x的值，进而求出答案．【详解】解：设抛物线的解析式为：y=ax2+b，由图得知：点（0，2.4），（3，0）在抛物线上，∴，解得：，∴抛物线的解析式为：y=﹣x2+2.4，∵菜农身高为1.8m，即y=1.8，则1.8=﹣x2+2.4，解得：（负值已舍去）故他在不弯腰的情况下，横向活动范围是：m，故答案为：3．15.如图，已知点A，点C在反比例函数，轴，若，则与的面积比为________．【答案】1∶5【解析】【分析】本题主要考查了反比例函数与几何综合，平行线分线段成比例定理，过C作轴于E，由反比例函数的性先证明，设的面积为S，则的面积为，的面积为，再由平行线分线段成比例定理得到，则的面积为，从而求出的面积为，据此可得答案．【详解】解：如图所示，过C作轴于E，∵轴于点B，∴，∴，设的面积为S，∵，∴的面积为，的面积为，∵，∴，∴，∴的面积为，∴四边形的面积为，即的面积为，∴与的面积比为，故答案为：．16.如图，在中，，，边上的高为，且是锐角,是边上的动点，连接，作，与边交于点，则经过点，，的的半径最小值为______．【答案】【解析】【分析】作的外接圆，由圆周角定理可得，所以，再作于点，可证，进而可得，再利用垂线段最短和三角形三边关系即可得解．【详解】解：如图，作的外接圆，连接、、，过作于点，设，，，过作于点，过作于点，则，，，，，，，即，，，即，解得，的半径最小值为故答案为：【点睛】本题主要考查了圆周角定理、三角形的外接圆、平行四边形的性质、相似三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键．三、解答题（本大题共9小题，满分72分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）17.计算：．【答案】-3【解析】【分析】先计算负整数指数幂、零指数幂、去绝对值和特殊角的三角函数值，再进行四则混合运算即可．【详解】解：【点睛】本题考查实数的混合运算．涉及负整数指数幂，零指数幂，去绝对值和特殊角的三角函数值．掌握实数的混合运算法则是解题关键．18.如图，已知AC平分BAD，AB=AD．求证：△ABC≌△ADC【答案】见解析【解析】【分析】首先根据角平分线的定义得到∠BAC=∠DAC，再利用SAS定理便可证明其全等．【详解】∵AC平分BAD，∴BAC=DAC，在△ABC和△ADC中，,∴△ABC≌△ADC（SAS）.【点睛】此题主要考查了全等三角形的判定，关键是找准能使三角形全等的条件．19.先化简，再求值：，且为满足的整数．【答案】，当时，原式(答案不唯一)【解析】【分析】先运用分式加减法法则计算括号内的，然后再计算分式除法，将分式化简，最后分式的意义的条件和取值范围，取【详解】解：，∵且，，∴当时，原式(答案不唯一)．【点睛】本题考查分式化简求值，熟练掌握分式的运算法则是解题的关键．20.如图，在中，．点在边上，以为圆心，为半径的经过两点．（1）尺规作图：作出，并标出点（保留作图痕迹，不写作法）；（2）在（1）所作的图形中，为劣弧的中点，连接与交于点，延长至点，使．求证：是的切线．【答案】（1）见详解（2）见详解【解析】【分析】（1）先作的垂直平分线，找到的中点，再以点为圆心，为半径作圆即可；（2）由圆周角定理可得，由等腰三角形三线合一可得，由为劣弧的中点，可得，通过等量代换可得，即可证明是的切线．【小问1详解】解：如下图所示：【小问2详解】证明：如图，连接，∵是的直径，，又∵，，∵为劣弧的中点，，，，，，，即，，是的切线．【点睛】本题考查线段垂直平分线的作法，圆周角定理，等腰三角形的性质，切线的判定等，解题的关键是正确作出图象．21.打造书香文化，培养阅读习惯，崇德中学计划在各班建图书角，开展“我最喜欢阅读的书篇”为主题的调查活动，学生根据自己的爱好选择一类书籍（A：科技类，B：文学类，C：政史类，D：艺术类，E：其他类）．张老师组织数学兴趣小组对学校部分学生进行了问卷调查，根据收集到的数据，绘制了两幅不完整的统计图（如图所示）．根据图中信息，请回答下列问题；（1）条形图中的________，________，文学类书籍对应扇形圆心角等于________度；（2）若该校有2000名学生，请你估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数；（3）甲同学从A，B，C三类书籍中随机选择一种，乙同学从B，C，D三类书籍中随机选择一种，请用画树状图或者列表法求甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率．【答案】（1）18，6，（2）480人（3）【解析】【分析】（1）根据选择“E：其他类”的人数及比例求出总人数，总人数乘以A占的比例即为m，总人数减去A，B，C，E的人数即为n，360度乘以B占的比例即为文学类书籍对应扇形圆心角；（2）利用样本估计总体思想求解；（3）通过列表或画树状图列出所有等可能的情况，再从中找出符合条件的情况数，再利用概率公式计算．【小问1详解】解：参与调查的总人数为：（人），，，文学类书籍对应扇形圆心角，故答案为：18，6，；【小问2详解】解：（人），因此估计最喜欢阅读政史类书籍的学生人数为480人；【小问3详解】解：画树状图如下：由图可知，共有9种等可能的情况，其中甲乙两位同学选择相同类别书籍的情况有2种，因此甲乙两位同学选择相同类别书籍的概率为：．【点睛】本题考查条形统计图、扇形统计图、利用样本估计总体、利用画树状图或者列表法求概率等，解题的关键是将条形统计图与扇形统计图的信息进行关联，掌握画树状图或者列表法求概率的原理．22.某商店经销甲、乙两种坚果，其中甲坚果每盒进价比乙坚果多8元，甲、乙坚果每盒售价分别是68元和50元，若该商店用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果多8盒．（1）分别求出甲、乙坚果每盒的进价（2）若超市用6000元购进了甲、乙两种坚果，其中乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍，在两种坚果全部售完的情况下，求总利润的最大值．【答案】（1）甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元；（2）总利润的最大值是1780元【解析】【分析】本题考查了分式方程的应用，不等式的应用，一次函数的应用．熟练掌握销售利润问题解分式方程，解不等式，一次函数的增减性，是解题的关键．（1）设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元，根据“用1920元购进乙坚果比用1920元购进甲坚果数量多8盒”列方程求解；（2）设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果，根据“乙坚果数量不小于甲坚果数量的3倍”求得，设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，得，根据w随m的增大而增大，，且m，均为正整数，求解即可．【小问1详解】解：设乙坚果每盒的进价是x元，则甲坚果每盒的进价是元，根据题意得：，解得：，经检验，是所列方程的解，但不合题意，∴，∴．答：甲坚果每盒的进价是48元，乙坚果每盒的进价是40元；【小问2详解】解：设该商店购进m盒甲坚果，则购进盒乙坚果，根据题意得：，解得：．设两种坚果全部售完后获得的总利润为w元，则，∵，∴w随m的增大而增大，又∵，且m，均为正整数，∴当时，w取得最大值，最大值为（元）．答：总利润的最大值是1780元．23.如图，直线与双曲线交于，两点，点的坐标为，点是双曲线第一象限分支上的一点，连接并延长交轴于点，且．（1）求的值并直接写出点的坐标；（2）点是轴上的动点，连接，，求的最小值；（3）是坐标轴上的点，是平面内一点，是否存在点，，使得四边形是矩形？若存在，请求出所有符合条件的点的坐标；若不存在，请说明理由．【答案】（1），B(2，3)；（2）；（3）P（，0）或（0，）.【解析】【分析】（1）根据直线经过点A，可求出点A（-2，-3），因为点A在图象上，可求出k，根据点A和点B关于原点对称，即可求出点B；（2）先根据利用相似三角形的性质求出点C，再根据对称性求出点B关于y轴的对称点B’，连接B’C，即B’C的长度是的最小值；（3）先作出图形，分情况讨论，利用相似三角形的性质求解即可.【详解】（1）解：因为直线经过点，所以，所以m=-2，所以点A（-2，-3），因为点A在图象上，所以，因为与双曲线交于A，两点，所以点A和点B关于原点对称，所以点B(2，3)；（2）过点B，C分别作BE⊥x轴，CF⊥x轴，作B关于y轴对称点B’，连接B’C，因为BE⊥x轴，CF⊥x轴，所以BE//CF，所以,所以，因为，所以，因为B（2，3），所以BE=3，所以CF=1，所以C点纵坐标是1，将代入可得：x=6，所以点C（6，1），又因为点B’是点B关于y轴对称的点，所以点B’（-2，3），所以B’C=，即的最小值是；（3）解：①当点P在x轴上时，当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥x轴，因为∠OBP=90°，BH⊥OP,所以，所以，所以,所以，所以，所以，所以点P（，0）；②当点P在y轴上时，当∠ABP=90°，四边形ABPQ是矩形时，过点B作BH⊥y轴，因为∠OBP=90°，BH⊥OP,所以，所以，所以,所以，所以，所以，所以点P（0，）综合可得：P（，0）或（0，）.【点睛】本题主要考查正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质，解决本题的关键是要熟练掌握正比例函数和反比例函数图象性质，相似三角形的性质.24.已知：抛物线．（1）若顶点坐标为，求b和c的值（用含a的代数式表示）；（2）当时，求函数的最大值；（3）若不论m为任何实数，直线与抛物线有且只有一个公共点，求a，b，c的值；此时，若时，抛物线的最小值为k，求k的值．【答案】（1）；（2）；（3）；k的值为0或．【解析】【分析】（1）根据抛物线顶点式可得，即可得出答案；（2）由题意可得，可得进而可得，即可得出答案；（3）由直线与抛物线有且只有一个公共点，可得方程有两个相等的实数根，即，可得，进而可得即可求得，，抛物线解析式为，由于抛物线的对称轴为直线，开口向上，当时，抛物线的最小值为，分三种情况：或或，分别根据二次函数的性质讨论即可．【小问1详解】∵抛物线的顶点坐标为，∴，∴；【小问2详解】∵，，∴，∴抛物线与x轴有两个交点，∴，∴，∴，∴函数的最大值为；【小问3详解】∵直线与抛物线