第01讲 集合（讲义）（解析版）

第01讲集合1．集合与元素(1)集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性．(2)元素与集合的关系是属于或不属于，用符号∈或∉表示．(3)集合的表示法：列举法、描述法、图示法．(4)常见数集的记法集合非负整数集(或自然数集)正整数集整数集有理数集实数集符号NN*(或N＋)ZQR2.集合的基本关系(1)子集：一般地，对于两个集合A，B，如果集合A中任意一个元素都是集合B中的元素，就称集合A为集合B的子集，记作A⊆B(或B⊇A)．(2)真子集：如果集合A⊆B，但存在元素x∈B，且x∉A，就称集合A是集合B的真子集，记作AB(或BA)．(3)相等：若A⊆B，且B⊆A，则A＝B.(4)空集：不含任何元素的集合叫做空集，记为∅.空集是任何集合的子集，是任何非空集合的真子集．3．集合的基本运算表示运算文字语言集合语言图形语言记法并集所有属于集合A或属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，或x∈B}A∪B交集所有属于集合A且属于集合B的元素组成的集合{x|x∈A，且x∈B}A∩B补集全集U中不属于集合A的所有元素组成的集合{x|x∈U，且x∉A}∁UA4.常用结论(1)若有限集合A中有个元素,则A有个子集,有个真子集,有个非空真子集.考点一Venn图法解决集合运算问题考点二分类讨论法解决元素与集合关系问题考点三根据集合包含关系求参数值或范围考点四数轴法解决集合运算问题考点一：Venn图法解决集合运算问题例1．已知全集，，，则如图所示的阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，再利用集合的交并补运算即可得解.【详解】分析韦恩图可知，其阴影部分所表示的集合为，因为，，所以，因为，所以.故选：D.对点变式1：已知，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B．或C． D．【答案】D【分析】由图可得，所求为集合A关于全集U的补集，后由补集定义可得答案.【详解】由图可得，所求为集合A关于全集U的补集，则.故选：D对点变式2：（2023春·浙江·高三校联考开学考试）已知全集，集合或，，则如图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】化简集合B，根据集合的交集、补集运算求解即可.【详解】，，，由图可知阴影部分表示的集合是，故选：A.考点二：分类讨论法解决元素与集合关系问题例2．（2023·山西大同·校联考模拟预测）设集合，，．若，，则（

）A． B． C．1 D．3【答案】B【分析】根据包含关系结合交集的结果可求的值.【详解】因为，故，故或，若，则，，此时，符合；若，则，，此时，不符合；故选：B对点变式1：已知集合，，则（

）A． B．或 C． D．【答案】D【分析】由元素与集合关系分类讨论，结合元素的互异性判断即可.【详解】∵，∴或．若，解得或．当时，，不满足集合中元素的互异性，故舍去；当时，集合，满足题意，故成立．若，解得，由上述讨论可知，不满足题意，故舍去．综上所述，．故选：D．对点变式2：（2023春·河南新乡·高三校联考开学考试）已知集合，，若，则实数x的取值集合为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】根据集合元素的唯一性分类讨论即可.【详解】因为，所以.当时，，得；当时，则.故实数x的取值集合为.故选：B.考点三：根据集合包含关系求参数值或范围例3.（2023·全国·高三专题练习）设集合，，若，则实数的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】首先求出，依题意可得，即可得到不等式，解得即可.【详解】因为，所以，又，所以，又，所以，解得，即实数的取值范围为.故选：A对点变式1：（2023春·湖南长沙·高三长沙一中校考阶段练习）已知集合，，若，则实数a的取值范围为（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】先求出集合，根据得出为的子集，结合集合间的关系可得答案.【详解】，因为，所以为的子集，所以.故选：C.对点变式2：（多选），，且，则的可能值为（

）A． B． C．0 D．【答案】BCD【分析】根据，，得到，分类讨论解决即可.【详解】由题知由，解得或所以，因为，所以当时，，满足题意，当时，，，即，或，即；故选：BCD考点四：数轴法解决集合运算问题例4：（2023·陕西商洛·统考一模）已知集合，则（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】直接解一元二次不等式得集合，解一元一次不等式的集合，从而可得并集.【详解】因为，解得或，所以或，又，所以或．故选：A.对点变式1：（陕西省榆林市2023届高三下学期二模理科数学试题）设集合，，则（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】求得，根据集合的并集运算即可求得答案.【详解】由题意可得，，则，故选：A对点变式2：（2023·全国·高三专题练习）已知集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】D【分析】求出集合、，利用交集的定义可求得集合.【详解】因为，，因此，.故选：D.一、单选题1．集合，将集合分别用如下图中的两个圆表示，则圆中阴影部分表示的集合中元素个数恰好为2的是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】利用图象求得正确答案.【详解】，所以:A选项，阴影部分表示，不符合题意.B选项，阴影部分表示，符合题意.C选项，阴影部分表示，不符合题意.D选项，阴影部分表示，不符合题意.故选：B2．如图，已知全集，集合，，则图中阴影部分表示的集合的真子集个数为（

）A．3 B．4 C．7 D．8【答案】C【分析】先求得图中阴影部分表示的集合中的元素个数，进而求得其真子集个数.【详解】，则或图中阴影部分表示的集合为或中有3个元素，其真子集个数为个故选：C3．已知集合，则如图中阴影部分表示的集合为（

）A． B．C． D．【答案】D【分析】根据集合的基本运算的概念，可知图中阴影部分表示的集合为，求解即可.【详解】根据集合的基本运算的概念，可知图中阴影部分表示的集合为.∵，∴或，，∴.故选：D.4．（2022秋·重庆·高三统考阶段练习）若集合，，则图中阴影部分表示的集合是（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】由题知，，再根据题意求即可得答案.【详解】解：函数的定义域为，故，因为，所以，即，所以图中阴影部分表示的集合是故选：B5．（2023·重庆渝中·高三重庆巴蜀中学校考阶段练习）设集合，若，则集合C中的元素有（

）个A．0 B．1 C．2 D．3【答案】C【分析】由可知需满足，利用解方程组代入可得，即C中有2个元素.【详解】由可得，集合C为集合A，B的公共元素，需满足，即，又，故或，解得或此时集合有2个元素.故选：C6．（2022秋·上海徐汇·高三上海市第二中学校考期中）集合或，若，则实数的取值范围是（

）A． B．C． D．【答案】A【分析】按讨论求解集合,按列出满足的条件求解即可.【详解】，①当时，即无解，此时，满足题意．②当时，即有解，当时，可得，要使，则需要，解得．当时，可得，要使，则需要，解得，综上，实数的取值范围是．故选：A．7．设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用对数函数的定义域与指数的单调性化简集合，再利用集合的交并补运算即可.【详解】对于，易得，则，故；所以，对于，得，故，所以.故选：B.8．（2022秋·安徽阜阳·高三安徽省临泉第一中学校联考阶段练习）设集合，则（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】先求出集合A、B，再求.【详解】由题意，所以．故选：B．9．（2023·重庆·统考二模）设集合，集合，则（

）A． B． C． D．【答案】C【分析】根据题意利用指、对数函数的单调性求集合，进而可求交集.【详解】由题意可得：，则.故选：C.二、多选题10．能正确表示图中阴影部分的是（

）A． B． C． D．【答案】ACD【分析】根据集合的运算，结合图形分析可得.【详解】因为阴影部分在B中不在A中，根据集合的运算分析可知ACD正确.故选：ACD11．定义集合运算，设集合，集合，则（

）A．中有四个元素B．有7个真子集C．D．中的元素之和为13【答案】BC【分析】根据题目所给的集合新定义进行运算，求出的元素即可求解.【详解】可取可取,则可取,，，；由集合的互异性可知中有3个元素,故选项A错误;，则的真子集有个,故选项B正确;,故选项C正确;中所有元素之和为,故选项D错误.故选:BC.12．若集合，则的值可能为（

）A． B．0 C． D．1【答案】ABD【分析】由题意知，只有一个实数根，分类讨论和两种情况，即可求解.【详解】根据题意，只有一个实数根，当时，化为，所以.当时，，则.若，则的解集为，所以；若，则的解集为，所以.故选：ABD.三、填空题13．已知集合，，则_________.【答案】【分析】根据集合元素的互异性以及交集性质进行分类讨论即可得出符合题意.【详解】因为，所以，易知，当时，，此时，，不合题意舍去；当时，，此时，，满足题意，所以.故答案为：14．已知关于x的不等式的解集是M，若且，则实数a的取值范围是______．【答案】【分析】根据题意，分析可得和或，解出即可.【详解】若，则有，解得或，若，则有或，解得，，即实数的取值范围为.故答案为：.15．（2023·全国·高三专题练习）含有3个实数的集合既可表示成，又可表示成，则_____．【答案】1【分析】根据集合相等，则元素完全相同，分析参数，列出等式，即可求得结果.【详解】因为，显然，故，则；此时两集合分别是，则，解得或.当时，不满足互异性，故舍去；当时，满足题意.所以故答案为：.16．已知集合，若，则实数的取值范围___________