多边形及其内角和课件2025-2026学年人教版数学八年级下册

第二十一章四边形21.1.2多边形及其内角和21.1四边形及多边形八下数学RJ1.探索并掌握多边形内角和与外角和公式;2.能运用多边形内角和与外角和公式解决有关问题，提升推理能力.多边形在生活中也很常见，观察下图中的图片，你能从中找出一些多边形的形象吗？与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.边顶点对角线内角外角与三角形、四边形类似，如图，在平面内，由n(n≥3)条线段A₁A₂，A₂A₃，…，An-1An，AnA₁首尾顺次相接，组成的图形叫作多边形.边顶点对角线内角说明：n(n≥3)边形共有n条边，n个顶点，n个内角，2n个外角，从一个顶点处可以引(n-3)条对角线.

外角多边形的边、顶点、内角、外角、对角线的概念与四边形相应的概念类似.多边形有几条边就叫作几边形.多边形同样用表示它的各个顶点的字母表示，例如，图中的六边形，记作“六边形ABCDEF”.AEDCBF与四边形类似，在多边形中，有的是凸多边形，有的不是凸多边形.今后，如无特殊说明，所讨论的多边形都是凸多边形.我们知道，正方形的各个角都相等，各条边都相等.像正方形这样，各个角都相等、各条边都相等的多边形叫作正多边形.下图中是正多边形的一些例子.正三角形正方形正五边形正六边形例1

下列图形中，一定是正多边形的是()A.直角三角形B.等腰三角形C.长方形D.正方形三条边不都相等，三个角不都相等.三条边不一定都相等，三个角也不一定都相等.四个角都相等，但四条边不一定都相等.四条边都相等，四个角都相等.D探究

类比四边形的内角和的推导过程，你能推导出五边形和六边形的内角和各是多少度吗？由上述推导过程，你能得出多边形的内角和与边数的关系吗？(1)从四边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将四边形分成______个三角形，四边形的内角和等于_____×180°；(2)从五边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将五边形分成______个三角形，五边形的内角和等于_____×180°；221332(3)从六边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将六边形分成______个三角形，六边形内角和等于_____×180°；(4)从n边形的一个顶点出发，可以引______条对角线，将n边形分成______个三角形，n边形内角和等于_____×180°.443(n-2)(n-3)(n-2)把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法吗？由新的分法，能得出多边形的内角和公式吗？把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表方法图示方法1：如图所示，在n边形内任取一点P，连接PA₁,PA₂,...,PAn，把n边形分成n个三角形，这n个三角形的内角和为n×180°，再减去一个周角的度数，即得n边形的内角和为n×180°-360°=(n-2)×180°.把一个多边形分成若干个三角形，还有其他分法.可在多边形的内部或一边上任取一点，将该点与各顶点连接得到n个或(n-1)个三角形，由此可推导出多边形内角和公式.具体如下表方法图示方法2：如图所示，在n边形的一边上任取一点P与各顶点相连，得(n-1)个三角形，n

边形内角和等于这(n-1)个三角形的内角和减去在点P处的一个平角的度数，即得n边形的内角和为(n-1)×180°-180°=(n-2)×180°.这样就得出了多边形的内角和公式：n边形的内角和等于(n-2)×180°.例2

若一个六边形的每个内角都是x°，则x的值为（

）A.60 B.90 C.120 D.150解析：∵一个六边形的每个内角都是x°，∴ 6×x°=(6−2)×180°，解得

x=120.C跟踪训练

如图，在正六边形ABCDEF中，∠CAE的度数是_______．60°

ADCEBF探究

与四边形的外角和类似，在多边形的每个顶点处各取一个外角、它们的和叫作多边形的外角和.多边形的外角和等于多少度？请你说明理由.与四边形类似，多边形的每一个内角与和它相邻的外角是邻补角，因此n边形的内角和与外角和的总和等于n×180°，外角和等于

n×180°-(n-2)×180°=360°.这样就得出了多边形的外角和公式：n边形的外角和等于360°.也可以这样理解为什么多边形的外角和等于360°：如图，从多边形的一个顶点A出发，沿多边形的各边依次走过各顶点，再回到点A,然后转向出发时的方向.在行程中所转的各个角的和，就是多边形的外角和，由于走了一周，所转的各个角的和等于一个周角，所以多边形的外角和等于360°例3

一个多边形的内角和等于外角和的2倍，这个多边形是几边形？解：设这个多边形的边数为n.因为它的内角和等于(n-2)×180°，外角和等于360°，所以(n-2)×180°=2×360°.解得

n=6.因此这个多边形是六边形.跟踪训练

图(1)是我国古代建筑中的一种窗格，其中冰裂纹图案象征着坚冰出现裂纹并开始消融，形状无一定规则，代表一种自然和谐美.图(2)是从图(1)冰裂纹窗格图案中提取的由五条线段组成的一个图形.已知∠3+∠4=180°，∠2=61°，∠5=52°，则∠1的度数为（

）A.57 B.66° C.63° D.67°解析：∵多边形的外角和等于360°，∴∠1+2+∠3+∠4+∠5=360°，∴∠1=360°-∠2-∠3-∠4-∠5=67°.D图（1）

图（2）1.求出下列图形中x的值：x°x°x°x°x°2x°150°120°(1)(2)(3)135°150°x°AB//CDBACDE解：(1)由2x+x+150+120+90=(5-2)×180，得x=60.(2)由4x+90+90=(6-2)×180，得x=135.(3)∵AB∥CD，∴∠B+∠C=180°.由x+150+180+135=(5-2)×180，得x=75.2.(1)一个多边形的内角和等于1080°，这个多边形是几边形？解：（1）设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°=1080°，得

n=8，所以这个多边形是八边形.2.(2)一个多边形的每一个内角都等于120°，这个多边形是几边形？解：（2）方法一：∵该多边形的每一个内角都等于120°，∴该多边形的每一个外角都等于60°。360°÷60°=6，∴这个多边形是六边形.方法二：设这个多边形的边数为n，则(n-2)×180°=120°×n，解得

n=6，所以这个多边形是六边形.2.(3)一个多边形的每一个外角都等于72°，这个多边形是几边形？解：（3）∵该多边形的每一个外角都等于72°，360°÷72°=5，∴这个多边形是五边形.利用多边形的内角（和）、外角（和）求边数的方法1.已知n边形的内角和（或已知正n边形的一个外角），可利用n边形的内角和公式（或利用n边形的外角和为360°）求边数；2.已知正n边形的一个内角的度数为m,可通过列方程(n-2)·180°=mn求边数；3.已知多边形内角和与外角和之间的数量关系，可列方程求边数.3.参加科创兴趣小组的同学，给机器人设定了如图所示的程序，机器人从点O出发，沿直线前进1米后左转18°，再沿直线前进1米，又向左转18°……照这样走下去，机器人第一次回到出发地O点时，一共走的路程是（）A.10米 B.18米 C.20米 D.36米解析：由题意，得机器人走的路径是一个边长为1米，每个外角都为18°的正多边形.360°÷18°=20