第28讲：复数（知识梳理+题型总结）（学生版）

【第29讲：复数】【新高考课标要求】1.理解复数基本概念：需透彻认识复数的定义，明晰形如（）的数即为复数，其中是实部、是虚部，且为虚数单位，满足。这要求学生能精准辨别复数的实部与虚部，理解纯虚数（且）、实数（）等特殊复数类型的概念差异。比如面对复数，能迅速指出实部是，虚部是；看到，知道它是纯虚数，实部为。2.掌握复数相等条件：要深刻理解复数相等的充要条件，即当且仅当且（）。在解题中，若遇到等式，学生应能依据该条件列出方程组求解。这一知识点常与方程、函数等知识结合，考查学生的综合运用能力。3.明晰复数代数表示与几何意义：一方面，要熟悉复数的代数表示法，能够熟练进行复数的代数形式书写与转换；另一方面，要理解复数的几何意义，知晓复数与复平面内的点以及平面向量存在一一对应关系。例如，复数在复平面内对应的点为，对应的向量从原点出发，终点坐标为。这有助于学生从几何直观角度理解复数运算，如复数的加法对应向量的加法，在复平面上体现为向量的平移。4.熟练进行复数代数形式四则运算：涵盖复数的加、减、乘、除运算。加法和减法运算遵循实部与实部相加减、虚部与虚部相加减的规则，即。乘法运算类比多项式乘法，但要注意的运用，如。除法运算则需将分母实数化，通过乘以分母的共轭复数来实现，如（）。学生需通过大量练习，提升运算的准确性与速度。5.了解复数加、减运算几何意义：复数加法的几何意义是，两个复数相加对应复平面内相应向量的加法，其和对应的向量是以这两个向量为邻边的平行四边形的对角线（从共同起点出发）；复数减法的几何意义是，两个复数相减对应复平面内相应向量的减法，差对应的向量是从减数向量的终点指向被减数向量的终点。例如，已知复数，，在复平面内，对应的向量可由与通过平行四边形法则得到，对应的向量则是从指向。【知识梳理】一、复数核心知识梳理（紧扣高考高频考点）1.复数的基本概念（高考基础送分点） 定义：形如（）的数称为复数，其中为虚数单位，满足。 实部：（必须为实数，不可含）； 虚部：（同样为实数，是虚数单位的系数，不含）。 分类： 实数：（如，可表示为）； 纯虚数：且（如，不可忽略的条件）； 非纯虚数的虚数：且（如）。2.复数的相等与共轭（高考常考方程求解） 相等条件：对任意复数，（），且。 核心应用：通过实部、虚部分离列方程组，求解复数中的参数（如已知，得，解得，）。 共轭复数：设，则其共轭复数为（实部不变，虚部变号）。 几何特征：复平面内，与对应的点关于实轴对称； 运算性质：（实数），（纯虚数或零），（高考高频，常用于分母实数化或求模长）。3.复数的几何意义（高考多选题常考） 一一对应关系： 复数复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴，原点对应复数）； 复数平面向量（为原点）。 模长的几何意义： 复数的模，表示复平面内点到原点的距离，或向量的长度； 两点距离：复平面内两点，对应的复数分别为，，则（高考常结合圆、线段等几何图形考查）。4.复数的四则运算（高考必考运算题） 加法：（实部相加，虚部相加）； 减法：（实部相减，虚部相减）； 乘法：类比多项式乘法，结合化简： 特殊公式：（共轭复数乘积，即模长平方），（高考高频，需熟记）； 除法：核心是分母实数化，乘以分母的共轭复数： 5.复数加减运算的几何意义（高考偶尔结合向量考查） 加法：复平面内，对应的向量为，遵循平行四边形法则（以，为邻边，对角线即为和向量）； 减法：复平面内，对应的向量为（从对应点指向对应点的向量）。二、常用结论（高考真题高频调用）1.虚数单位的幂次循环：，，，，周期为，即（，）。 示例：，（高考常考指数化简）。2.常见复数运算结果： （分子分母同乘，得）； （分母实数化：）； （同理推导，与上式互为相反数）。3.模长的运算性质：对任意复数，，有： ； （）； （）。4.共轭复数的运算性质：，，（）。三、微点提醒（高考易错点规避）1.虚部的概念误区：复数的虚部是（实数），而非。例如，的虚部是，不是（高考选择题常设置此陷阱）。2.纯虚数的条件遗漏：判断纯虚数时，需同时满足“实部为”且“虚部不为”。例如，为纯虚数，需，解得，不可仅由得（模拟题高频易错点）。3.复平面与直角坐标系的区别：复平面的纵轴是虚轴，单位为，对应复数的虚部；直角坐标系的纵轴是轴，单位为，二者不可混淆。例如，复数对应复平面内的点，而非直角坐标系中的向量。4.除法运算的分母不为零：进行复数除法时，需先判断分母是否为零（即分母的实部、虚部不同时为零）。例如，无意义，因分母对应的复数不能作为除数。5.模长的非负性：复数的模长是实数且非负，计算时需注意根号下的表达式为平方和（恒正），例如，不可遗漏负号的平方。【课前自测】【真题体验】一、单选题1．（2023·全国甲卷·高考真题）（

）A． B．1 C． D．2．（2024·新课标Ⅰ卷·高考真题）若，则（

）A． B． C． D．3．（2023·全国乙卷·高考真题）（

）A．1 B．2 C． D．54．（2007·陕西·高考真题）在复平面内，复数对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限5．（2024·全国甲卷·高考真题）若，则（

）A． B． C．10 D．6．（2025·北京·高考真题）已知复数z满足，则（

）A． B． C．4 D．8二、填空题7．（2025·天津·高考真题）已知i是虚数单位，则．8．（2024·天津·高考真题）是虚数单位，复数．9．（2025·上海·高考真题）已知复数z满足，则的最小值是．10．（2024·上海·高考真题）已知虚数，其实部为1，且，则实数为．题型题型分类知识讲解与常考题型【考点一：复数的相关概念】【例题】1．（24-25高一下·陕西渭南·期末）已知复数满足，则复数的虚部为（

）A． B． C． D．2．（2025·云南玉溪·模拟预测）若复数满足，则的虚部为（

）A． B． C． D．【针对训练】3．（2025·全国·模拟预测）若复数满足（其中i是虚数单位），复数的共轭复数为，则（

）A．的实部是B．C．在复平面内对应的点在第一象限D．与在复平面内它们所对应的点关于轴对称4．（2025·海南·模拟预测）下列有关复数的说法中（其中i为虚数单位），正确的是（

）A．B．复数的共轭复数的虚部为4C．若复数z满足，则的最大值为2D．若是关于x的方程的一个根，则5．（2025·河北·模拟预测）复数满足：，则（

）A． B．6 C． D．【解题策略】一、复数基本概念（实部、虚部、分类）解题思路1.核心考点与解题步骤 考点1：识别实部与虚部 解题步骤：①明确复数标准形式（），若复数非标准形式（如含、分母含），先化简为；②直接提取实部（不含的实数部分）、虚部（的系数，且为实数）。 适配场景：题目直接要求求复数的实部/虚部，或结合实部、虚部求参数（如“已知的实部为，求”）。 考点2：复数分类（实数、纯虚数、虚数） 解题步骤：①先将复数化为标准形式（）；②按分类条件判断： 实数：满足； 纯虚数：满足且（需同时满足两个条件，缺一不可）； 虚数：满足（包含纯虚数与非纯虚数的虚数）。 适配场景：题目明确要求判断复数类型，或已知复数类型求参数（如“已知为纯虚数，求”）。2.避错关键 虚部不可带：如的虚部是，而非； 纯虚数需“双条件”：不可仅由“实部为”判定为纯虚数，需额外验证“虚部不为”，避免漏解或错解参数。二、复数相等与共轭复数解题思路1.核心考点与解题步骤 考点1：复数相等 解题步骤：①确保两个复数均化为标准形式、（）；②根据“实部相等且虚部相等”列方程组；③解方程组求参数或验证相等关系。 适配场景：题目给出复数相等的等式，求其中的参数（如“，求”），或证明两个复数相等。 考点2：共轭复数 解题步骤：①若复数为标准形式，直接得共轭复数（实部不变，虚部变号）；②若复数非标准形式，先化简为，再求共轭；③利用共轭复数性质解题：（实数）、（纯虚数或零）、（模长平方）。 适配场景：题目要求求共轭复数，或结合共轭复数性质求模长、数量关系（如“已知，求”）。2.避错关键 复数相等的“前提条件”：必须保证两个复数的实部、虚部均为实数，否则不可直接用“实部、虚部分别相等”； 共轭复数的“符号变化”：仅虚部变号，实部不变，避免将误写为或。三、复数几何意义（点、向量、模长）解题思路1.核心考点与解题步骤 考点1：复数与点、向量的对应关系 解题步骤：①明确对应规则：复数对应复平面内点，对应向量（为原点）；②若已知复数，直接写出对应点坐标或向量坐标；③若已知点或向量，反向写出对应复数（点对应，向量对应）。 适配场景：题目要求指出复数对应复平面内的点或向量，或由点/向量求复数（如“求复平面内点对应的复数”）。 考点2：复数模长的计算与几何意义 解题步骤：①若复数为标准形式，直接用公式计算；②若复数为非标准形式（如），先化简为，或利用模长性质（，、）；③结合几何意义：表示点到原点的距离，表示点到的距离，辅助分析几何图形（如圆、线段）。 适配场景：题目要求求复数模长，或结合模长的几何意义求最值、判断轨迹（如“求表示的图形”）。2.避错关键 复平面与直角坐标系的“区别”：复平面纵轴为虚轴，对应复数虚部，不可将点误理解为直角坐标系中“，”； 模长的“非负性”：是实数且非负，计算时需注意根号下为平方和（恒正），避免遗漏负号的平方（如）。四、通用解题流程（适用于所有复数概念题）1.化简优先：无论何种题型，先将复数化为标准形式（），避免非标准形式导致的概念混淆；2.定位考点：根据题目要求，判断考查“基本概念”“复数相等/共轭”还是“几何意义”，匹配对应解题步骤；3.列关系/用性质：结合考点列方程（如复数相等列方程组）、用公式（如模长公式、共轭性质），确保每一步紧扣概念本质；4.验证检查：解题后验证结果是否符合概念要求（如纯虚数需验证虚部不为，模长需验证非负），规避常见易错点。【考点二：复数的几何意义】【例题】1．（2025·河北秦皇岛·模拟预测）已知复数满足（为虚数单位），则复数在复平面上不可能位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2025·四川巴中·二模）已知复数的共轭复数记为，对于任意的三个复数与下列结论错误的是（

）A．复数的共轭复数B．若，则复平面内对应的点位于第四象限C．已知复数z满足，则的最小值为2D．若，且，则【针对训练】1．（2025·山东·三模）已知i是虚数单位，若复数z满足，则z在复平面内对应的点在（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限2．（2025·广东佛山·三模）复平面上两点对应的复数分别是，向量对应的复数为，则（

）A．17 B． C．13 D．3．（2025·广东·模拟预测）若复数z满足，那么的最大值是（

）A．1 B． C．2 D．【解题策略】一、复数与复平面内点、向量的对应关系（高考基础高频考点）1.核心考点与解题步骤 考点1：由复数确定点/向量 解题步骤：①确保复数化为标准形式（），若为非标准形式（如含、分母含），先化简（如）；②依据对应规则：复数对应复平面内的点（横轴为实轴，纵轴为虚轴），对应从原点出发的向量；③直接写出点的坐标或向量的坐标，无需额外运算。 适配场景：题目要求指出复数在复平面内对应的点的位置（如象限、坐标轴），或写出对应向量（如“求复数对应复平面内的点及向量”）。 考点2：由点/向量确定复数 解题步骤：①明确已知条件类型：若已知复平面内点，直接对应复数；若已知向量（为原点），同样对应复数；②若向量起点非原点（如，、），先计算向量坐标，再对应复数。 适配场景：题目给出复平面内点的坐标或向量坐标，求对应复数（如“复平面内点对应什么复数”“向量对应什么复数”）。2.避错关键 区分“复平面与直角坐标系”：复平面纵轴是虚轴，仅对应复数的虚部，不可将点误写为“”，也不可将向量坐标中的带； 非原点向量的转化：若向量起点不是原点，需先计算向量的坐标（终点坐标减起点坐标），再对应复数，避免直接用起点或终点坐标对应复数。二、复数模长的几何意义（高考重难点考点）1.核心考点与解题步骤 考点1：模长的基本计算（点到原点的距离） 解题步骤：①若复数为标准形式，直接代入模长公式计算（根号下为实部、虚部的平方和，恒非负）；②若复数为非标准形式（如），先化简为（如），再代入公式；③若复数与共轭相关（如），可利用性质简化计算（如，，则）。 适配场景：题目直接要求求复数的模长（如“求”），或结合复数运算求模长（如“求”）。 考点2：模长的几何应用（两点间距离与轨迹问题） 解题步骤：①两点间距离：若复数、对应复平面内点、，则，即两点间的距离；②轨迹判断：根据模长表达式的结构确定轨迹： （，为定复数）：表示以对应点为圆心、为半径的圆； （为定复数）：表示线段的垂直平分线； （）：表示以为焦点的椭圆。 适配场景：题目要求求复平面内两点间的距离（如“求与对应点的距离”），或判断模长表达式表示的几何图形（如“判断表示的图形”）。 考点3：模长的最值问题 解题步骤：①几何法（优先用）：将复数模长转化为复平面内的距离，结合图形求最值（如求的最小值，即求点到点的最小距离，若在某定图形上，如线段、圆，则结合图形性质找最近点）；②代数法：设（），将模长表达式化为关于的函数（如），结合约束条件（如）求函数最值。 适配场景：题目要求求模长的最值（如“已知满足，求的最大值”），常结合圆、线段、椭圆等图形考查。2.避错关键 模长公式的“平方和”：不可将误写为或，计算时需注意实部、虚部的正负（平方后均为正）； 轨迹条件的“限制”：判断椭圆轨迹时，需满足“”，若，则表示线段，不可直接判定为椭圆； 最值求解的“几何优先”：代数法计算较繁琐，且易因计算错误出错，优先用几何法转化为距离问题，结合图形直观求解。三、复数加减运算的几何意义（高考低频但易漏考点）1.核心考点与解题步骤 考点1：加法的几何意义（平行四边形法则） 解题步骤：①确定两个复数、对应向量、；②以、为邻边作平行四边形，从原点出发的对角线对应的向量即为，对应复数；③若需验证，可通过向量加法坐标运算或复数加法运算核对。 适配场景：题目要求结合平行四边形法则求两复数的和（如“已知、，用几何方法求”）。 考点2：减法的几何意义（三角形法则） 解题步骤：①确定复数、对应向量、；②复数减法对应向量减法，即从对应点指向对应点的向量，对应复数；③可通过两点间距离公式验证。 适配场景：题目要求结合向量减法求复数差（如“已知、，用几何方法求”），或解释复数差的几何意义。2.避错关键 加法的“平行四边形起点”：两向量需从同一原点出发，才能构成平行四边形的邻边，不可用非共起点的向量直接叠加； 减法的“向量方向”：对应向量是“从指向”，而非“从指向”，避免方向混淆导致复数符号错误。四、通用解题流程（适用于复数几何意义题型）1.化简先行：无论何种题型，先将涉及的复数化为标准形式（），为后续对应点、向量或计算模长奠定基础；2.几何转化：将复数问题转化为几何问题——复数对应点/向量，模长对应距离，模长表达式对应轨迹，明确几何模型（如点、线段、圆、椭圆）；3.选法求解：基础计算用公式（如模长公式），轨迹与最值问题优先用几何法（结合图形性质），复杂约束条件下用代数法（设坐标转化为函数）；4.验证回归：解题后将几何结果回归到复数问题（如轨迹图形对应模长表达式，距离最值对应模长最值），验证是否符合题目要求，规避几何与复数的转化错误。【考点三：复数的运算】【例题】1．（2025·全国·模拟预测）已知复数，为的共轭复数，则（

）A． B．C． D．2．（2025·江苏泰州·模拟预测）若，其中i是虚数单位，则复数z的共轭复数的模为（

）A． B．2 C． D．4【针对训练】1．（2024·陕西西安·模拟预测）已知复数，则复数的共轭复数为（

）A． B． C． D．2．（2025·江苏连云港·模拟预测）已知，，若，则（

）A． B． C． D．3．（2025·山东泰安·模拟预测）若复数满足，则（

）A． B． C． D．【解题策略】一、复数的加法运算（高考基础送分点）1.核心考点与解题步骤 考点：代数形式加法 解题步骤：①确保两个复数均为标准形式、（），若含非标准项（如），先化简（如）；②按“实部相加，虚部相加”规则计算：；③结果保留形式，若虚部为，可直接表示为实数（如）。 适配场景：题目直接考查复数加法，或结合向量加法（复平面几何意义）考查，多为基础计算题（如“计算”）。2.避错关键 避免“实虚部混淆”：不可将实部与虚部交叉相加（如）； 化简非标准项：计算前需先处理、分母含等非标准形式，确保复数为后再运算，避免直接相加导致错误。二、复数的减法运算（高考基础高频考点）1.核心考点与解题步骤 考点：代数形式减法 解题步骤：①同加法，先将复数化为标准形式、；②按“实部相减，虚部相减”规则计算：；③注意负号分配，若虚部为负，相减后变为正（如）。 适配场景：题目直接考查复数减法，或结合复平面内两点间距离（）考查，如“计算”，或先算减法再求模长。2.避错关键 负号分配完整：减去一个复数等于加上其相反数，即，避免漏改实部或虚部的符号（如）； 结果符号检查：计算后核对虚部符号，确保负号未遗漏（如若为负，虚部直接保留负号）。三、复数的乘法运算（高考核心考点，多结合公式考查）1.核心考点与解题步骤 考点1：代数形式乘法（多项式乘法类比） 解题步骤：①将复数视为多项式（为字母），按多项式乘法展开：；②利用化简含的项：；③合并实部与虚部：实部为，虚部为，最终结果为。 适配场景：基础乘法计算（如“计算”），或结合共轭复数乘法（）考查。 考点2：特殊乘法公式（高频应用） 解题步骤：熟记高频特殊公式，直接代入计算以简化运算：①平方公式：，尤其、；②共轭乘法：（结果为实数，常用于分母实数化或求模长）；③立方公式（低频）：，可按多项式展开后化简。 适配场景：题目含平方、共轭乘法结构，如“计算”“计算”，用特殊公式可快速得出结果。2.避错关键 化简不遗漏：展开后必须将化为，不可保留（如）； 特殊公式记准确：避免混淆与，或共轭乘法符号错误（如）。四、复数的除法运算（高考重难点，多为压轴基础题）1.核心考点与解题步骤 考点：代数形式除法（分母实数化） 解题步骤：①确保被除数、除数均为标准形式，除数不为（即除数实部、虚部不同时为）；②核心操作“分母实数化”：分子分母同乘除数的共轭复数（除数的共轭为），使分母变为实数： ③拆分结果：实部为，虚部为，整理为（）形式，若分子为，结果为（如）。 适配场景：题目直接考查除法（如“计算”），或结合其他运算（先乘后除、先加减后除）考查，是高考复数运算的高频压轴基础题。 考点：特殊除法结果（熟记简化计算） 解题步骤：熟记常见特殊除法结果，直接调用：①（分子分母同乘，得）；②（分母实数化后得）；③（同理推导）。 适配场景：题目含上述特殊结构，如“计算”“计算”，用熟记结果可大幅节省时间。2.避错关键 共轭复数符号正确：除数为时，共轭复数为（仅虚部变号），不可将实部变号（如）； 分子展开完整：分子乘共轭复数时，按多项式乘法完整展开，避免漏项（如）； 分母计算准确：分母（平方和），不可误算为。五、复数混合运算（高考综合考点，多为多步运算）1.核心考点与解题步骤 考点：加、减、乘、除混合运算 解题步骤：①遵循“先乘除，后加减”的运算顺序，有括号先算括号内；②每一步运算均按对应规则进行（乘除先化简，加减后合并）；③优先使用特殊公式（如共轭乘法、平方公式）简化中间步骤，避免复杂展开。 示例流程：计算： 第一步：先算分子乘法：； 第二步：算除法：； 第三步：算加法：。 适配场景：高考复数综合题，如“计算”，多为多步运算，考查运算准确性与技巧性。2.避错关键 运算顺序不颠倒：不可先算加减后算乘除，有括号需优先计算括号内内容； 分步验证：每一步运算后单独验证结果（如乘法后检查化简是否正确，除法后检查分母是否为实数），避免一步错导致后续全错； 结果形式规范：最终结果需化为最简形式，分数实部、虚部需化为最简分数（如），不可保留复杂分式。六、通用解题流程（适用于所有复数运算题型）1.化简标准形式：无论单一运算还是混合运算，先将所有复数化为（）的标准形式，处理、分母含等非标准项；2.确定运算顺序：单一运算直接按规则计算，混合运算遵循“先乘除，后加减，有括号先算括号内”；3.优先使用技巧：乘除运算优先用共轭复数、特殊公式（如）简化，减少计算量；4.分步验证结果：每一步运算后检查符号、化简、实虚部分类是否正确