浙江省杭州市桐庐县分水高中2026届高三上数学期末预测试题含解析

浙江省杭州市桐庐县分水高中2026届高三上数学期末预测试题考生请注意：1．答题前请将考场、试室号、座位号、考生号、姓名写在试卷密封线内，不得在试卷上作任何标记。2．第一部分选择题每小题选出答案后，需将答案写在试卷指定的括号内，第二部分非选择题答案写在试卷题目指定的位置上。3．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．函数在内有且只有一个零点，则a的值为（）A．3 B．－3 C．2 D．－22．国家统计局服务业调查中心和中国物流与采购联合会发布的2018年10月份至2019年9月份共12个月的中国制造业采购经理指数(PMI)如下图所示.则下列结论中错误的是（）A．12个月的PMI值不低于50%的频率为B．12个月的PMI值的平均值低于50%C．12个月的PMI值的众数为49.4%D．12个月的PMI值的中位数为50.3%3．已知向量与的夹角为，定义为与的“向量积”，且是一个向量，它的长度，若，，则（）A． B．C．6 D．4．若实数满足不等式组则的最小值等于（）A． B． C． D．5．已知，则下列不等式正确的是（）A． B．C． D．6．已知角的终边经过点,则A． B．C． D．7．已知函数,关于的方程R)有四个相异的实数根,则的取值范围是(

)A． B． C． D．8．已知集合，，则（）A． B．C． D．9．在边长为1的等边三角形中，点E是中点，点F是中点，则（）A． B． C． D．10．已知x，y满足不等式，且目标函数z＝9x+6y最大值的变化范围[20，22]，则t的取值范围（）A．[2，4] B．[4，6] C．[5，8] D．[6，7]11．设，，，则，，三数的大小关系是A． B．C． D．12．下列函数中，值域为的偶函数是（）A． B． C． D．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．已知向量，，若满足，且方向相同，则__________．14．设的内角的对边分别为，，．若，，，则_____________15．某校为了解学生学习的情况，采用分层抽样的方法从高一人、高二人、高三人中，抽取人进行问卷调查.已知高一被抽取的人数为，那么高三被抽取的人数为_______．16．在的展开式中，常数项为________.(用数字作答)三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知，函数.（1）若函数在上为减函数，求实数的取值范围；（2）求证：对上的任意两个实数，，总有成立.18．（12分）已知椭圆的离心率为，点在椭圆上.（Ⅰ）求椭圆的标准方程；（Ⅱ）设直线交椭圆于两点，线段的中点在直线上，求证：线段的中垂线恒过定点.19．（12分）设函数.（1）当时，求不等式的解集；（2）若恒成立，求的取值范围.20．（12分）已知函数．（1）求函数的零点；（2）设函数的图象与函数的图象交于，两点，求证：；（3）若，且不等式对一切正实数x恒成立，求k的取值范围．21．（12分）若函数在处有极值，且，则称为函数的“F点”.（1）设函数（）.①当时，求函数的极值；②若函数存在“F点”，求k的值；（2）已知函数（a，b，，）存在两个不相等的“F点”，，且，求a的取值范围.22．（10分）已知．（1）已知关于的不等式有实数解，求的取值范围；（2）求不等式的解集．

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】

求出，对分类讨论，求出单调区间和极值点，结合三次函数的图像特征，即可求解.【详解】，若，，在单调递增，且，在不存在零点；若，，在内有且只有一个零点，.故选:A.【点睛】本题考查函数的零点、导数的应用，考查分类讨论思想，熟练掌握函数图像和性质是解题的关键，属于中档题.2、D【解析】

根据图形中的信息，可得频率、平均值的估计、众数、中位数，从而得到答案.【详解】对A，从图中数据变化看，PMI值不低于50%的月份有4个，所以12个月的PMI值不低于50%的频率为，故A正确；对B，由图可以看出，PMI值的平均值低于50%，故B正确；对C，12个月的PMI值的众数为49.4%，故C正确，；对D，12个月的PMI值的中位数为49.6%，故D错误故选：D.【点睛】本题考查频率、平均值的估计、众数、中位数计算，考查数据处理能力，属于基础题.3、D【解析】

先根据向量坐标运算求出和，进而求出，代入题中给的定义即可求解.【详解】由题意，则，，得，由定义知，故选:D.【点睛】此题考查向量的坐标运算，引入新定义，属于简单题目.4、A【解析】

首先画出可行域，利用目标函数的几何意义求的最小值．【详解】解：作出实数，满足不等式组表示的平面区域（如图示：阴影部分）由得，由得，平移，易知过点时直线在上截距最小，所以．故选：A．【点睛】本题考查了简单线性规划问题，求目标函数的最值先画出可行域，利用几何意义求值，属于中档题．5、D【解析】

利用特殊值代入法，作差法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项．【详解】已知，赋值法讨论的情况：（1）当时，令，，则，，排除B、C选项；（2）当时，令，，则，排除A选项.故选：D.【点睛】比较大小通常采用作差法，本题主要考查不等式与不等关系，不等式的基本性质，利用特殊值代入法，排除不符合条件的选项，得到符合条件的选项，是一种简单有效的方法，属于中等题．6、D【解析】因为角的终边经过点,所以,则,即.故选D．7、A【解析】=,当时时,单调递减，时,单调递增,且当,当,

当时，恒成立，时,单调递增且,方程R)有四个相异的实数根.令=则,,即.8、A【解析】

根据对数性质可知，再根据集合的交集运算即可求解.【详解】∵，集合，∴由交集运算可得.故选：A.【点睛】本题考查由对数的性质比较大小，集合交集的简单运算，属于基础题.9、C【解析】

根据平面向量基本定理，用来表示，然后利用数量积公式，简单计算，可得结果.【详解】由题可知：点E是中点，点F是中点，所以又所以则故选：C【点睛】本题考查平面向量基本定理以及数量积公式，掌握公式，细心观察，属基础题.10、B【解析】

作出可行域，对t进行分类讨论分析目标函数的最大值，即可求解.【详解】画出不等式组所表示的可行域如图△AOB当t≤2时，可行域即为如图中的△OAM，此时目标函数z＝9x+6y在A（2，0）取得最大值Z＝18不符合题意t＞2时可知目标函数Z＝9x+6y在的交点（）处取得最大值，此时Z＝t+16由题意可得，20≤t+16≤22解可得4≤t≤6故选：B．【点睛】此题考查线性规划，根据可行域结合目标函数的最大值的取值范围求参数的取值范围，涉及分类讨论思想，关键在于熟练掌握截距型目标函数的最大值最优解的处理办法.11、C【解析】

利用对数函数，指数函数以及正弦函数的性质和计算公式，将a，b，c与，比较即可.【详解】由，，，所以有.选C.【点睛】本题考查对数值，指数值和正弦值大小的比较，是基础题，解题时选择合适的中间值比较是关键，注意合理地进行等价转化.12、C【解析】试题分析：A中，函数为偶函数，但，不满足条件；B中，函数为奇函数，不满足条件；C中，函数为偶函数且，满足条件；D中，函数为偶函数，但，不满足条件，故选C．考点：1、函数的奇偶性；2、函数的值域．二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】

由向量平行坐标表示计算．注意验证两向量方向是否相同．【详解】∵，∴，解得或，时，满足题意，时，，方向相反，不合题意，舍去．∴．故答案为：1．【点睛】本题考查向量平行的坐标运算，解题时要注意验证方向相同这个条件，否则会出错．14、或【解析】试题分析：由，则可运用同角三角函数的平方关系：，已知两边及其对角，求角．用正弦定理；，则；可得．考点：运用正弦定理解三角形．（注意多解的情况判断）15、【解析】由分层抽样的知识可得，即，所以高三被抽取的人数为，应填答案．16、【解析】

的展开式的通项为，取计算得到答案.【详解】的展开式的通项为：，取得到常数项.故答案为：.【点睛】本题考查了二项式定理，意在考查学生的计算能力.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）见解析【解析】

（1）求出函数的导函数，依题意可得在上恒成立，参变分离得在上恒成立.设，求出即可得到参数的取值范围；（2）不妨设，，，利用导数说明函数在上是减函数，即可得证；【详解】解：（1）∵∴，且函数在上为减函数，即在上恒成立，∴在上恒成立.设，∵函数在上单调递增，∴，∴，∴实数的取值范围为.（2）不妨设，，，则，∴.∵，∴，又，令，∴，∴在上为减函数，∴，∴，即，∴在上是减函数，∴，即，∴，∴当时，.∵，∴.【点睛】本题考查了利用导数研究函数的单调性、极值与最值，利用导数证明不等式，考查了推理能力与计算能力，属于难题．18、（Ⅰ）；（Ⅱ）详见解析.【解析】

（Ⅰ）把点代入椭圆方程，结合离心率得到关于的方程，解方程即可；（Ⅱ）联立直线与椭圆方程得到关于的一元二次方程，利用韦达定理和中垂线的定义求出线段的中垂线方程即可证明.【详解】（Ⅰ）由已知椭圆过点得，，又，得，所以，即椭圆方程为.（Ⅱ）证明：由，得，由，得，由韦达定理可得，，设的中点为，得，即，，的中垂线方程为，即，故得中垂线恒过点.【点睛】本题考查椭圆的标准方程及其几何性质、直线与椭圆的位置关系及椭圆中的定值问题；考查运算求解能力和知识的综合运用能力；正确求出椭圆方程和利用中垂线的定义正确表示出中垂线方程是求解本题的关键;属于中档题.19、(1)；(2).【解析】

分析：（1）先根据绝对值几何意义将不等式化为三个不等式组，分别求解，最后求并集，（2）先化简不等式为，再根据绝对值三角不等式得最小值，最后解不等式得的取值范围．详解：（1）当时，可得的解集为．（2）等价于．而，且当时等号成立．故等价于．由可得或，所以的取值范围是．点睛：含绝对值不等式的解法有两个基本方法，一是运用零点分区间讨论，二是利用绝对值的几何意义求解．法一是运用分类讨论思想，法二是运用数形结合思想，将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、渗透，解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用，这是命题的新动向．20、(1)x=1(2)证明见解析(3)【解析】

（1）令，根据导函数确定函数的单调区间，求出极小值，进而求解；（2）转化思想，要证，即证，即证，构造函数进而求证；（3）不等式对一切正实数恒成立，，设，分类讨论进而求解．【详解】解：（1）令，所以，当时，，在上单调递增；当时，，在单调递减；所以，所以的零点为．（2）由题意，，要证，即证，即证，令，则，由（1）知，当且仅当时等号成立，所以，即，所以原不等式成立．（3）不等式对一切正实数恒成立，，设，，记，△，①当△时，即时，恒成立，故单调递增．于是当时，，又，故，当时，，又，故，又当时，，因此，当时，，②当△，即时，设的两个不等实根分别为，，又，于是，故当时，，从而在单调递减；当时，，此时，于是，即舍去，综上，的取值范围是．【点睛】（1）考查函数求导，根据导函数确定函数的单调性，零点；（2）考查转化思想，构造函数求极值；（3）考查分类讨论思想，函数的单调性，函数的求导；属于难题.21、（1）①极小值为1，无极大值.②实数k的值为1.（2）【解析】

（1）①将代入可得，求导讨论函数单调性，即得极值；②设是函数的一个“F点”（），即是的零点，那么由导数可知，且，可得，根据可得，设，由的单调性可得，即得.（2）方法一：先求的导数，存在两个不相等的“F点”，，可以由和韦达定理表示出，的关系，再由，可得的关系式，根据已知解即得.方法二：由函数存在不相等的两个“F点”和，可知，是关于x的方程组的两个相异实数根，由得，分两种情况：是函数一个“F点”，不是函数一个“F点”，进行讨论即得.【详解】解：（1）①当时，（），则有（），令得，列表如下：x10极小值故函数在处取得极小值，极小值为1，无极大值.②设是函数的一个“F点”（）.（），是函数的零点.，由，得，，由，得，即.设，则，所以函数在上单调增，注意到，所以方程存在唯一实根1，所以，得，根据①知，时，是函数的极小值点，所以1是函数的“F点”.综上，得实数k的值为1.（2）由（a，b，，），可得（）.又函数存在不相等的两个“F点”和，，是关于x的方程（）的两个相异实数根.又，，，即，从而，，即..，，解得.所以，实数a的取值范围为.（2）（解法2）因为（a，b，，）所以（）.又因为函数存在不相等的两个“F点”和，所以，是关于x的方程组的两个相异实数根.由得，.（2.1）当是函数一个“F点”时，且.所以，即.又，所以，所以.又，所以.（2.2）当不是函数一个“F点”时，则，是关于x的方程的两个相异实数根.又，所以得所以，得.所以，得.综合（2.1）（2.2），实数a的取值范围为.