第01讲 函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题（原卷版）

第1讲函数的旋转、两函数的对称问题与不动点问题【方法技巧与总结】1、不动点与稳定点【一阶不动点】对于函数，定义域为，如果存在，使得，则称是函数的一阶不动点，简称不动点．①不动点是方程的解②不动点是与图像交点的横坐标【二阶周期点】对于函数，定义域为，如果存在，使得且，则称为函数的二阶周期点①二阶周期点是方程组的解②二阶周期点是图像上关于对称（不在上）的两点的横坐标【二阶不动点】对于函数，定义域为，如果存在，使得则称为函数的二阶不动点，简称稳定点①稳定点是不动点和二阶周期点的并集②稳定点是图像上关于对称的两点的横坐标以及与的交点的横坐标2、两函数的对称问题转化为函数有零点（方程有根）求参数值（取值范围）问题，常用的方法：（1）直接法：直接求解方程得到方程的根，再通过解不等式确定参数范围；（2）分离参数法：将参数分离，转化成求函数的值域问题加以解决；（3）数形结合法：先对解析式变形，进而构造两个函数，然后在同一平面直角坐标系中画出函数的图象，利用数形结合的方法求解【典型例题】例1．（2024·山东青岛·高三统考开学考试）将函数的图象绕点逆时针旋转，得到曲线，对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则最大时的正切值为（

）A． B． C． D．例2．（2024·山东潍坊·高三统考阶段练习）已知函数，将函数的图象绕原点逆时针旋转角后得到曲线，若曲线仍是某个函数的图象，则的最大值为（

）A． B． C． D．例3．（2024·江西·校联考模拟预测）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．例4．（2024·山东菏泽·高二山东省鄄城县第一中学校考期末）已知函数与函数的图像上恰有两对关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．例5．（2024·全国·高三专题练习）对于连续函数，若，则称为的不动点．设，若有唯一不动点，且，，则．例6．（2024·北京海淀·清华附中校考模拟预测）对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，现新定义：若满足，则称为的次不动点，有下面四个结论①定义在R上的偶函数既不存在不动点，也不存在次不动点②定义在R上的奇函数既存在不动点，也存在次不动点③当时，函数在上仅有一个不动点和一个次不动点．④不存在正整数m，使得函数在区间上存在不动点，其中，正确结论的序号为．例7．（2024·广东揭阳·高三校考阶段练习）拓扑空间中满足一定条件的图象连续的函数，如果存在点，使得，那么我们称函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点．类比给出新定义：若不动点满足，则称为的双重不动点．则下列函数中，①；②；③具有双重不动点的函数为．（将你认为正确的函数的代号填在横线上）【过关测试】一、单选题1．（2024·安徽池州·高三统考期末）设是含数1的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中的取值只可能是A． B．1 C． D．02．（2024·贵州贵阳·高一贵阳一中校考阶段练习）设是含数3的有限实数集，是定义在上的函数，若的图象绕原点逆时针旋转后与原图象重合，则在以下各项中，的可能取值只能是（

）A． B．3 C．-3 D．03．（2024·上海浦东新·高三上海市实验学校校考开学考试）2021年第十届中国花卉博览会举办在即，其中，以“蝶恋花”为造型的世纪馆引人瞩目（如图①），而美妙的蝴蝶轮廓不仅带来生活中的赏心悦目，也展示了极致的数学美学世界.数学家曾借助三角函数得到了蝴蝶曲线的图像，探究如下：如图②，平面上有两定点，两动点，且绕点逆时针旋转到所形成的角记为，设函数，其中令，作，随着的变化，就得到了点的轨迹，其形似“蝴蝶”，则以下4幅图中，点的轨迹（考虑蝴蝶的朝向）最有可能为（

）A． B．C． D．4．（2024·陕西榆林·高三校考阶段练习）已知函数与函数的图像上恰有两对关于x轴对称的点，则实数m的取值范围是（

）A． B．C． D．5．（2024·贵州六盘水·高三校考期末）已知函数是自然对数的底数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数a的取值范围是()A． B．C． D．6．（2024·贵州贵阳·高三贵阳一中阶段练习）若函数，（，为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是A． B．C． D．7．（2024·湖北·校联考二模）已知函数（为自然对数的底数）与的图象上存在两组关于轴对称的点，则实数的取值范围是(

)A． B． C． D．8．（2024·全国·高三专题练习）函数定义在上，已知的图象绕原点旋转后不变，则关于方程的根，下列说法正确的是（

）A．没有实根 B．有且仅有一个实根C．有两个实根 D．有两个以上的实根9．（2024·河南·高三校联考阶段练习）已知函数与函数的图象上至少存在一对关于轴对称的点，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．10．（2024·青海海南·高三校联考期末）已知函数与函数的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．11．（2024·全国·高三专题练习）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是()A． B．C． D．12．（2024·湖北·高三校联考阶段练习）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并构成一般不动点定理的基石，布劳威尔不动点定理得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单的讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个实数，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，为函数的不动点.设函数，.若在区间上存在不动点，则的取值范围是（

）A． B．C． D．13．（2024·山东菏泽·统考一模）定义在实数集上的函数，如果，使得，则称为函数的不动点.给定函数，，已知函数，，在上均存在唯一不动点，分别记为，则（

）A． B． C． D．14．（2024·河南开封·统考一模）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它可应用到有限维空间，并且是构成一般不动点定理的基石．简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数．若函数为“不动点”函数，则实数的取值范围是（

）A． B． C． D．15．（2024·全国·高三专题练习）对于函数，若，则称x为的“不动点”，若，则称x为的“稳定点”，记，，则下列说法错误的是（

）A．对于函数，有成立B．若是二次函数，且A是空集，则B为空集C．对于函数，有成立D．对于函数，存在，使得成立16．（2024·全国·高三专题练习）对于函数，若，则称为函数的“不动点”；若，则称为函数的“稳定点”．如果函数的“稳定点”恰是它的“不动点”，那么实数a的取值范围是（

）A． B． C． D．17．（2024·全国·高三专题练习）若存在一个实数，使得成立，则称为函数的一个不动点.设函数为自然对数的底数，定义在R上的连续函数满足，且当时，若存在，且为函数的一个不动点，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题18．（2024·安徽六安·高三六安一中校考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的一个不动点，依据不动点理论，下列说法正确的是（

）A．函数有3个不动点B．函数至多有两个不动点C．若函数没有不动点，则方程无实根D．设函数(，e为自然对数的底数)，若曲线上存在点使成立，则a的取值范围是19．（2024·全国·高三专题练习）将函数的图像绕坐标原点逆时针方向旋转角，得到曲线，若曲线仍然是一个函数的图像，则的可能取值为（

）A． B． C． D．20．（2024·新疆克孜勒苏·高三统考期末）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（

）A． B．C． D．21．（2024·广东珠海·高三校考期末）布劳威尔不动点定理是拓扑学里一个非常重要的不动点定理，它得名于荷兰数学家布鲁伊·布劳威尔，简单地讲就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个定点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，而称为该函数的不动点，则下列说法中正确的有（

）A．函数是“不动点”函数B．函数的不动点为和3C．函数的导函数是“不动点”函数D．函数的导函数不是“不动点”函数22．（2024·全国·高三专题练习）（多选）在数学中，布劳威尔不动点定理可应用到有限维空间，是构成一般不动点定理的基石，它得名于荷兰数学家鲁伊兹·布劳威尔（L.E.J.Brouwer），简单地讲，就是对于满足一定条件的连续函数，存在一个点，使得，那么我们称该函数为“不动点”函数，下列函数是“不动点”函数的是（）A． B．C． D．三、填空题23．（2024·全国·高三专题练习）设函数．（1）该函数的最小值为；（2）将该函数的图象绕原点顺时针方向旋转角得到曲线．若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图象，则的取值范围是．24．（2024·浙江温州·统考一模）将函数的图像绕原点顺时针方向旋转角得到曲线.若对于每一个旋转角，曲线都是一个函数的图像，则的取值范围是.25．（2024·四川攀枝花·高一统考期末）已知函数与的图象上存在关于轴对称的点，则实数的取值范围是．26．（2024·全国·高