第10讲 函数与方程（教师版）

第10讲函数与方程题型梳理题型梳理题型方法题型一判断零点所在区间题型二判断零点的大小题型三判断零点的个数题型四已知零点个数求参数知识清单知识清单1．函数的零点与方程的解(1)函数零点的概念对于一般函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．(2)函数零点与方程实数解的关系方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点．(3)函数零点存在定理如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的解．2．二分法对于在区间[a，b]上图象连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．常用结论1．若连续不断的函数f(x)是定义域上的单调函数，则f(x)至多有一个零点．2．连续不断的函数，其相邻两个零点之间的所有函数值保持同号题型方法题型方法【题型一】判断零点所在区间【例1】（2025·湖北十堰·模拟预测）函数的零点所在的区间是（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据零点存在性定理即可求解.【详解】函数的定义域为，因为在上连续且为增函数．且，则．由零点存在定理可知，函数的零点所在的区间是．故选：C.解题技巧确定函数零点所在区间的常用方法(1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)·f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点．(2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断．【举一反三】【变式1】（2025·河北沧州·二模）函数的零点所在的区间为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】首先判断函数的单调性，再结合零点存在性定理判断即可.【详解】因为与均在定义域上单调递增，所以在上单调递增，又，，，，又，函数的零点所在区间是．故选：B．【变式2】（2023·河南·模拟预测）已知函数在区间上有且仅有一个零点，则实数的取值范围为.【答案】【分析】结合函数的单调性和零点的存在定理，即可求解【详解】解：由对数函数的性质，可得为单调递增函数，且函数在上有且仅有一个零点，所以，即，解得，所以实数的取值范围是，故答案为：【变式3】（2023·辽宁葫芦岛·一模）请估计函数零点所在的一个区间.【答案】【分析】根据零点存在性定理求解即可.【详解】根据对数函数单调性的性质，函数为上的减函数,函数的图像在上为一条连续不断的曲线,又,,所以函数零点所在的一个区间为.故答案为:.【题型二】判断零点的大小【例2】（2024·广东·二模）设，，分别为函数，，的零点，则，，的大小关系为(

).A． B．C． D．【答案】D【分析】当时，，所以，然后在和时，分别判断和的零点，即，的取值范围，最后综合判断即可.【详解】因为时，，又因为单调递增，所以；若，则，所以时，，即；若，则，所以时，，即.综上所述，，故选：D.【举一反三】【变式1】（2024·内蒙古赤峰·二模）设函数的零点分别为a,b,c,则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】分析可知与的交点横坐标分别为a,b,c,结合图象分析判断大小.【详解】令，可得，可知与的交点横坐标分别为a,b,c,在同一坐标系内作出，的图象，根据图象可知：与有2个交点，但均有，所以.故选：A.【变式2】（多选）（2025·四川达州·模拟预测）若实数都是一次函数的零点，则下列不等关系中可能成立的是（

）A． B．C． D．【答案】ACD【分析】首先由条件转化为，再结合函数图象的交点情况，即可判断选项.【详解】由题意可得，，即，在同一坐标系下作出的图象如图.根据图象可知，时，，时，，有或，故B错误；若，则，所以，故A正确；若，则，所以，故D正确；当时，单调递增，因为，所以，使得，所以，即，故C正确.故选：ACD【变式3】（2022·内蒙古呼和浩特·二模）若，，，则x、y、z由小到大的顺序是.【答案】【分析】把给定的三个等式作等价变形，比较函数的图象与曲线交点的横坐标大小作答.【详解】依题意，，，，，因此，成立的x值是函数与的图象交点的横坐标，成立的y值是函数与的图象交点的横坐标，成立的z值是函数与的图象交点的横坐标，在同一坐标系内作出函数，的图象，如图，观察图象得：，即，所以x、y、z由小到大的顺序是.故答案为：【点睛】思路点睛：涉及某些由指数式、对数式给出的几个数大小比较，可以把这几个数视为对应的指数、对数函数与另外某个函数图象交点横坐标，利用图象的直观性质解决.【题型三】判断零点的个数【例3】（2021·北京·高考真题）已知函数，给出下列四个结论：①若，恰有2个零点；②存在负数，使得恰有1个零点；③存在负数，使得恰有3个零点；④存在正数，使得恰有3个零点．其中所有正确结论的序号是．【答案】①②④【分析】由可得出，考查直线与曲线的左、右支分别相切的情形，利用方程思想以及数形结合可判断各选项的正误.【详解】对于①，当时，由，可得或，①正确；对于②，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，存在，使得只有一个零点，②正确；对于③，当直线过点时，，解得，所以，当时，直线与曲线有两个交点，若函数有三个零点，则直线与曲线有两个交点，直线与曲线有一个交点，所以，，此不等式无解，因此，不存在，使得函数有三个零点，③错误；对于④，考查直线与曲线相切于点，对函数求导得，由题意可得，解得，所以，当时，函数有三个零点，④正确.故答案为：①②④.【点睛】思路点睛：已知函数的零点或方程的根的情况，求解参数的取值范围问题的本质都是研究函数的零点问题，求解此类问题的一般步骤：（1）转化，即通过构造函数，把问题转化成所构造函数的零点问题；（2）列式，即根据函数的零点存在定理或结合函数的图象列出关系式；（3）得解，即由列出的式子求出参数的取值范围．解题技巧求解函数零点个数的基本方法(1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点；(2)定理法：利用定理时往往还要结合函数的单调性、奇偶性等；(3)图象法：一般是把函数拆分为两个简单函数，依据两函数图象的交点个数得出函数的零点个数．【举一反三】【变式1】（2025·陕西安康·模拟预测）函数在上的零点个数为（

）A．4 B．5 C．6 D．8【答案】C【分析】先求出零点满足，再结合特殊值及角的范围求解零点个数.【详解】函数零点满足所以或舍，在上的值为，所以函数在上的零点个数为6个.故选：C.【变式2】（2025·陕西安康·模拟预测）已知函数，则函数在区间上的零点个数为（

）A．1 B．3 C．5 D．7【答案】C【分析】先发现其关于原点对称，再利用奇函数的定义判断为奇函数，利用奇函数的性质得到，再利用二倍角公式将化简为，合理构造函数，利用导数得到当时，，进而解出在的两个零点，再利用奇函数的性质得到在上也有两个零点，最后汇总零点个数求解即可.【详解】由题意得，其关于原点对称，因为，所以为奇函数，则，因为，所以由二倍角公式得，化简得，令，则，易得，当时，得到在上单调递减，则，故，则令，可得，得到，解得，或，故在上有两个零点，由奇函数的性质可得在上也有两个零点，综上，共有5个零点，故C正确.故选：C【变式3】（2023·河南平顶山·模拟预测）已知函数．(1)求曲线在点处的切线方程；(2)讨论函数的零点个数．【答案】(1)(2)答案见解析【分析】（1）由导数法求切线；（2）转化为求与的交点个数，由导数法求得的单调性及极值，由数形结合判断交点个数.【详解】（1），则，则曲线在点处的切线方程为，即．（2）．当时，，则在上单调递减；当时，，则在上单调递增．所以．设函数，则，所以在，上单调递减，在，上单调递增，如图所示，由，得．当或时，零点的个数为2；当时，零点的个数为3；当时，零点的个数为4．【题型四】已知零点个数求参数【例4】（2020·天津·高考真题）已知函数若函数恰有4个零点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】由，结合已知，将问题转化为与有个不同交点，分三种情况，数形结合讨论即可得到答案.【详解】注意到，所以要使恰有4个零点，只需方程恰有3个实根即可，令，即与的图象有个不同交点.因为，当时，此时，如图1，与有个不同交点，不满足题意；当时，如图2，此时与恒有个不同交点，满足题意；当时，如图3，当与相切时，联立方程得，令得，解得（负值舍去），所以.综上，的取值范围为.故选：D.【点晴】本题主要考查函数与方程的应用，考查数形结合思想，转化与化归思想，是一道中档题.解题技巧根据函数零点的情况求参数的三种常用方法(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围．(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决．(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，然后数形结合求解.【举一反三】【变式1】（2025·北京海淀·三模）已知函数，若函数恰有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】C【分析】根据函数与方程的关系，将函数的零点个数问题转化为方程的根的个数问题，进一步转化为两函数的交点个数问题，结合函数图象观察，分类讨论即得.【详解】解：由题意知，要使得恰有2个零点，即有两个实数根．当时，，令，可得；当时，，令，可得．在同一坐标系下，作出函数，和的图象，如图所示，由函数，可得，可得时，，，故函数在处的切线方程为，又由函数，可得，可得时，，故函数在的切线方程为，所以函数与只有一个公共点，结合图象得：当时，恰有3个零点；当时，恰有2个零点；当时，恰有3个零点，要使得恰有2个零点，则满足，所以实数的取值范围为．故选：C.【变式2】（2025·江苏·模拟预测）已知函数，若存在实数，使函数恰有个零点，则实数的取值范围是．【答案】【分析】首先分析分段函数的单调性，然后画图，将“存在实数使得函数恰有3个零点”问题转化为函数与直线有三个交点的问题，结合图象即可求得的取值范围.【详解】当时，，求导得，所以在上单调递增，最大值为.当时，.当时，；当时，，画出的图象如下：因为存在实数使得函数恰有3个零点，这个问题可以转化为函数与直线有三个交点的问题.由图可知时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.当时，存在实数使得函数与直线最多有2个交点，不合题意.当时，由图可以知道，存在实数使得函数与直线恰有3个交点，符合题意.故答案为：.【变式3】（2025·山东泰安·模拟预测）已知函数在处有极小值.(1)求实数的值；(2)若函数有三个不同的零点，求实数的取值范围.【答案】(1)(2)【分析】（1）求出函数的导函数，依题意，即可求出的值，再检验即可；（2）依题意的图像与直线有三个不同的交点，结合（1）可得函数的单调性，求出函数的极值，即可得解.【详解】（1）因为

，由已知，即，或，当时，，所以当时，当时，当时，∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，时有极小值，符合题意.当时，，所以当时，当时，当时，∴在上单调递增，上单调递减，上单调递增，时有极大值，不符合题意，故舍去.；（2）由已知有三个不同零点，即的图像与直线有三个不同的交点，由（1）知在上单调递增，上单调递减，上单调递增，故当时，有极大值，即，当时，有极小值，即，所以，.好题必刷好题必刷一、单选题1．（2025·陕西西安·模拟预测）若函数在上有零点，则的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】根据函数单调性结合零点存在性定理列式计算即可.【详解】因为在上单调递增，所以，即，解得．故选：D.2．（2024·广东·模拟预测）已知函数，那么在下列区间中含有函数零点的是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题可得在上单调递增，后由零点存在性定理结合幂函数，指数函数单调性可判断选项正误.【详解】注意到函数图象在上连续不间断，因为在上均单调递增，则在上单调递增.对于A，.因函数在上单调递增，所以，则在上无零点，故A错误；对于B，因为在上单调递减，则，结合，故在上存在零点，故正确；对于CD，由于在上单调递增，，可知C､D都是错误的.故选：B.3．（2025·湖南邵阳·模拟预测）函数在区间的零点个数为（

）A．6 B．7 C．8 D．9【答案】C【分析】由，，令，求解的值，判断选项.【详解】由，，令，则，或，故或，即或，由，则或，即或，故或，综上所述，存在个零点,即为.故选：C.4．（2024·湖北荆州·模拟预测）已知，则正数的大小关系为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】通过将已知等式变形得到关于、、的方程，然后将方程的解转化为函数图像交点的横坐标，最后通过比较函数图像交点的位置来确定、、的大小关系.【详解】设，由此，分别为方程的解，在同一坐标系作函数的图像，分别与函数的图像分别交于，其横坐标分别为，由图可知.故选：A.5．（2025·山东青岛·模拟预测）若函数有2个零点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】利用同构得有两个不同的解，换元后考虑有两个不同的零点，利用导数可求参数的范围.【详解】因为有两个零点，故有两个不同的解，所以有两个不同的解，故有两个不同的解，设，则，故为上的单调增函数，而时，，时，，故的值域为，故在上有两个不同的零点，设，则，当时，；当时，；故在上为增函数，在上为减函数，故即，此时当时，，时，，故时，确有两个不同的零点，综上.故选：D.二、多选题6．（2025·陕西·二模）已知函数，则的零点个数可能为（

）A．1 B．2 C．3 D．4【答案】ABC【分析】转化为与的交点个数，分，和三种情况，通过导数求切线斜率，数形结合判断.【详解】令，即，，故的零点个数等价于与的交点个数，画出的图象，当时，，如图，此时有2个交点，当时，由于恒过，故与有1个交点，设与相切的切点坐标为，，此时切线斜率为，解得：，，当时，与的交点个数为1，此时与的交点个数为2，当时，与的交点个数为2，故与的交点个数为3个，如下图：当时，与的交点个数为0，故与的交点个数为1个，当时，设与相切的切点坐标为，，恒过，此时切线斜率为，解得，此时，所以当时，与的交点个数为1，则与的交点个数为1个，如下图：当时，与的图象没有交点，当时，与的图象有2个交点，无论取何值，与的图象不会由4个交点.故选：ABC.7．（2025·江西·模拟预测）已知，则（

）A．的最小正周期为B．的最小值为C．在内有3个零点D．在内有3个零点【答案】BC【分析】由三角恒等变换化简即可判断AB，由平移变换得和求出零点即可判断CD.【详解】对于A，由，显然不恒等于，即不是的周期，故A错误；对于B，因，，则，故B正确；对于C，，因，则由可得，即零点有3个，故C正确；对于D，，因，则由有，即零点有4个，故D错误.故选：BC.三、填空题8．（2025·上海·三模）函数的零点个数为【答案】3【分析】根据的零点转化为与的图象的交点，由图即可得出答案.【详解】根据的零点个数转化为与的图象的交点个数，

时，函数取最大值，时函数的值为，又因为，结合图象可知，两函数图象具有个交点.所以的零点个数为个.故答案为：.9．（2025·云南昆明·模拟预测）设函数，，若曲线与恰有一个交点，则实数．【答案】2【分析】通过构造函数，求证为偶函数，根据零点个数得到，计算即可.【详解】令，定义域为R，则，则为偶函数，由于曲线与恰有一个交点，则只有唯一的零点，则，解得.故答案为：.10．（2024·浙江·二模）函数至多有个零点．【答案】1【分析】运用函数零点概念，求解零点，结合分段函数特征,分类讨论判定即可.【详解】当，令，解得，但，所以只有可能是零点，且.当，令，解得，又，所以只有，即时，可能是零点.综上，当，至多1个零点；当，至多1个零点．即函数至多1个零点故答案为：1．四、解答题11．（2025·湖北黄冈·模拟预测）已知函数．(1)若，证明：函数在上单调递增；(2)若函数有三个零点，求的取值范围．【答案】(1)证明见解析(2)【分析】（1）把问题转化为证明在上恒成立，令，研究其单调性，再转化为求最小值，判断大于零即可；（2）利用分类讨论的思想来求解，方法一：分和，设，容易判断时，不成立；当时，利用导函数研究单调性结合零点存在定理来进行讨论，求出的最小值为，进行分类讨论即可求解；方法二：利用导函数研究函数的单调性，同时利用极限的思想来求解．【详解】（1）当时，，则，要证函数在上单调递增，只要证明在上恒成立，令，因为，令，解得，由，得，此时函数单调递增，由，得，此时函数单调递减，所以当时，取得最小值，因为，所以恒成立，即在上单调递增；（2）方法一：令，等价于，设，当时，没有零点；当时，，当时，，函数单调递增，因为，所以函数在上有一个零点；当时，，函数单调递增，当时，，函数单调递减，所以当时，的最小值为，若．即在上没有零点；若，即在上有一个零点；若，即，因为，当时，，所以在上有两个零点；综上，当时，有3个零点.方法二：当时，恒成立，没有零点，故，当时，单调递增，单调递减，故在上单调递增，且当时，，故在上有唯一零点，所以在上有三个零点等价于在上有两个零点，当时，由，即，得，令，则，当时，单调递减；当时，单调递增，故当时，，且当时，，当时，，故要使在上有两个零点，则只要即可，解得；综上，当时，有3个零点.12．（2025·上海杨浦·模拟预测）设常数.已知函数.(1)若，求在区间上的零点；(2)若在上严格增，求的取值范围.【答案】(1)答案见解析(2)【分析】（1）由零点的定义建立方程，根据三角函数恒等式，结合正切函数，可得答案；（2）由函数求导，根据函数的单调区间，建立不等式，可得答案.【详解】（1），当时，，，解得，即，当时，，当时，.（2），求导可得即在上恒成立，即当时，，，故，所以.13．（2025·河北秦皇岛·二模）已知函数．(1)求的零点个数；(2)设是的一个零点，证明：曲线在点处的切线也是曲线的切线．【答案】(1)2；(2)证明见解析.【分析】（1）利用导数确定单调区间，再用零点存在性定理求出零点个数.（2）利用导数的几何意义求出曲线在点处的切线方程，设曲线在点处的切线斜率为，并求出切线方程，结合（1）证两条切线重合即可.【详解】（1）函数的定义域为，求导得，函数在和上均单调递增，由，，得在上有唯一零点，由，，得在上有唯一零点，所以有且仅有两个零点.（2）曲线在点处的切线方程为，即，设曲线在点处的切线斜率为，则，，，即切点为，则曲线在点处的切线方程为，即.由是的一个零点，得，则，因此直线与直线为同一直线，所以曲线在点处的切线也是曲线的切线.14．（2024·四川泸州·三模）已知函数（），(1)讨论函数的零点个数；(2)若恒成立，求函数的零点的取值范围．【答案】(1)1；(2).【分析】（1）求出函数的导数，利用导数探讨单调性，进而求出零点个数.（2）由（1）的结论，按分段讨论给定不等式，构造函数并利用导数探讨单调性建立不等式求解