第4讲　函数的极值、最值（3大考点+强化训练）（原卷版）

第4讲函数的极值、最值（3大考点+强化训练）【知识导图】【考点分析】考点一利用导数研究函数的极值判断函数的极值点，主要有两点(1)导函数f′(x)的变号零点，即为函数f(x)的极值点．(2)利用函数f(x)的单调性可得函数的极值点．一、单选题1．（2023下·上海青浦高级中学校考期中）对于以下结论：①若公比，那么等比数列前n项和存在极限；②为数列最大的项，那么对任意的n（，，）都成立；③函数的导数为，若，那么为函数的极值点；④函数的导数为，若恒成立，那么是严格增函数.正确的有（

）A．0个 B．1个 C．2个 D．3个二、填空题2．函数的极值点是．三、解答题3．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求函数的最值；(2)当时，讨论函数的极值点个数.4．（2023上·陕西安康·高三校联考阶段练习）已知函数，其中，为自然对数的底数.(1)当时，求函数的最值；(2)当时，讨论函数的极值点个数.考点二利用导数研究函数的最值1．求函数f(x)在[a，b]上的最大值和最小值的步骤(1)求函数在(a，b)内的极值．(2)求函数在区间端点处的函数值f(a)，f(b)．(3)将函数f(x)的各极值与f(a)，f(b)比较，其中最大的一个为最大值，最小的一个为最小值．2．若函数含有参数或区间含有参数，则需对参数分类讨论，判断函数的单调性，从而得到函数的最值．一、单选题1．设函数，若存在，使，则的取值范围是（）A． B． C． D．二、填空题2．当时，函数的最大值与最小值的和为.三、解答题3．（2024·河南·方城第一高级中学校联考模拟预测）记的内角，，的对边分别为，，，且.(1)证明：；(2)若，求当面积最大时的值.4．（2023·全国·模拟预测）已知函数．(1)二次函数，在“①曲线，有1个交点；②”中选择一个作为条件，另一个作为结论，进行证明；(2)若关于x的不等式在上能成立，求实数m的取值范围．注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分．考点三极值、最值的简单应用一、单选题1．已知函数，若函数恰有个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．二、多选题2．已知函数，则下列说法正确的是（

）A． B．函数的最大值为C．若方程恰有两个不等的实根，则实数的取值范围为 D．若，则三、填空题3．（2023下·甘肃武威民勤县第一中学校考阶段练习）若图象上存在两点关于原点对称，则点对称为函数的“友情点对”（点对与视为同一个“友情点对”），若恰有两个“友情点对”，则实数的取值范围是．四、解答题4．已知函数，在点处的切线为.（1）求函数的单调区间；（2）若，是函数的两个极值点，证明.5．（2023上·山东·高三校联考阶段练习）设函数(1)当时，求曲线在处的切线方程.(2)讨论函数在区间上零点的个数.【强化训练】一、单选题1．设函数的一个极值点为，则（

）A． B． C． D．2．（2023单元测试）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．3．若函数在区间内有且仅有一个零点，则在区间上的最大值为（

）A．4 B．10 C．16 D．204．已知函数，有以下命题：①当时，函数在上单调递增；②当时，函数在上有极大值；③当时，函数在上单调递减；④当时，函数在上有极大值，有极小值．其中不正确命题的序号是A．①③ B．②③ C．①④ D．②④5．已知函数，若存在，使得，则实数a的取值范围为：（

）A． B． C． D．6．函数的极小值为（

）A．0 B． C． D．二、多选题7．已知函数，（

）．A．若在区间上单调，则B．将函数的图象向左平移个单位得到曲线C，若曲线C对应的函数为偶函数，最小值为C．函数在区间上恰有三个极值点，则D．关于x的方程在上有两个不同的解，则8．（2023上·湖北·高三湖北省仙桃中学校联考阶段练习）已知函数，若函数有两个零点，则的值可能是（

）A．2 B． C．3 D．0三、填空题9．若函数在处有极值，且，则称为函数的“点”.已知函数存在两个不相等的“点”，，且，则的取值范围是.10．若关于x的不等式恒成立，则的最小值是.11．某产品的销售收入（万元）是产量x（千台）的函数，生产成本（万元）是产量x（千台）的函数，已知，为使利润最大，应生产（千台）．12．（2023·辽宁·新民市第一高级中学校联考一模）已知函数，若恒成立，则的取值范围为．四、解答题13．函数．（1）试讨论函数的单调性；（2）若，证明：(为自然对数的底数)．14．已知函数.（1）时，讨论函数的单调性；（2）证明：当时，.15．（2023下·云南·高三校联考开学考试）在抗击新冠肺炎疫情期间，作为重要防控物资之一的防护服是医务人员抗击疫情的保障，我国企业依靠自身强大的科研能力，自行研制新型防护服的生产．(1)防护服的生产流水线有四道工序，前三道工序完成成品防护服的生产且互不影响，第四道是检测工序，包括红外线自动检测与人工抽检，红外线自动检测为次品的会被自动淘汰，合格的进入流水线并由工人进行抽查检验．已知在批次I的成品防护服的生产中，前三道工序的次品率分别为，第四道红外线自动检测显示为合格率为92%，求一件防护服在红外线自动检测显示合格品的条件下，人工抽检也为合格品的概率（百分号前保留两位小数）；(2)①已知某批次成品防护服的次品率为，设3件该批次成品防护服中恰有1件不合格品的最大概率为，在多次改善生产线后批次J的防护服的次品率，请从次品率的角度比较（1）中的批次I与批次J防护服的质量；②某医院获得批次I，J的防护服捐赠并分发给该院医务人员使用．经统计，正常使用这两个批次的防护服期间，该院医务人员核酸检测情