2026届湖南省百所重点高中高二上数学期末经典模拟试题含解析

2026届湖南省百所重点高中高二上数学期末经典模拟试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．直线在y轴上的截距为（）A.-1 B.1C. D.2．抛物线的焦点坐标是A. B.C. D.3．已知函数，若对任意，都有成立，则a的取值范围为（）A. B.C. D.4．已知双曲线的左、右焦点分别为，点在的左支上，过点作的一条渐近线的垂线，垂足为，则的最小值为（）A. B.C. D.5．2021年是中国共产党百年华诞，3月24日，中宣部发布中国共产党成立100周年庆祝活动标识（如图1）.其中“100”的两个“0”设计为两个半径为R的相交大圆，分别内含一个半径为r的同心小圆，且同心小圆均与另一个大圆外切（如图2）.已知，则由其中一个圆心向另一个小圆引的切线长与两大圆的公共弦长之比为（）A. B.3C. D.6．已知椭圆上一点到椭圆一个焦点的距离是，则点到另一个焦点的距离为（）A.2 B.3C.4 D.57．设是虚数单位，则复数对应的点在平面内位于（）A.第一象限 B.第二象限C.第三象限 D.第四象限8．等差数列中，，，则（）A.1 B.2C.3 D.49．已知圆和圆恰有三条公共切线，则的最小值为（）A.6 B.36C.10 D.10．从集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数m,从集合{1,3,5}中随机抽取一个数n,则向量=(m,n)与向量=(1,-1)垂直的概率为()A. B.C. D.11．在四面体中，设，若F为BC的中点，P为EF的中点，则＝（）A. B.C. D.12．直线与直线平行，则两直线间的距离为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．关于曲线，给出下列三个结论：①曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称；②曲线恰好经过4个整点（即横、纵坐标均为整数的点）；③曲线上任意一点到原点的距离都不大于.其中，正确结论的序号是________.14．已知直线和互相平行，则实数的值为___________.15．如图所示茎叶图表示的是甲、乙两人在5次综合测评中的成绩，其中一个数字被污损，若乙的总成绩是445，则污损的数字是________16．已知函数是上的奇函数，，对，成立，则的解集为_________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知数列的前n项和为，且.（1）求数列的通项公式；（2）令，求数列的前n项和.18．（12分）设关于x的不等式的解集为A，关于x的不等式的解集为B（1）求集合A，B；（2）若是的必要不充分条件，求实数m的取值范围19．（12分）在平面直角坐标系中，椭圆：的左顶点到右焦点的距离是3，离心率为（1）求椭圆的标准方程；（2）斜率为的直线经过椭圆的右焦点，且与椭圆相交于，两点．已知点，求的值20．（12分）已知圆的圆心在直线上，与轴正半轴相切，且被直线：截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）设点在圆上运动，点，且点满足，记点的轨迹为.①求的方程，并说明是什么图形；②试探究：在直线上是否存在定点(异于原点)，使得对于上任意一点，都有为一常数，若存在，求出所有满足条件的点的坐标，若不存在，说明理由.21．（12分）已知函数，.（1）若，求曲线在点处的切线方程；（2）若函数在上是减函数，求实数的取值范围.22．（10分）如图，矩形ABCD，点E，F分别是线段AB，CD的中点，，，以EF为轴，将正方形AEFD翻折至与平面EBCF垂直的位置处.请按图中所给的方法建立空间直角坐标系，然后用空间向量坐标法完成下列问题（1）求证：直线平面；（2）求直线与平面所成角的正弦值.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】把直线方程由一般式化成斜截式，即可得到直线在轴上的截距.【详解】由，可得，则直线在轴上的截距为.故选：A2、D【解析】根据抛物线的焦点坐标为可知，抛物线即的焦点坐标为，故选D.考点：抛物线的标准方程及其几何性质.3、C【解析】求出函数的导数，再对给定不等式等价变形，分离参数借助均值不等式计算作答.【详解】对函数求导得：，，，则，，而，当且仅当，即时“=”，于是得，解得，所以a的取值范围为.故选：C【点睛】关键点睛：涉及不等式恒成立问题，将给定不等式等价转化，构造函数，利用函数思想是解决问题的关键.4、D【解析】利用双曲线定义可得到，将的最小值变为的最小值问题，数形结合得解.【详解】由题意得，故，如图所示：到渐近线的距离,则，当且仅当，，三点共线时取等号，∴的最小值为.故选：D5、C【解析】作出图形，进而根据勾股定理并结合圆与圆的位置关系即可求得答案.【详解】如示意图，由题意，，则，又，，所以，所以.故选：C.6、C【解析】根据椭圆的定义，结合题意，即可求得结果.【详解】设椭圆的两个焦点分别为，故可得，又到椭圆一个焦点的距离是，故点到另一个焦点的距离为.故选：.7、A【解析】计算出复数即可得出结果.【详解】由于，对应的点的坐标为，在第一象限，故选：A.8、B【解析】根据给定条件利用等差数列性质直接计算作答.【详解】在等差数列中，因，，而，于是得，解得，所以.故选：B9、B【解析】由公切线条数得两圆外切，由此可得的关系，从而点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，由求得的最小值，平方后即得结论【详解】圆标准方程为，，半径为，圆标准方程为，，半径为，两圆有三条公切线，则两圆外切，所以，即，点在以原点为圆心，4为半径的圆上，记，，所以，所以的最小值为故选：B10、A【解析】根据分步计数乘法原理求得所有的)共有12个，满足两个向量垂直的共有2个，利用古典概型公式可得结果.【详解】集合{2,3,4,5}中随机抽取一个数,有4种方法；从集合{1,3,5}中随机抽取一个数，有3种方法，所以，所有的共有个，由向量与向量垂直,可得，即,故满足向量与向量垂直的共有2个：，所以向量与向量垂直的概率为，故选A.【点睛】本题主要考查分步计数乘法原理的应用、向量垂直的性质以及古典概型概率公式的应用，属于中档题.在解古典概型概率题时，首先求出样本空间中基本事件的总数，其次求出概率事件中含有多少个基本事件，然后根据公式求得概率.11、A【解析】作出图示，根据空间向量的加法运算法则，即可得答案.【详解】如图示：连接OF,因为P为EF中点，，F为BC的中点，则，故选：A12、B【解析】先根据直线平行求得，再根据公式可求平行线之间的距离.【详解】由两直线平行，得，故，当时，，，此时，故两直线平行时又之间的距离为，故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①③【解析】设为曲线上任意一点，判断、、是否满足曲线方程即可判断①；求出曲线过的整点即可判断②；由条件利用即可得，即可判断③；即可得解.【详解】设为曲线上任意一点，则，设点关于原点、轴、轴的对称点分别为、、，因为；；；所以点在曲线上，点、点不在曲线上，所以曲线关于原点对称，但不关于轴、轴对称，故①正确；当时，；当，.此外，当时，；当时，.故曲线过整点，，，，，，故②错误；又，所以恒成立，由可得，当且仅当时等号成立，所以，所以曲线上任一点到原点的距离，故③正确.故答案为：①③.【点睛】本题考查了与曲线方程有关的命题真假判断，属于中档题.14、【解析】根据直线平行的充要条件即可求出实数的值.详解】由直线和互相平行，得，即.故答案为：.15、3【解析】设污损的叶对应的成绩是x，由茎叶图可得445＝83＋83＋87＋x＋99，解得x＝93，故污损的数字是3.考点：茎叶图.16、【解析】根据题意可以设，求其导数可知在上的单调性，由是上的奇函数，可知的奇偶性，进而可知在上的单调性，由可知的零点，最后分类讨论即可.【详解】设，则对，，则在上为单调递增函数，∵函数是上的奇函数，∴，∴，∴偶函数，∴在上为单调递减函数，又∵，∴，由已知得，所以当时，；当时，；当时，；当时，；若，则；若，则或，解得或或；则的解集为.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）根据与的关系，分和两种情况，求出，再判断是否合并；（2）利用错位相减法求出数列的前n项和.【小问1详解】，当时，，当时，，也满足上式，数列的通项公式为：.【小问2详解】由（1）可得，①②①②得，18、（1），（2）【解析】（1）直接解不等式即可，（2）由题意可得，从而可得解不等式组可求得答案【小问1详解】由，得，故由，得，故【小问2详解】依题意得：，∴解得∴m的取值范围为19、（1）;（2）.【解析】（1）根据题意得到关于的方程，解之即可求出结果;（2）联立直线的方程与椭圆方程，结合韦达定理以及平面向量数量积的坐标运算即可求出结果.【小问1详解】因为椭圆的左顶点到右焦点的距离是3，所以又椭圆的离心率是，所以，解得，，从而所以椭圆的标准方程【小问2详解】因为直线的斜率为，且过右焦点，所以直线的方程为联立直线的方程与椭圆方程，消去，得，其中设，，则，因为，所以因此的值是20、（1）；（2）①，圆；②存在，.【解析】（1）设圆心，根据题意，得到半径，根据弦长的几何表示，由题中条件，列出方程求解，得出，从而可得圆心和半径，进而可得出结果；（2）①设，根据向量的坐标表示，由题中条件，得到，代入圆的方程，即可得出结果；②假设存在一点满足（其中为常数），设，根据题意，得到，再由①，得到，两式联立化简整理，得到，推出，求解得出，即可得出结果.【详解】（1）设圆心，则由圆与轴正半轴相切，可得半径.∵圆心到直线的距离，由，解得.故圆心为或，半径等于.∵圆与轴正半轴相切圆心只能为故圆的方程为；（2）①设，则：，，∵点A在圆上运动即：所以点的轨迹方程为，它是一个以为圆心，以为半径的圆；②假设存在一点满足（其中为常数）设，则：整理化简得：，∵在轨迹上，化简得：，所以整理得，解得：；存在满足题目条件.【点睛】本题主要考查求圆的方程，考查圆中的定点问题，涉及圆的弦长公式等，属于常考题型.21、(1).(2).【解析】分析：（1）由和可由点斜式得切线方程；（2）由函数在上是减函数，可得在上恒成立，，由二次函数的性质可得解.详解：（1）当时，所以，所以曲线在点处的切线方程为.（2）因为函数在上是减函数，所以在上恒成立.做法一：令,有，得故.实数的取值范围为做法二：即在上恒成立，则在上恒成立，令，显然在上单调递减，则，得实数的取值范围为点睛：导数问题经常会遇见恒成立的问题：（1）根据参变分离，转化为不含参数的函数的最值问题；（2）若就可讨论参数不同取值下的函数的单调性和极值以及最值，最终转化为，若恒成立；（3）若恒成立，可转化为（需在同一处取得最值）.22、（1）证明见解析；（2）.【解析】（1）以为坐标原点，建立空间直角坐标系，写出对应向量的坐标，根据向量垂直