四川省成都市实验中学2026届高二上数学期末综合测试模拟试题含解析

四川省成都市实验中学2026届高二上数学期末综合测试模拟试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效。3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若某群体中的成员只用现金支付的概率为，既用现金支付也用非现金支付的概率为，则不用现金支付的概率为（）A. B.C. D.2．双曲线：的实轴长为（）A. B.C.4 D.23．已知，是双曲线C：（，）的两个焦点，过点与x轴垂直的直线与双曲线C交于A、B两点，若是等腰直角三角形，则双曲线C的离心率为（）A. B.C. D.4．在一次体检中，发现甲、乙两个单位的职工中体重超过的人员的体重如下（单位：）.若规定超过为显著超重，从甲、乙两个单位中体重超过的职工中各抽取1人，则这2人中，恰好有1人显著超重的概率为（）A. B.C. D.5．设为坐标原点，直线与抛物线C：交于，两点，若，则的焦点坐标为（）A. B.C. D.6．已知抛物线：，焦点为，若过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则长为A.3 B.4C.7 D.107．如图，在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（）A. B.C. D.8．曲线与曲线的A.长轴长相等 B.短轴长相等C.离心率相等 D.焦距相等9．若数列的前项和，则此数列是（）A.等差数列 B.等比数列C.等差数列或等比数列 D.以上说法均不对10．如图，已知二面角平面角的大小为，其棱上有、两点，、分别在这个二面角的两个半平面内，且都与垂直.已知，，则（）A. B.C. D.11．某家庭准备晚上在餐馆吃饭，他们查看了两个网站关于四家餐馆的好评率，如下表所示，考虑每家餐馆的总好评率，他们应选择（）网站①评价人数网站①好评率网站②评价人数网站②好评率餐馆甲100095%100085%餐馆乙1000100%200080%餐馆丙100090%100090%餐馆丁200095%100085%A.餐馆甲 B.餐馆乙C.餐馆丙 D.餐馆丁12．已知M、N为椭圆上关于短轴对称的两点,A、B分别为椭圆的上下顶点,设、分别为直线的斜率,则的最小值为()A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．对于实数表示不超过的最大整数，如.已知数列的通项公式，前项和为，则___________.14．设直线的方向向量分别为，若，则实数m等于___________.15．已知圆，圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上，则圆的标准方程为________16．在圆M：中，过点的最长弦和最短弦分别为AC和BD，则四边形ABCD的面积为___________.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知等差数列满足，，的前项和为.（1）求及；（2）令，求数列的前项和.18．（12分）如图，在直三棱柱中，，，，分别为，，的中点，点在棱上，且，，.（1）求证：平面；（2）求证：平面平面；（3）求平面与平面的距离.19．（12分）某电脑公司为调查旗下A品牌电脑的使用情况，随机抽取200名用户，根据不同年龄段（单位：岁）统计如下表：分组频率/组距0.010.040.070.060.02（1）根据上表，试估计样本的中位数、平均数（同一组数据以该组区间的中点值为代表，结果精确到0.1）；（2）按照年龄段从内的用户中进行分层抽样，抽取6人，再从中随机选取2人赠送小礼品，求恰有1人在内的概率20．（12分）已知圆的圆心在第一象限内，圆关于直线对称，与轴相切，被直线截得的弦长为.（1）求圆的方程；（2）若点，求过点的圆的切线方程.21．（12分）已知椭圆E的中心在坐标原点，焦点在坐标轴上，且经过，，三点，求椭圆E的标准方程22．（10分）已知椭圆的焦距为，点在椭圆上.过点的直线l交椭圆于A，B两点.（1）求该椭圆的方程；（2）若点P为直线上的动点，记直线PA，PM，PB的斜率分别为，，.求证：，，成等差数列.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】利用对立事件概率公式可求得所求事件的概率.【详解】由对立事件的概率公式可知，该群体中的成员不用现金支付的概率为.故选：A.2、A【解析】根据双曲线的几何意义即可得到结果.【详解】因为双曲线的实轴长为2a，而双曲线中，，所以其实轴长为故选：A3、B【解析】根据等腰直角三角形的性质，结合双曲线的离心率公式进行求解即可.【详解】由题意不妨设，，当时，由，不妨设，因为是等腰直角三角形，所以有，或舍去，故选：B4、B【解析】列举出所有选取的情况，再找出满足题意的情况，根据古典概型的概率计算公式即可求解.【详解】不妨用表示每种抽取情况，其中是指甲单位抽取1人的体重，代表从乙单位抽取人的体重.则所有的可能有16种，如下所示：，，，，，，，，，，，，，，，其中满足题意的有6种：，，，，，故抽取的这2人中，恰好有1人显著超重的概率为：.故选：.5、B【解析】根据题中所给的条件，结合抛物线的对称性，可知，从而可以确定出点的坐标，代入方程求得的值，进而求得其焦点坐标，得到结果.【详解】因为直线与抛物线交于两点，且，根据抛物线的对称性可以确定，所以，代入抛物线方程，求得，所以其焦点坐标为，故选：B.【点睛】该题考查的是有关圆锥曲线的问题，涉及到的知识点有直线与抛物线的交点，抛物线的对称性，点在抛物线上的条件，抛物线的焦点坐标，属于简单题目.6、D【解析】利用抛物线的定义，把的长转化为点到准线的距离的和得解【详解】解：抛物线：，焦点为，过的直线交抛物线于、两点，、到抛物线准线的距离分别为3、7，则故选D【点睛】本题考查抛物线定义的应用，意在考查学生对该知识的理解掌握水平和分析推理能力.7、D【解析】由空间向量运算法则得,利用向量的线性运算求出结果.【详解】因为点，分别是面对角线与的中点，，，，所以故选:D.8、D【解析】分别求出两椭圆的长轴长、短轴长、离心率、焦距，即可判断【详解】解：曲线表示焦点在轴上，长轴长10，短轴长为6，离心率为，焦距为8曲线表示焦点在轴上，长轴长为，短轴长为，离心率为，焦距为8对照选项，则正确故选：【点睛】本题考查椭圆的方程和性质，考查运算能力，属于基础题9、D【解析】利用数列通项与前n项和的关系和等差数列及等比数列的定义判断.【详解】当时，，当时，，当时，，所以是等差数列；当时，为非等差数列，非等比数列’当时，，所以是等比数列，故选：D10、C【解析】以、为邻边作平行四边形，连接，计算出、的长，证明出，利用勾股定理可求得的长.【详解】如下图所示，以、为邻边作平行四边形，连接，因为，，则，又因为，，，故二面角的平面角为，因为四边形为平行四边形，则，，因为，故为等边三角形，则，，则，，，故平面，因为平面，则，故.故选：C.11、D【解析】根据给定条件求出各餐馆总好评率，再比较大小作答.【详解】餐馆甲的总好评率为：，餐馆乙的总好评率为：，餐馆丙的好评率为：，餐馆丁的好评率为：，显然，所以餐馆丁的总好评率最高.故选：D12、A【解析】利用为定值即可获解.【详解】设则又,所以所以当且仅当,即,取等故选:A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、54【解析】由，利用裂项相消法求得，再由的定义求解.【详解】由已知可得：，，当时，，；当时，，；当时，，；当时，，；当时，；；所以.故答案为：54.14、2【解析】根据向量垂直与数量积的等价关系，，计算即可.【详解】因为，则其方向向量，，解得.故答案为：2.15、【解析】根据题干求得圆的圆心及半径，再利用圆与轴相切，与圆外切，且圆心在直线上确定圆的圆心及半径.【详解】圆的标准方程为，所以圆心，半径为由圆心在直线上，可设因为与轴相切，与圆外切，于是圆的半径为，从而，解得因此，圆的标准方程为故答案为：【点睛】判断两圆的位置关系常用几何法，即用两圆圆心距与两圆半径和与差之间的关系，一般不采用代数法．两圆相切注意讨论内切外切两种情况.16、【解析】首先将圆的方程配成标准式，即可得到圆心坐标与半径，从而可得点在圆内，即可得到过点的最长弦、最短弦弦长，即可求出四边形的面积；【详解】解：圆M：，即，圆心，半径，点，则，所以点在圆内，所以过点的最长弦，又，所以最短弦，所以故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1），；（2）.【解析】（1）根据等差数列的通项公式及已知条件，，解方程组可得，，进而可得等差数列的通项公式，再利用等差数列的前项和公式可得；（2）将数列的通项公式代入可得的通项公式，利用错位相减法求和可得结果.【详解】（1）设等差数列的首项为，公差为，由于，，所以，，解得，，所以，；（2）因为，所以，故，，两式相减得，所以.【点睛】本题的核心是考查错位相减求和.一般地，如果数列{an}是等差数列，{bn}是等比数列，求数列{an·bn}的前n项和时，可采用错位相减法求和，一般是和式两边同乘以等比数列{bn}的公比，然后作差求解.18、（1）见解析（2）见解析（3）【解析】（1）利用勾股定理证得，证明平面，根据线面垂直的性质证得，再根据线面垂直的判定定理即可得证；（2）取的中点，连接，可得为的中点，证明，四边形是平行四边形，可得，再根据面面平行的判定定理即可得证；（3）设，由（1）（2）可得即为平面与平面的距离，求出的长度，即可得解.【小问1详解】证明：在直三棱柱中，为的中点，，，故，因为，所以，又平面，平面，所以，又因，，所以平面，又平面，所以，又，所以平面；【小问2详解】证明：取的中点，连接，则为的中点，因为，，分别为，，的中点，所以，且，所以四边形是平行四边形，所以，所以，又平面，平面，所以平面，因为，所以，又平面，平面，所以平面，又因，平面，平面，所以平面平面；【小问3详解】设，因为平面，平面平面，所以平面，所以即为平面与平面的距离，因平面，所以，，所以，即平面与平面的距离为.19、（1）中位数为38.6，平均数为38.5岁；（2）.【解析】（1）由中位数分数据两边的频率相等，列方程求中位数；根据各组数据的中点数乘以频率即可得平均数；（2）由分层抽样确定从中各抽4人、2人，列举出随机选取2人的所有组合，得到恰有1人在的组合数，即可求概率.【详解】（1）中位数在中，设为，则，解得.平均数为岁.所以样本的中位数约为38.6，平均数为38.5岁.（2）根据分层抽样法，其中位于中的有4人，记为，，，；位于中的有2人，记为，.从6人中抽取2人，有，，，，，，，，，，，，，，，共15种情况，恰有1人在内的有，，，，，，，，共8种情况，∴恰有1人在内的概率为.【点睛】关键点点睛：由中位数的性质以及平均数与各组数据中点值、频率的关系求中位数、平均数；根据分层抽样确定各组选取人数，利用列举法求概率.20、（1）（2）或【解析】（1）结合点到直线的距离公式、弦长公式求得，由此求得圆的方程.（2）根据过的圆的切线的斜率是否存在进行分类讨论，结合点到直线的距离公式求得切线方程.【小问1详解】由题意，设圆的标准方程为：，圆关于直线对称，圆与轴相切：…①点到的距离为：，圆被直线截得的弦长为，，结合①有：，，又，，，圆的标准方程为：.【小问2详解】当直线的斜率不存在时，满足题意当直线的斜率存在时，设直线的斜率为，则方程为.又圆C的圆心为，半径，由，解得.所以直线方程为，即即直线的方程为或.21、【解析】分椭圆的焦点在轴上与焦点在轴上，两种情况讨论，利用待定系数法求出椭圆方程；【详解】解：（1）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为()，则又点C在椭圆上，得，解得，所以椭圆E的方程为（2）当椭圆的焦点在轴上时，设其方程为()，则又点C在椭圆上，得