随机事件的概率学案文含解析

第一节随机事件的概率

预习⑤知识排查•双基落实抓牢基岫•赢得良好开端

【知识重温】

一、必记4个知识点

1.随机事件和确定事件

(1)在条件S下，①的事件，叫做相对于条件S的必然事件，简称必然事件.

(2)在条件S下，②的事件，叫做相对于条件S的不可能事件，简称不可能

事件.

(3)必然事件和不可能事件统称为相时于条件S的确定事件，简称确定事件.

(4)在条件S下，③的事件，叫做相对于条件S的随机事件，

简称随机事件.

2.频率与概率

(1)在相同的条件S下重复〃次试验，观察某一事件A是否出现，称〃次试验中事件A出

现的次数现为事件人出现的频数,称事件A出现的比例④____________为事件A出现的频率.

(2)对于给定的随机事件A,如果随着试验次数的增加，事件A发生的⑤_______MA)稳

定在某个⑥________上，把这个⑦________记作P(4),称为事件4的概率，简称为4的概率.

3.事件的关系与运算

定义符号表示

如果事件A发生，则事件B一定发生，

包含关系这时称事件B⑧—事件4(或称事件4⑨______（或AU8）

包含于事件B)

若某事件发生当且仅当A发生或事件B

并事件

发生，称此事件为事件4与事件8的矽AU〃（或4+8）

(和事件)

______(或和事件)

若某事件发生当且仅当⑪____________

交事件

且⑫______发生，则称此事件为事件AAAB（或48）

(枳事件)

与事件B的交事件

若AA4为不可能事件，则事件A与事件

互斥事件4c4=0

8互斥

若AA8为不可能事件，AU8为必然条件，那么称事件A与事件8互为对

对立事件

立事件

4.概率的几个基本性质

(1)概率的取值范围：⑬.

(2)必然事件的概率「(D二⑭.

(3)不可能事件的概率/好二⑮.

(4)互斥事件概率的加法公式.

①如果事件A与事件B互斥，则P(AU⑸=⑯.

②若事件8与事件A互为对立事件，则P(A)=⑰.

二、必明3个易误点

1.正确区别互斥事件与对立事件的关系：对•立事件是互斥事件的特殊情况，但互斥事件

不一定是对立事件，“互斥”是“对立”的必要不充分条件.

2.从集合的角度看，几个事件彼此互斥，是指由各个事件所含的结果组成的集合彼此不

相交，事件A的对立事件X所含的结果组成的集合，是全集中由事件4所含的结果组成的集

合的补集.

3.需准确理解题意，特留心“至多……”，"至少……”，”不少于……”等语句的含

义.

【小题热身】

一、判断正误

1.判断下列说法是否正确（请在括号中打“J”或"X”）.

（1）事件发生的频率与概率是相同的.（）

（2）随机事件和随机试验是一回事.（）

（3）在大量重复试验中，概率是频率的稳定值.（）

（4）两个事件的和事件是指两个事件都得发生.（）

（5）对立事件一定是互斥事件，互斥事件不一定是对立事件.（）

（6）两互斥事件的概率和为1.（）

二、教材改编

2.某人打靶时连续射击两次，下列事件中与事件“至少一次中靶”互为对立事件的是

（）

A.至多一次中靶B.两次都中靶

C.只有一次中靶D.两次都没有中靶

3.从不包含大小王牌的52张扑克牌中随机抽取一张，设事件人=“抽到红心”，事件4

="抽到方片”，P（A）=HBT，则P（“抽到红花色"）=,P（"抽到黑花色”）=

三「易错易混

4.甲、乙两人做出拳（锤子、剪刀、布）游戏，则平局的概率为；甲赢的概率为

5.从一箱产品中随机地抽取一件，设事件A=｛抽到一等品｝,事件｛抽到二等品）,

事件C=｛抽到三等品｝,且已知P（A）=,P（B）=,P（C）=，则事件”抽到的产品不是一等品”

的概率为.

四、走进高考

6.［2019.江苏卷］从3名男同学和2名女同学中任选2名同学参加志愿者服务，则选出的

2名同学中至少有I名女同学的概率是

随机事件关系的判断［自主练透型］

1.把语文、数学、英语三本学习书随机地分给甲、乙、丙三位同学，每人一木，则事件

A：“甲分得语文书”，事件8：“乙分得数学书”，事件C“丙分得英语书”，则下列说

法正确的是（）

A.A与8是不可能事件

B.A+8+C是必然事件

C.A与8不是互斥事件

D.B与C既是互斥事件也是对立事件

2.在5张电话卡中，有3张移动卡和2张联通卡，从中任取2张，若事件“2张全是移

动卡”的概率是行3，那7么概率是亡的事件是（）

A.至多有一张移动卡

B.恰有一张移动卡

C.都不是移动卡

D.至少有一张移动卡

3.甲：4,A?是互斥事件：乙：Ai，A?是对立事件，那么（）

A.甲是乙的充分不必要条件

B.甲是乙的必要不充分条件

C.甲是乙的充要条件

D.甲既不是乙的充分条件，也不是乙的必要条件

悟•技法

互斥、对立事件的判别方法

(I)在一次试验中，不可能同时发生的两个事件为互斥事件.

(2)两个互斥事件，若有且仅有一个发生，则这两个事件为对立事件.

考点二随机事件的频率与概率［互动讲练型］

［例1］［2020•全国卷I］甲、乙、丙三位同学进行羽毛球比赛，约定赛制如下：

累计负两场者被淘汰；比赛前抽签决定首先比赛的两人，另一人轮空；每场比赛的胜者

与轮空者进行下一场比赛，负者下一场轮空，直至有一人被淘汰；当一人被淘汰后，剩余的

两人继续比赛，直至其中一人被淘汰，另一人最终获胜，比赛结束.

经抽签，甲、乙首先比赛，丙轮空.设每场比赛双方获胜的概率都为;.

(1)求甲连胜四场的概率；

(2)求需要进行第五场比赛的概率；

(3)求丙最终获胜的概率.

悟•技法

计算简单随机事件频率或概率的解题思路

(1)计算所求随机事件出现的频数及总事件的频数.

(2)由频率公式得所求，由频率估计概率.

［变式练］——(着眼于举一反三)

1.果河流上的一座水力发电站，每年六月份的发电量H单位：力千瓦时)与该河上游在六

月份的降雨量X(单位：亳米)有关.据统计，当X=70时，，r=460；X每增加10,y增加5.已

知近20年X的值为

140,110,160,70.200.160.140.160.220,200,110.160,160,200,140,110,160.220.140,160.

(1)完成频率分布表.

近20年六月份降雨量频率分布表

降雨量7011014016020C220

142

频率

202020

(2)假定今年六月份的降雨量与近20年六月份降雨量的分布规律相同，并将频率视为概率，

求今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率.

考点三互斥事件与对立事件的概率

［互动讲练型］

［例2］某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息，安排一名员工随机收集了在该超

市购物的100位顾客的相美数据，如下表所示.

一次购1至5至9至13至17件

物量4件8件12件16件及以上

顾客数（人）X3025y10

结算时间

123

（分钟/人）

已知这100位顾客中一次购物量超过8华:的顾客占55%.

（1）确定乂），的值，并估计顾客一次购物的结算时间的平均值：

（2）求一位顾客一次购物的结算时间不超过2分钟的概率（将频率视为概率）.

听课笔记：

悟•技法

（I）求解本题的关键是正确判断各事件之间的关系，以及把所求事件用已知概率的事件表示出

来.

（2）求复杂的互斥事件的概率一般有两种方法：一是直接求解法，将所求事件的概率分解为一

些彼此互斥的事件的榻率再求和；二是间接法，先求该事件的对立事件的榻率，再由P（A）=1

一P（X）求解.当题目涉及“至多”、“至少”时，多考虑间接法.

［变式练］——（着眼于举一反三）

2.有一批货物需要用汽车从生产商所在城市甲运至销售商所在城市乙，已知从城市甲到

城市乙只有两条公路，据调查统计，通过这两条公路从城市甲到城市乙的200辆汽车所用时

间的频数分布情况如下表所示，

所用时间（天数）10111213

通过公路1的频数20402020

通过公路2的频数10404010

假设汽车A只能在约定日期（某月某日）的前II天出发，汽车8只能在约定日期的前12天

出发（将频率视为概率），为了在各自允许的时间内将货物运至城市乙，汽车A和汽车B选择的

最佳路径分别为（）

A.公路1和公路2B.公路2和公路1

C.公路2和公路2D.公路1和公路1

第十章概率

第一节随机事件的概率

【知识重温】

①一定会发生②一定不会发生③可能发生也可能不发生④瓜田=詈⑤频率⑥

常数⑦常数⑧包含⑨B3A⑩并事件

⑪事件A发生⑫事件B⑬OWP(A)W1⑭1⑮0⑯尸(A)+P(8)⑰1一户(8)

【小题热身】

1.答案：(1)X(2)X(3)J(4)X

(5)J(6)X

2.解析：连续射击两次的结果有四种：①笫-次中把第二次中靶；②第一次中靶第二次

没中靶：③第一次没中靶第二次中靶：④第一次没有中耙第二次没有中靶，事件“至少一次

中靶"包含①②③，所以事件“至少一次中靶”的对立事件是D.

答案：D

3.解析：因为A与8不会同时发生，所以A与B是互斥事件，则P(“抽到红花色”)=

尸(A)+P(B)=；+：=/又事件“抽到黑花色”与“抽到红花色”是对立事件，则P(“抽到黑

花色”)=1一尸(“抽到红花色")=1

答案：1I

4.解析：设平局(用△表示)为事件4,甲赢(用。表示)为事件8,乙赢(用※表示)为事件

C,容易得到如图.平局含3个基本事件(图中的△),尸5)=33=热I甲高含3个基本事件(图中

3I

的。)，P(8)=§=?

答案：II

5.解析：•・•事件A=，:抽到一等品),且P(A)=,・••事件”抽到的产品不是一等品”的概

率为P=l-P(A)=l-=0.35.

答案：

6.解析：从3名男同学和2名女同学中任选2名同学共有Cg=10种选法，其中选出的2

名同学都是男同学的选法有c3=3种，则选出的2名同学中至少有1名女同学的概率。=1一・

7

10-

答案端

课堂考点突破

考点一

葡析：”A,B,C'都是随机事件，可能发生，也可能不发生，故A、B两项错误；

“A,B”可能同时发生，故"A”与“8”不互斥，C项正确；“B”与“C”既不互斥，也不

对立，D项错误，故选C.

答案：C

2.解析：“至多有一张移动卡”包含“一张移动卡，一张联通卡”，“两张全是联通卡”

两个事件，它是“2张全是移动卡”的对立事件.

答案：A

3.解析：两个事件是对立事件，则它们一定互斥，反之不成立，故甲是乙的必要不充分

条件.

答案：B

考点二

例1解析：⑴甲连胜四场的概率为七

(2)根据赛制，至少需要进行四场比赛，至多需耍进行五场比赛.

比赛四场结束，共有三种情况：

甲连胜四场的概率为七

乙连胜四场的概率为七

丙上场后连胜三场的概率为！

O

所以需要进行笫五场比赛的概率为1一=1一土1一户I本3

(3)丙最终获胜，有两种情况：

比赛四场结束且丙最终获胜的概率为《；

比赛五场结束且丙最终获胜，则从第二场开始的四场比赛按照丙的胜、负、轮空绐果有

三种情况：胜胜负胜，胜负空胜，负空胜胜，概率分别为白，1

10OO

因此丙最终获胜的概率为(+专+/看.

变式练

故P(“发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时")=P(X<490或F>530)=P(X<130

1323

或X>210)=P(X=70)+P(X=110)+P(X=220)=而+而+充=行.

故今年六月份该水力发电站的发电量低于490万千瓦时或超过530万千瓦时的概率为需.

考点三

例2解析：⑴由已知得25+y+10=55,x+30=45,所以x=15,y=20.该超市所有顾

客一次购物的结算时间组成一个总体，所