第04讲 数系的扩充与复数的引入（讲义）（解析版）

第04讲数系的扩充与复数的引入1.复数的有关概念(1)复数的意义：形如z＝a＋bi(a、b∈R)的数叫做复数，其中i叫做虚数单位，满足i2＝－1，a叫做实部，b叫做虚部，复数集记作C，数集N、Z、Q、R、C的关系：.(2)复数的模：z＝a＋bi，|z|＝eq\r(a2＋b2)．(3)复数相等：z1＝a1＋b1i，z2＝a2＋b2i，z1＝z2，则a1＝a2，b1＝b2．(4)共轭复数：z＝a＋bi，＝a－bi；z与互为共轭复数．2.复数的四则运算(1)复数的加、减、乘、除运算法则．设z1＝a＋bi，z2＝c＋di(a，b，c，d∈R)，则①加法：z1＋z2＝(a＋bi)＋(c＋di)＝(a＋c)＋(b＋d)i；②减法：z1－z2＝(a＋bi)－(c＋di)＝(a－c)＋(b－d)i；③乘法：z1·z2＝(a＋bi)·(c＋di)＝(ac－bd)＋(ad＋bc)i；④除法：eq\f(z1,z2)＝eq\f(a＋bi,c＋di)＝eq\f(（a＋bi）（c－di）,（c＋di）（c－di）)＝eq\f(（ac＋bd）＋（bc－ad）i,c2＋d2)(c＋di≠0)．3.复数的几何意义(1)复平面的概念：建立直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面．(2)实轴、虚轴：在复平面内，x轴叫做实轴，y轴叫做虚轴．实轴上的点都表示实数；除原点以外，虚轴上的点都表示纯虚数．4.复数的几何表示复数z＝a＋bi与复平面内的点Z(a，b)及平面向量eq\o(OZ,\s\up6(→))＝(a，b)(a，b∈R)是一一对应关系．5.复数的三角表示式(1)定义:r(cosθ+isinθ)叫做复数z=a+bi的三角形式.其中，r是复数z的模;θ是以x轴的非负半轴为始边，向量eq\o(OZ,\s\up6(→))所在射线(射线OZ)为终边的角，叫做复数z=a+bi的辐角.(2)非零复数z辐角θ的多值性，复数z的辐角是θ+2kπ(k∈Z).(3)辐角的主值①定义及表示:在0≤θ<2π范围内的辐角θ的值为辐角的主值，通常记作argz，即0≤argz<2π.②唯一性:复数z的辐角的主值是确定唯一的.特别注意:当z=0时，其辐角是任意的.(4)复数的代数形式与三角形式的互化复数z=a+bi=r(cosθ+isinθ)的两种表示形式之间的关系为a=6.复数乘、除运算的三角表示(1)复数三角形式的乘法设的三角形式分别是，则.记忆：模数相乘，辐角相加.(2)复数三角形式的除法定义:设z1，z2的三角形式分别是，则.记忆：模数相除，辐角相减.7.常用结论(1)的性质当时，.(2)，考点一复数的分类与共轭复数等概念问题考点二根据复数相等的条件求参数或复数考点三复数的几何意义问题考点四复数的三角形式问题考点一：复数的分类与共轭复数等概念问题例1．若是纯虚数，则a＝（

）A．－1 B．1 C．－9 D．9【答案】A【分析】先将复数化简，再根据纯虚数列出方程组求解即可.【详解】,因为是纯虚数，故，得，故选：A.对点变式．已知复数是纯虚数，是实数，则（

）A．－ B． C．－2 D．2【答案】A【分析】由题意设，代入中化简，使其虚部为零，可求出的值，从而可求出复数，进而可求得其共轭复数.【详解】由题意设，则，因为是实数，所以，得，所以，所以，故选：A.考点二：根据复数相等的条件求参数或复数例2．（2023秋·河南驻马店·高三统考期末）已知为实数，复数，若，则（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【分析】把代入中计算出的值，再计算.【详解】因为，所以，则，.因为，所以，解得，故.故选：B对点变式．（2023·全国·模拟预测）已知复数，若，则（

）A．， B．，C．， D．，【答案】B【分析】根据共轭复数的概念及复数相等求解即可得解.【详解】因为，，所以可得，即，，所以，所以，故选：B．考点三：复数的几何意义问题例3．（2023·云南昆明·统考一模）欧拉公式：将复指数函数与三角函数联系起来，在复变函数中占有非常重要的地位，根据欧拉公式，复数在复平面内对应的点所在的象限为（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据复数的几何意义结合象限角的三角函数值的符号分析判断【详解】由题意可得：对应的点为，∵，则，故位于第二象限.故选：B.对点变式．已知复数满足，则在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限C．第三象限 D．第四象限【答案】D【分析】根据复数代数形式的乘法运算化简复数，再根据复数的几何意义判断即可.【详解】因为，所以在复平面内对应的点为，位于第四象限.故选：D例4．（2023·重庆·统考二模）复平面内复数满足，则的最小值为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由复数模的几何意义得出对应点的轨迹，设，即可计算的最小值．【详解】因为，所以点是以，为焦点，半实轴长为1的双曲线，则，所以点的轨迹方程为，设，所以，当且仅当时取等号，所以的最小值为．故选：B．对点变式．已知是虚数单位，复数，且，则的最大值为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】C【分析】首先由模等于1得，则点为圆上的点,再结合的几何意义即可求出最值.【详解】若,即,点为圆上的点,，则其几何意义为圆上的点到点之间的距离,则的最大值为故选：C.考点四：复数的三角形式问题例5．（2004·湖北·高考真题）复数的值是（

）A． B．16 C． D．【答案】A【分析】应用复数的三角形式的乘方、除法运算化简求值即可.【详解】.故选：A对点变式．计算的值是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】根据复数的三角运算公式运算即可.【详解】因为所以，所以，故选：B.一、单选题1．（2023·全国·模拟预测）已知复数，实数满足，则（

）A． B．3 C． D．【答案】A【分析】根据复数的运算法则，化简得到，列出方程组求得的值，即可求解.【详解】将代入，可得，整理得，所以，解得，所以.故选：A．2．若实数满足，则（

）A．2 B． C．1 D．【答案】A【分析】利用复数相等求出即可.【详解】因为，所以，所以，故选：A.3．已知实数x，y满足，则（

）A．2 B．4 C． D．8【答案】C【分析】先通过条件求出，再代入求模即可.【详解】由得，，解得，.故选：C.4．（2023·河南开封·开封高中校考模拟预测）已知复数，且，其中为实数，则（

）A． B． C． D．4【答案】C【分析】根据复数的运算，结合复数相等得，进而再求复数模即可.【详解】解；因为复数，为实数，所以，所以，解得，所以.故选：C5．（2023·宁夏银川·校联考一模）已知是关于的方程的一个根，则复数在复平面内对应的点位于（

）A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限【答案】B【分析】根据一元二次方程的复数根为共轭复数，再结合韦达定理可求得，再根据复数的几何意义即可得解.【详解】因为是关于的方程的一个根，所以方程的另外一个根为，则，所以，所以在复平面内对应的点位于第二象限.故选：B.6．（2022秋·安徽亳州·高三蒙城第一中学校考阶段练习）设复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，若是虚数单位，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】先求出，进而求出.【详解】因为复数在复平面内的对应点关于虚轴对称，且，所以，所以.故选：A7．任何一个复数都可以表示成的形式，我们把叫做复数的三角形式．已知，则下列结论正确的是（

）A．的实部为 B． C． D．【答案】B【分析】由题意计算出的表达式，然后对四个选项进行判断，即可得到结果.【详解】已知，则，故对于A，的实部是，不是1，故A错误；对于B，，故B正确；对于C，，故C错误；对于D，，故D错误.故选：B8．已知为虚数单位，，，则等于（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】利用复数三角形式乘法运算法则计算即可.【详解】，.故选：D.二、多选题9．（2023春·浙江宁波·高三校联考阶段练习）已知复数满足，则（

）A．的虚部为-1 B．C． D．【答案】BD【分析】应用复数的乘法得，由复数、共轭复数的概念判断A、B正误；将代入C、D左侧化简、求模即可判断正误.【详解】由题设，则的虚部为4，，A错，B对；又，C错；，D对.故选：BD10．已知复数，，则（

）A． B．若，则的最大值为3C． D．在复平面内对应的点在第四象限【答案】AB【分析】对于A：分别求出来判断；对于B：设，通过条件求出关系，代入中求最值；对于C：求出来判断；对于D：求出来判断；【详解】对于A：复数，，，，又，，A正确；对于B：设，则，即，且，，即的最大值为3，B正确；对于C：，故C错误；对于D：，其在复平面对应的点为，在第二象限，D错误.故选：AB.11．（2023·全国·高三专题练习）已知复数，是的共轭复数，则下列结论正确的是（

）A．若，则 B．若，则C．若，则 D．若，则【答案】ABC【分析】若，则，，利用复数代数运算，可以判断AB；利用复数的三角运算，可以判断C；利用数形结合，可以判断D.【详解】对于A：若，则，故，所以A正确；对于B：若，则，所以B正确；对于C：设，则，故，所以C正确；对于D：如下图所示，若，，则，，故，所以D错误.故选：ABC12．设，，为复数，下列命题中正确的是（

）A．若，则 B．若，则或C．若且，则 D．若，则【答案】BCD【分析】由特殊值否定选项A，利用复数模的性质证得选项BD，可证选项C．【详解】对于A：当时，满足，此时，，，A选项错误；对于B：若，则，所以或至少有一个成立，即或，B选项正确；对于C，由，则，∵，∴，C选项正确；对于D，若，则，由复数模的性质可得，，，所以，D选项正确.故选：BCD13．（2023·重庆沙坪坝·重庆南开中学校考模拟预测）设为虚数单位，下列关于复数的命题正确的有（

）A． B．若互为共轭复数，则C．若，则 D．若复数为纯虚数，则【答案】ABD【分析】根据复数的乘法运算，复数的模值运算，纯虚数的定义即可判断.【详解】解：由题意得：对于选项A：令则所以，故A正确；对于选项B：令，，所以，故B正确；对于选项C：令，，根据复数的乘法运算可知：，，，所以C错误；对于选项D：若复数为纯虚数，则，即，故D正确.故选：ABD三、填空题14．若复数是纯虚数，则实数a的值为__________．【答案】【分析】根据复数的乘法运算和纯虚数的定义求解.【详解】因为为纯虚数，所以解得，故答案为：.15．（2023春·上海宝山·高三上海交大附中校考开学考试）已知复数，，且为纯虚数，则实数___________【答案】##【分析】利用共轭复数的定义先得到，化简，然后利用纯虚数的定义即可求解【详解】由可得，∵，∴，∵为纯虚数，∴，即.故答案为：16．已知复数满足，则的最大值为______.【答案】3【分析】设，根据题意可推得，根据几何意义，可将转化为点与点的距离，结合圆的知识可得出结论.【详解】设，则.又，则可得，可知点在以为圆心，2为半径的圆上.又，则可看作是点与点的距离.所以，最大值为圆心与点的距离加上半径，即1