单招本科往年数学试卷

单招本科往年数学试卷

一、选择题

1.在函数f(x)=x”・3x+2中，若f(x)在x=1处有极值，则该极值是()

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

2.已知向量a=(2,3),向量b=(4,・1),则向量a与向量b的点积是()

A.10

B.-5

C.0

D.7

3.在数列｛an｝中,an=nA2-2n+1,则数列｛an｝的第10项是()

A.81

B.80

C.82

D.79

4.在平面直角坐标系中，点A(2,3),点B(・1,5),则线段AB的中点是()

A.(1,4)

B.(3,2)

C.(0,4)

D.(1,2)

5.已知函数f(x)=2xA3-6xA2+3x+1，在x=1处取得极值，则该极值是

()

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

6.在数列｛an｝中，an=n(n+1),则数列｛an｝的前10项之和是()

A.385

B.390

C.395

D.400

7.已知函数f(x)=xA2-4x+4,则f(2)的值是()

A.0

B.2

C.4

D.6

8.在平面直角坐标系中，点C(1,-1)，点D(-3,2)，则线段CD的长度是()

A.2V5

B.312

C.4V3

D.5V2

9.已知函数f(x)=xA3-3xA2+2x-1，在x=1处取得极值，则该极值是()

A.极大值

B.极小值

C.无极值

D.无法确定

10.在数列｛an｝中,an=(n+1)A2-nA2,则数列｛an｝的第5项是()

A.6

B.7

C.8

D.9

二、判断题

1.在函数y=x△2中，当x>0时，函数是增函数，()

2.向量a=(3,4)和向量b=(2,3)是垂直的。()

3.数列｛an｝中,an=n+1,该数列是一个等差数列。()

4.在平面直角坐标系中，点P(2,・3)关于原点的对称点是P'(-2,3)o()

5.函数f(x)=1/x在x=0处有定义，并且该函数在x=0处连续。()

三、填空题

1.若函数f(x)=乂八2・4乂+4的图像是一个开口向上的抛物线，则该抛物线的顶

点坐标是。

2.已知等差数列｛an｝的第一项a1=3,公差d=2,则该数列的第10项an二

3.在平面直角坐标系中，若点A(2,3)和点B(-4,1)的斜率是m,则m二

C.如果企业想要实现利润最大化，需要调整销售价格p到多少？

2.案例分析题：一个班级有30名学生，他们的数学考试成绩服从正态分布，

平均分为70分，标准差为10分。现要从中随机抽取10名学生进行额外的辅

导，假设辅导效果在统计学上可以视为随机变量，其期望为提高5分，标准差

为2分。请分析以下问题：

a.抽取的10名学生经过辅导后，平均成绩的期望值是多少？

b.假设辅导效果不受学生个体差异影响，抽取的10名学生中至少有8名成绩

提高超过5分的概率是多少？

c.如果想要至少有80%的概率保证辅导后学生的平均成绩提高至少5分，需要

抽取的学生人数至少是多少？

七、应用题

1.应用题：某工厂生产一种产品，其固定成本为每天1000元，变动成本为每

件产品50元。如果每件产品的售价为100元，求：

a.该工厂每天生产多少件产品时，才能达到盈亏平衡点？

b.如果市场需求减少，导致售价下降到80元，工厂应如何调整生产量以维持

盈利？

2.应用题：一个长方体的长、宽、高分别为a、b、c,体积V=abCo若长方

体的表面积S=2(ab+ac+be)已知，求证：当长方体为正方体时，其表面积

最小。

3.应用题：某商店正在促销活动，顾客每购买5件商品，就可以免费获得1件

商品。若顾客购买了15件商品，请问实际支付的总金额是多少？

a.如果每件商品的原价是20元，计算顾客实际支付的金额。

b.如果顾客购买的商品中有一件是特价商品，原价为10元，计算顾客实际支

付的金额。

4.应用题：某班级共有40名学生，其中有20名女生和20名男生。班级组织

一次数学竞赛，男生平均分为80分，女生平均分为90分。如果要求整个班级

的平均分至少为85分，那么至少有多少名男生需要提高成绩到90分以上？

本专业课理论基础试卷答案及知识点总结如下：

一、选择题答案

1.A

2.B

3.B

4.A

5.A

6.A

7.C

8.A

9.A

10.A

二、判断题答案

1.x

2.Q

3.N

4.V

5.x

三、填空题答案

1.(2,2)

2.35

3.-1/2

4.2

5.115

四、简答题答案

1.函数极值的判定方法包括一阶导数测试和二阶导数测试。一阶导数测试通过

判断导数的符号变化来确定极值点，二阶导数测试通过判断二阶导数的符号来

确定极值的类型。例如，若f(x)在x=c处由正变负，则f(c)为极大值；若f(x)在

x=c处由负变正，则f⑹为极小值。

2.解二次方程的一般步骤是：首先将方程化为标准形式axA2+bx+c=0,然

后使用求根公式x=(-b±V(bA2-4ac))/(2a)来求解。

3.等差数列是每一项与它前一项之差相等的数列，等比数列是每一项与它前一

项之比相等的数列。它们在数学中广泛应用于解决实际问题，如财务计算、几

何序列等。

4.解析几何中，直线与平面的关系可以通过斜率和法向量来描述。如果直线的

方向向量与平面的法向量垂直，则直线与平面平行；如果直线的方向向量与平

面的法向量不垂直，则直线与平面相交。

5.微分是研究函数在某一点的局部性质，积分是研究函数在一定区间上的整体

性质。微分用于求解函数在某一点的切线斜率、吸值等，积分用于求解函数的

面积、体积、曲线长度等。

五、计算题答案

1.f(x)=3xA2-9,f(2)=3(2)A2-9=12-9=3

2.x+2y=7->y=(7-x)/2

3x-4y=5-►3x・4((7-x)/2)=5

3x-2(7-x)=5

3x-14+2x=5

5x=19

x=19/5

代入y=(7-x)/2得到y=(7-19/5)/2=(35/5-19/5)/2=16/10=8/5

方程组的解为x=19/5,y=8/5

3.S_n=n(a1+an)/2=n(5+(5+(n-1)*3))/2=n(5+5+3n-3)/2=

n(3n+7)/2

S_n=(3nA2+7n)/2

4.2x-3x>1+5

-x>6

x<-6

不等式的解为XV・6

5.f(0to2)(xA2-4)dx=[1/3*xA3-4x]from0to2

=(1/3*2A3-4*2)-(1/3*0A3-4*0)

=(1/3*8-8)-0

=8/3-8

=-16/3

六、案例分析题答案

1.a.收入函数R(x)=p*x=200x

利润函数L(x)=R(x)-C(x)=200x-(100x+2000)=100x-2000

盈亏平衡点：L(x)=0->100x-2000=0-►x=20

b.当市场需求为0时，产量x=0,利润L(0)=100*0-2000=-2000,工厂亏

损。

c.利润最大化时，价格p应等于边际成本MC,MC=100o因此，销售价格p

=100o

2.a.抽取的10名学生经过辅导后，平均成绩的期望值=70+5=75分。

b.使用正态分布的累积分布函数(CDF)计算概率。假设辅导效果是独立的，

则提高分数的标准差为2,平均提高5分，所以新的平均分为75分，标准差为

2o

c.使用正态分布的逆CDF函数来计算所需人数。假设至少有80%的概率保证

平均成绩提高至少5分，即P(XN75)N0.8,其中X是辅导后的平均成绩。通

过查找标准正态分布表或使用计算工具，可以找到对应的Z分数，然后反推人

数。

七、应用题答案

1.a.盈亏平衡点：固定成本/(售价■变动成本)=1000/(100-50)=1000/

50=20件。

b.当售价下降到80元时，新的盈亏平衡点：固定成本/(新售价■变动成本)=

1000/(80-50)=1000/30=33.33件。

2.证明：设长方体的长、宽、高分别为a、b、c,则表面积S=2(ab+ac+

bc)o要证明当长方体为正方体时，S最小，即证明S关于a、b、c的函数在

a=b=c时取得最小值。

对S关于a求偏导得dS/da=2b+2c,对S关于b求偏导得dS/db=2a+

2c,对S关于c求偏导得dS/dc=2a+2bo

当a=b=c时，有dS/da=dS/db=dS/dc,即三个偏导数相等。由多元函数的极

值条件，当三个偏导数相等时，函数在该点取得极值。因此，当长方体为正方

体时，其表面积S取得最小值。

3.a.实际支付的总金额=15件*20元/件=3