模拟卷05（参考答案）

【赢在高考·黄金8卷】备战2025年高考数学模拟卷参考答案（考试时间：120分钟试卷满分：150分）第I卷（选择题）一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的。12345678DBACACBA二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分．在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求．全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分．。91011BDBCACD第II卷（非选择题）填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分。12. 13. 14.1四、解答题：本题共5小题，共77分，解答应写出必要的文字说明、证明过程及验算步骤。15．（13分）【答案】(1)(2)【分析】（1）利用正弦定理以及三角恒等变形求；（2）利用正弦定理将的范围转化为三角函数的值域求解.【详解】（1）由正弦定理得，，因为，所以，所以，则，因为，所以，所以，所以.（2）因为，则，因为,所以.所以.因为.所以.所以，所以.16．（15分）【答案】(1)(2)4或【分析】（1）利用抛物线的定义转化一个距离，则可用两点间距离线段最短得解；（2）利用方程组思想结合韦达定理，转化到坐标法来研究，即可得解.【详解】（1）设抛物线的焦点为，由抛物线的定义可得，则，当三点共线且点在线段上时，取得最小值，则，整理得，解得或，因为，所以，故的方程为.（2）设过点的直线.联立，消元得，则，由，得代入韦达定理得：化简得，得或.故的斜率为4或.17．（15分）【答案】(1)证明见详解(2)3(3)存在点满足题意，【分析】（1）先证明平面，再证明，即可得证；（2）求点到平面的距离即求点到平面的距离，利用三棱锥等体积法求解；（3）建立空间直角坐标系，利用向量法求解.【详解】（1）因为平面，平面，所以，又底面是正方形，则，且与是平面内两条相交直线，所以平面，平面，所以，又分别是的中点，所以，所以.（2）因为分别是的中点，所以，所以平面即是平面，由（1）知平面，则平面，平面，，则，设点到平面的距离为，由，得，即，解得，所以点到平面的距离为.（3）如图以为原点，为轴，可建立如图所示的空间直角坐标系，则，A2,0,0，，，，，，，设线段上存在点，使得与平面所成角的正弦值为，且，，，，设平面的一个法向量为n=a,b,c，则，即，令，得，，，整理得，解得或（舍），，即存在点使得直线与平面所成角的正弦值为，此时.18．（17分）【答案】(1)、(2)单调递减区间为，，单调递增区间为(3)证明见解析【分析】（1）求出函数的导函数，依题意可得，即可得到方程组，解得即可；（2）由（1）可得，求出函数的定义域与导函数，再解得关于导函数的不等式，即可求出函数的单调区间；（3）由（2）不妨设，则，则只需证明，即证，令，利用导数说明函数的单调性，即可得证.【详解】（1）因为，所以，因为函数在点处的切线方程为，所以，即，解得.（2）由（1）可得定义域为，则，因为，所以当或时，当时，所以的单调递减区间为，，单调递增区间为.（3）由（1）可得当时的单调递减区间为，单调递增区间为，则在处取得极小值，因为当时，存在常数，使得方程有两个不同的实数解，，即与有两个交点，则，不妨设，则，要证，即证，又，所以，因为在上单调递增，所以只需证明，又，则只需证明，令，则，令，，则，则在上单调递减，且，所以，所以，即在上单调递减，所以，即在上恒成立，所以在上恒成立，即在上恒成立，则.【点睛】方法点睛：导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．19．（17分）【答案】(1)；(2)证明见解析；(3)证明见解析.【分析】（1）由题意，即可直接写出；（2）由可得，结合可得，即可证明；（3）若且则，进而，由（2）可知，分类讨论、时与的大小关系，即可证明.【详解】（1）；（2）因为，所以，当时，，所以，即，，又因为，所以，所以，所以；（3）对任意，令，若且，则，所以，因为，所以，所以，所以.对，因为，由（2）可知，令，则.若，因为，所以，即，又因为，所以.若，则，所以.综上，即.【点睛】方法点睛：学生在理解相关新概念、新定义、新