人教A版必修第二册高一（下）数学7.2.1 复数的加、减运算及其几何意义【课件】

1.复数加、减法的运算法则设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)是任意两个复数,那么(a+bi)+(c+di)=(a+c)+(b+d)i,(a+bi)-(c+di)=(a-c)+(b-d)i.2.复数的加法运算律对任意z1,z2,z3∈C,有①交换律:z1+z2=z2+z1;②结合律:(z1+z2)+z3=z1+(z2+z3).7.2.1复数的加、减运算及其几何意义1|复数加法与减法知识点必备知识清单破如图,设复数z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R)对应的向量分别为

,

(

,

不共线),则

=(a,b),

=(c,d),以OZ1,OZ2为邻边作平行四边形OZ1ZZ2,则向量

=(a+c,b+d)与复数z1+z2对应(复数的加法可以按照向量的加法来进行),向量

=(a-c,b-d)与复数z1-z2对应(复数的减法可以按照向量的减法来进行).

2|复数加、减法的几何意义知识点1.两个虚数的和或差一定是虚数吗?2.若复数z1,z2满足z1-z2>0,则z1>z2一定成立吗?3.两个共轭复数的和一定是实数吗?两个共轭复数的差一定是纯虚数吗?4.若a,b,r为实数,且r>0,则满足|z-(a+bi)|=r的复数z在复平面上对应的点Z的轨迹是什么?知识辨析

1.不一定.如(1+i)+(1-i)=2,(1+3i)-3i=1.2.不一定.如2+i-i>0,但2+i与i不能比较大小.3.和一定是实数,差不一定是纯虚数.若z=a+bi(a,b∈R),则

=a-bi,则z+

=2a∈R,因此,两个共轭复数的和一定是实数.而z-

=2bi,当b=0时,z-

=0,是实数,当b≠0时,z-

是纯虚数.4.点Z的轨迹是以点(a,b)为圆心,r为半径的圆.一语破的几个常见结论在复平面内,z1,z2对应的点分别为A,B,z1+z2对应的点为C,O为坐标原点(点O,A,B不共线),

则(1)四边形OACB为平行四边形;(2)若|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为矩形;(3)若|z1|=|z2|,则四边形OACB为菱形;(4)若|z1|=|z2|且|z1+z2|=|z1-z2|,则四边形OACB为正方形.1|复数加、减法的几何意义的应用定点关键能力定点破已知|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,求|z1+z2|.典例

解析

解法一:设z1=a+bi,z2=c+di(a,b,c,d∈R),∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴a2+b2=c2+d2=1,(a-c)2+(b-d)2=1,∴2ac+2bd=1,∴|z1+z2|=

=

=

.解法二:设O为坐标原点,z1,z2,z1+z2对应的点分别为A,B,C,则四边形OACB为平行四边形.∵|z1|=|z2|=|z1-z2|=1,∴OA=OB=AB=1,∴四边形OACB是边长为1的菱形,且∠AOB=60°,∴|z1+z2|2=|OC|2=|OA|2+|AC|2-2|OA|·|AC|cos(180°-60°)=3,∴|z1+z2|=

.1.两个复数差的模的几何意义(1)设复数z1,z2在复平面内对应的点分别为Z1,Z2,则|z1-z2|=|Z1Z2|,即|z1-z2|表示复数z1,z2在复平面

内对应的点之间的距离.(2)|z-z0|=r(r>0)表示以z0对应的点为圆心,r为半径的圆.(3)涉及复数模的最值问题以及点的集合所表示的图形问题,均可转化为两点间距离问题进

行分析,然后通过几何方法进行求解.2.复数模的两个重要性质(1)||z1|-|z2||≤|z1±z2|≤|z1|+|z2|;(2)|z1+z2|2+|z1-z2|2=2|z1|2+2|z2|2.2|复数模的最值问题定点复数z满足|z-1-i|=1,求|z+1+i|的最小值.典例1解析

因为|z-1-i|=1,所以由复数减法的几何意义可知,z对应的点的轨迹是以点(1,1)为圆心,1

为半径的圆,|z+1+i|是圆上的点到点(-1,-1)的距离,故|z+1+i|最小时为圆心(1,1)到点(-1,-1)的距离减去半径

1.所以|z+1+i|min=

-1=2

-1.主编点评

|z-(a+bi)|(a,b∈R)表示复数z对应的点与复数a+bi对应的点之间的距离;而|z+(a+bi)|表示复数z对应的点与-a-bi对应的点之间的距离.若复数z满足|z+i|+|z-i|=2,求|z+i+1|的最小值.典例2解析

设复数z,-i,i,-(1+i)在复平面内对应的点分别为Z,Z1,Z2,Z3,则Z1(0,-1),Z2(0,1),Z3(-1,-1).如图,

因为|z+i|+|z-i|=2,所以|ZZ1|+|Z