2025版高考数学大一轮复习第七章不等式推理与证明75合情推理与演绎推理教案文含解析新人教A版

§7.5合情推理与演绎推理

最新考纲考情考向分析

以理解类比推理、归纳推理和演绎

1.了解合情推理的含义，能进行简洁的归纳推理和类比

推理的推理方法为主，常以演绎推

推理，体会并相识合情推理在数学发觉中的作用.

理的方法依据几个人的不同说法作

2.了解演绎推理的含义，驾驭演绎推理的“三段论”，

出推理推断进行命题.留意培育学

并能运用“三段论”进行一些简洁演绎推理.生的推理实力；在高考中以填空题

3.了解合情推理和演绎推理之间的联系和差异.的形式进行考查，属于中低档题.

基础知识自主学习

-------------------------------------------------回扣基础知识训练基础眩目--------------------------------------------------

r知识梳理

1.合情推理

'定义:根据一类事物的幽现象具有某种性质，

归纳推出这类事物的所，对象都具如这种性

A「

蒋推理质的推理.

推、特点:iii匿稣到二世,由具体到抽象

理'定义:根据两类不同事物之间具有某些差似返

类比］一致)性，推测其中一类事物具有与另一

推理类事物类似(或相同)的性质的推理.

、特点:由特殊到特殊

2.归纳推理的一般步骤

(1)通过视察个别状况发觉某些相同性质:

(2)从已知的相同性质中推出•个明确奏述的•般性命题(猜想个

3.类比推理的一般步骤

(1)找出两类事物之间的把像性或一样性.

(2)用一类事物的性质去推想另一类事物的性质，得出一个明确的命题(猜想).

4.演绎推理

由概念的定义或一些真命题，依照肯定的逻辑规则得到正确结论的过程，通常叫做演绎推

理..简言之，演绎推理是由一般到特别的推理.

5.“三段论”可表示为

①大前提：必是P;

②小前提:S是M

③结论：所以，S是/

【概念方法微思索】

1.合情推理所得结论肯定是正确的吗？

提示合情推理所得结论是猜想，不肯定正确，用演绎推理能够证明的猜想是正确的，否则

不正确.

2.合情推理对我们学习数学有什么帮助？

提示合情推理经常能帮助我们揣测和发觉结论，证明一个数学结论之前，合情推理经常能

为我们供应证明的思路和方向.

3.“三段论”是演绎推理的一般模式，包括大前提，小前提，结论，在用其进行推理时，大

前提是否可以省略？

提示大前提是已知的一般原理，当已知问题背景很清晰的时候，大前提可以省略.

「基础自测

题组一思索辨析

1.推断下列结论是否正确（请在括号中打“或“X”）

（1）归纳推理得到的结论不肯定正确，类比推理得到的结论肯定正确.（X）

（2）由平面三角形的性质推想空间四面体的性质，这是一种合情推理.（J）

（3）在类比时，平面中的三角形与空间中的平行六面体作为类比对象较为合适.（X）

⑷“全部3的倍数都是9的倍数，某数〃，是3的倍数，则/〃肯定是9的倍数”，这是三段论

推理，但其结论是错误的.（V）

⑸一个数列的前三项是1,2,3,那么这个数列的通项公式是4=〃（〃£N+）.（X）

（6）在演绎推理中，只要符合演绎推理的形式，结论就肯定正确.（X）

题组二教材改编

2.已知在数列｛a”｝中，z?i=l,当〃22时，/=4_1+2〃-1,依次计算加，as,国后，猜想

为的表达式是（）

A.a=3〃-1B.a=4〃­3

C.cln=nD.cln=3r1—1

答案c

解析&=a+3=4,43=为+5=9,ai=ai+7=16,a\=V,&=2、&=3\2=4、猜想必

=n2

3.在等差数列｛a｝中，若a】o=0,则有a+斑+…+&=&+&+…+a9-"(/X19,〃wN+)成

立，类比上述性质，在等比数列｛4｝中，若勿=1,则存在的等式为.

答案以加••〃,=/?也…儿-〃(水17,〃£N+)

解析利用类比推理，借助等比数列的性质，

氏=以+”,b\l-ni

可知存在的等式为队左…4=6也…加一(水17,〃£N+).

题组三易错自纠

4.正弦函数是奇函数，F(x)=sin(x2+1)是正弦函数，因此FG)=sin(y+l)是奇函数，以

上推理()

A.结论正确B.大前提不正确

C.小前提不正确1).全不正确

答案C

解析F(x)=sin(/+1)不是正弦函数，所以小前提错误.

5.类比平面内“垂直于同一条直线的两条直线相互平行”的性质，可得出空间内的下列结论；

①垂直于同一个平面的两条直线相互平行；

②垂直于同一条直线的两条直线相互平行；

③垂直于同一个平面的两个平面相互平行；

④垂直于同一条直线的两个平面相.互平行.

则正确的结论是.(填序号)

答案①④

解析明显①④正确；对于②，在空间中垂直于同一条直线的两条直线可以平行，也可以异

面或相交：对于③，在空间中垂直于同一个平面的两个平面可以平行，也可以相交.

6.视察下列关系式：l+《=l+x：(1+>)221+2X,(1+*)321+3X,……，由此规律，

得到的第〃个关系式为.

答案(l+x)"21+〃x

解析左边为等比数列，右边为等差数列，所以第〃个关系式为(l+x)”21+〃x(〃£N+).

题型分类深度剖析

------------------------------------------真题典题深度剖析西点难点多维探究-------------------------------------------

多;维

题型一归纳推理探‘究

命题点1与数式有关的的推理

例1（1）（2024•抚顺模拟）《周易》历来被人们视为儒家经典之首，它表现了古代中华民族对

万事万物的深刻而又朴实的相识，是中华人文文化的基础，它反映了中国古代的二进制计数

的思想方法.我们用近代术语说明为：把阳爻“一”当做数字“1”，把阴爻当

做数字“0”，则八卦代表的数表示如下:

卦名符号表示的二进制数表示的十进制数

坤0000

震==0011

坎0102

兑0113

以此类推，则六十四卦中的“屯”卦，符号“公”表示的十进制数是（）

A.18B.17C.161).15

答案B

解析由题意类推，可知六十四卦中的“屯”卦符号“”表示二进制数的010001,转

化为十进制数的计算为1X2O+0X21+0X224-0X23+1X24+0X25=17,故选B.

（2）视察下列式子：1+JW，i+j+j+jq,…，依据以上式子可以猜想：1

+"畀…+/<

…4035

口案2024

解析由题意得，不等式右边分数的分母是左边最终一个分数的分母的底数，所以猜想的分

母是2024,分子组成了一个以3为首项，2为公差的等差数列，所以遢必=3+（2024—1）X2

=4035.

命题点2与图形改变有关的推理

例2（2024•呼和浩特模拟）分形理论是当今世界非常风靡和活跃的新理论、新学科.其中,

把部分与整体以某种方式相像的形体称为分形.分形是一种具有自相像特性的现象、图象或

者物理过程.标准的自相像分形是数学上的抽象，迭代生成无限精细的结构.也就是说，在

分形中，每一组成部分都在特征上和整体相像，只仅仅是变小了一些而已，谢尔宾斯基三角

形就是一种典型的分形，是由波兰数学家谢尔宾斯基在1915年提出的，依据如卜规律依次在

一个黑色三角形内去掉小三角形，则当/?=6时，该黑色三角形内去掠小三角形个数为（）

〃=1〃=2，i=3

A.81B.121

C.364D.1093

答案C

解析由图可知，每一个图形中小三角形的个数等干前一个图形小三角形个数的3倍加1.

所以，/7=1时，d=1；

〃=2时，&2=3+1=4；

〃=3时，^=3X4+1=13；

〃=4时，2=3X13+1=40；

〃=5时，曲=3X40+1=121；

〃=6时，彘=3X121+1=364,故选C.

思维升华归纳推理问题的常见类型及解题策略

(1)与数字有关的等式的推理.视察数字特点，找出等式左右两侧的规律及符号可解.

(2)与式子有关的推理.视察每个式子的特点，留意是纵向看，找到规律后可解.

(3)与图形改变有关的推理.合理利用特别图形归纳推理得出结论，并用赋值检验法验证其真

伪性.

跟踪训练1某种树的分枝生长规律如图所示，第1年到第5年的分枝数分别为1,1,2,3,

5,则预料第10年树的分枝数为()

第】年第2年第3年第4年第5年

A.21B.34C.52D.55

答案D

解析由2=1+1,3=1+2,5=2+3知，从第三项起，每一项都等于前两项的和，则第6

年为8,第7年为13,第8年为21,第9年为34,第10年为55,故选D.

题型二类比推理...一师生共研

例3⑴已知｛8｝为等差数列，a.oio=5,a+检+&+…+-4=5X2024.若=”｝为等比数列,

加IG=5,则｛4｝类似的结论是()

A.打+灰+庆+…+a24=5X2024

B.6金占…b”2i=5X2024

C.打+5+匕1+・・・+5必=5""

D.D/为…&=5?期

答案1）

解析在等差数列｛4｝中，令5=<31+续+曲+…+怂024，

则S=⑥24+<92024+的24H---F句，

25=（a+的2i）+（生+的”）+（徐+2必）+…+（斑02i+e）=2024（ai+azo2i）

=2024X2句so=lOX2O24,

:.S=国+a+&H---Fa2024=5X2024.

在等比数列｛4｝中,令7=仄必列…34,

则T—坛21bz侬b202A…b\,

•»f—（b\bl（）2\）（b>Z>JD2«）（biZ^024）••,（坛2心）=（腕10）

:.T=b'thbwb'2A=（Zhdio）2（2^=^2\

⑵如图（1）所示，点。是△4%'内随意一点，连接力。no,CO,并延长交对边于4,A,G,

则粤+缁+%=匕类比猜想：点“是空间四面体仆筋内的随意一点，如图（2）所示，连

AA\DD\CLi

接VO,BO,CO,〃。并延长分别交面BCD,VCD,VBD,限7于点匕，8,G,〃，则有

⑴

答案如+竺+竺+丝=]

c*WxBBxCCxDIK

解析利用类比推理，猜想应有黑+嗡+劣+黑=1.

VV\DD\CC1DLf\

用“体积法”证明如下:

。匕08]0C\0D\__Vo-scbVa-va>.Vo-m.VO-\BC__VJBCO

1.

W\BB\CC\DD\Vv-BCDVlt-vcoVc-VBDk械•

思维升华类比推理常见的情形有：平面与空间类比；低维与高维类比：等差与等比数列类比;

运算类比（加与乘，乘与乘方，减与除，除与开方）.数的运算与向量运算类比；圆锥曲线间

的类比等.

跟踪训练2在平面上，设瓦，瓜,加是△力比三条边上的高，P为三角形内任一点，产到相应

三边的距高分别为2,A,P,,我们可以得到结论：g+g+2=l•把它类比到空间中，则三

hhnc

棱锥中的类似结论为

ip.\Pb\p,\Pd,

答案74-7+7+7=1

"ht,nehd

解析设无”hh,k,九分别是三棱锥力一次力四个面上的高，尸为三棱锥/1一匐?内任一点,

尸到相应四个面的距离分别为月，R’,凡必于是可以得出结论：方（+£+今=1•

题型三演绎推理——一^师生共研

〃十。

例4数列｛&｝的前n项和记为S”已知&=1,&+产一U$（〃£N）.证明：

（1）数歹是等比数列；

（2）SrH=4&.

=

证明（1）:d什IS+1—Sr%+1—Sn9

n

・・・（〃+2）S=〃（S+L$）,即〃5HT=2（〃+1）S.

.S+】Sn

••闲=2•卞

c

又;=1WO,（小前提）

故｛才是以1为首项，2为公比的等比数列.（结论）

（大前提是等比数列的定义，这里省略了）

（2）由（1）可知书、=4•R（〃22）,

〃+1/7—1

.巾/।八ST〃-1+2

••5L+i=44（〃+1）•7=4*i*5/）-1

n~1n~1

=4&（〃22）,（小前提）

又&=3S=3,$=句+/=1+3=4=4团，（小前提）

・••对于随意正整数n,都有S+i=4a.（结论）

（第（2）问的大前提是第（1）问的结论以及题中的已知条件）

思维升华演绎推理是从一-般到特别的推理；其一般形式是三段论，应用三段论解决问题，应

当首先明确什么是大前提和小前提，若前提是明显的，则可以省略.

跟踪训练3某市为了缓解交通压力，实行机动车辆限行政策，每辆机动车每周一到周五都要

限行一天，周末（周六和周日）不限行.某公司有1B,C,D,6五辆车，保证每天至少有四

辆车可以上路行驶.已知£车周四限行，夕车昨天限行，从今日算起，力，C两车连续四天都

能上路行驶，少车明天可以上路，由此可知下列推想肯定正确的是（）

A.今日是周六B.今日是周四

C.力车周三限行I).。车周五限行

答案B

解析因为每天至少有四辆车可以上路行驶，£车明天可以上路，£车周四限行，所以今日不

是周三；因为〃车昨天限行，所以今日不是周一，不是周五，也不是周日；因为小。两车连

续四天都能上路行驶，所以今日不是周二和周六，所以今FI是周四.故选B.

课时作业

V基础保分练

1.“对数函数是非奇非偶函数，数力=10g2|>|是对数函数,因此**)=1密3是非奇非偶

函数”，以上推理()

A.结论正确B.大前提错误

C.小前提错误D.推理形式错误

答案C

解析本命题的小前提是/'(x)=log21x|是对数函数，但是这个小前提是错误的，因为f(x)

=log」川不是对数函数，它是一个复合函数，只有形如z=log.x(a>0且a#1)的才是对数函

数.故选C.

2.中国古代十进位制的算筹记数法在世界数学史上是一个宏大的创建.据史料推想，算筹最

晚出现在春秋晚期战国初年.算筹记数的方法是：个位、百位、万位…的数按纵式的数码摆

出；十位、千位、十万位…的数按横式的数码摆出，如7738可用算筹表示为=LT三IT.

纵式IIIIIIIlliHillTT¥T

横式—====-LJ===

1234567«9

1〜9这9个数字的纵式与横式的表示数码如上图所示，则3咋2M的运算结果可用算筹表示为

()

II=III1II=¥=TT=>

ABCD

答案D

解析依据题意，3啕a=36=729,

用算筹记数表示为可=nr,故选D.

3.下列推理是归纳推理的是()

A.J/,N为定点，动点户满意|例一|网|=2水|4M(a0),则动点U的轨迹是以M4为焦

点的双曲线

B.由8=2,&=3〃-1求出S,S,£,猜想出数列｛&：,的前〃项和S,的表达式

C.由圆/+/=/的面积S=H猜想出椭圆2+6=1的面积S=Hab

ab

D.科学家利用鱼的沉浮原理制造潜水艇

答案B

解析A选项用的双曲线的定义进行推理，不符合要求.B选项依据前3个S,S,S的值，

猜想出S,的表达式，属于归纳推理，符合要求.C选项由圆/+/二/2的面积s=71r2,猜想

22

出椭圆4+5=1的面积S=Jia尻用的是类比推理，不符合要求.D选项用的是演绎推理，

aD

不符合要求.故选B.

4.视察下列等式，13+23=32,134-234-33=62,13+23+334-43=102.

依据上述规律，/+23+33+43+6+63等于()

A.192B.202c.212D.222

答案C

解析因为13+23=32,13+234-33=62,

13+23+33+43=102,等式的右端依次为

(1+2))(1+2+3)2,(1+2+3+4)、

所以l34-23+33+4:,+5:i+63=(14-2+3+44-5+6)2=21\故选C.

5.天干地支纪年法源于中国，中国自古便有十天干与十二地支.十天干即甲、乙、丙、丁、

戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天

干地支纪年法是按依次以一个天干和一个地支相配，排列起来，天干在前，地支在后，天干

由“甲”起，地支由“子”起，例如，第一年为“甲子”，其次年为“乙丑”，第三年为“丙

寅”，…，以此类推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新起先，即“甲戌”，“乙亥”，

然后地支回到“子”重新起先，即“丙子”，以此类推.已知1949年为“己丑”年，那么到

中华人民共和国成立80年时为()

A.丙酉年B.戊申年C.己申年D.己酉年

答案D

解析天干是以10为公差的等差数列，地支是以12为公差的等差数列，

从1949年到2029年经过30年，月.1949年为“己丑”年，以1949年的天干和地支分另J为首

项，则80+10=8,则2029的天干为己，80・12=6余8,则2029的地支为西，故选D.

6.甲、乙、丙、丁四名同学一起去向老师询问数学学业水平考试成果等级.老师说：“你们

四人中有2人力等，1人△等，1人C等，我现在给甲看乙、丙的成果等级，给乙看丙的成果

等级，给丙看丁的成果等级”.看后甲对大家说：“我知道我的成果等级了”.依据以上信

息，贝心)

A.甲、乙的成果等级相同

B.丁可以知道四人的成果等级

C.乙、丙的成果等级相同

D.乙可以知道四人的成果等级

答案D

解析由题意，四个人所知的只有自己看到的，以及甲最终所说的话，

甲知道自己的等级，则甲已经知道四个人等级，其甲、乙的成果等级不肯定是相同的，

所以A是不对的，乙、丙的成果等级不肯定是相同的，所以C是不正确的，

丁没有看任何人的成果等级，所以丁不行能知道四人的成果等级，所以B是不对的，

只有乙可能知道四人的成果等级，所以D是正确的.

7.在等差数列｛&,｝中，若公差为&且d=4那么有&+%=&-〃，类比上述性质，写出在

等比数列6,中类似的性质：.

答案在等比数列｛4｝中，若公比为s且则儿・儿="”

解析等差数列中两项之和类比等比数列中两项之积，故在等比数列中，类似的性质是“在

等比数列3”｝中，若公比为q＞且仇=4，则Av•bn=hzn.”

8.视察下列等式：

1=1

2+3+4=9

3+4+5+6+7=25

4+5+6+7+8+9+10=49

照此规律，第〃个等式为.

答案〃+(〃+1)+(〃+2)+…+(3〃-2)=(2/7-

解析由前4个等式可知，第〃个等式的左边第一个数为〃，且连续2〃一1个整数相加，右

边为(2〃一11，故第〃个等式为

〃+(/?+1)+(〃+2)+…+(3〃-2)=(2〃一1尸.

9.已知土，Q3,若/i(x)=f(x),&H(X)=F(£(X)),〃£N+,则&%(才)的表达

式为________.

X

答案及必(X)=]+2024.Y

XX

解析f\(A)=]+,6(4)==]+，，△(*)="=]+3，…,£+1(*)=f{fn{x})

1+w*1+武、,

归纳可得&24(x)=1।ono1"•

1I

10.如图所示，在平面上，用一条直线截正方形的一个角，截下的是一个直角三角形，有勾股

定理/=/+沅空间中的正方体，用一平面去截正方体的一角，截下的是一个三条侧棱两两

垂直的三棱锥，若这三个两两垂直的侧面的面积分别为S,S,£,截面面积为S,类比平面

的结论有.

答案

解析三角形类比空间中的三棱锥，线段的长度类比图形的面积，于是作出猜想：«=e+

s+6.

ii.《聊斋志异》中有这样一首诗：“挑水砍柴不堪苦，请归但求穿墙术.得诀自诩无所阻,

额上坟起终不悟.”在这里，我们称形如以下形式的等式具有“穿墙术”：

答案63

12.“中国剩余定理”又称“孙子定理”.1852年英国来华传教伟烈亚利将《孙子算经》中

“物不知数”问题的解法传至欧洲，1874年，英国数学家马西森指出此法符合1801年由高

斯得出的关于同余式解法的一般性定理，因而西方称之为“中国剩余定理”.“中国剩余定

理”讲的是一个关于整除的问题，现有这样一个整除问题：将2至2024这2024个整数中能

被2除余1且被3除余1的数按由小到大的依次排成一列，构成数列{3},则此数列的项数

为________.

答案336

解析因为这些整数能被2除余1且被3除余1,

所以这些数组成的数列的通项分=6〃+1,

设6〃+lW2024,所以6〃W2024,所以〃W336』.

O

所以此数列的项数为336.

▽技能提升练

13.一质点从坐标原点动身，按如图的运动轨迹运动，每步运动•个单位，例如第3步结束

时该质点所在位置的坐标为(0,1),第4步结束时质点所在位置的坐标为(-1,1),那么第

2024步结束时该质点所在位置的坐标为________.

答案(16,-22)

解析当运动：1+1+2+2步时，坐标为(-1,-1)；

当运动：1+1+2+2+3+3+4+4步时，坐标为(-2,-2)；

当运动：1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6步时，坐标为(一3,—3)；

当运动：1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+…+力+〃(〃为偶数)步时，

坐标为卜£阊.

而1+1+2+2+3+3+4+4+5+5+6+6+…+〃+〃W2024,

即/?(/?+l)W2024(〃£N-),解得〃W44.

当〃=44时,，该点的坐标为(-22,-22),共走了198()步，此时还需向右走38步，故最终

坐标为(16,-22).

14.为了提高信息在传输中的抗干扰实力，通常在原信息中按肯定规则加入相关数据组成传

输信息.设原信息为。心功,传输信息为％222儿，其中方="6，h-K4,运算规则

为：00=0,01=1,10=1,11=0.例如：原信息为111,则传输信息为01111.传输

信息在传输过程中受到干扰可能导致接收信息出错，则下列接收信息出错的是（）

A.01100B.11010C.10110D.11000

答案1）

解析A选项原信息为11。，则方=国电=11=0,hz=h\&=00=0,所以传输信息为

01100,A选项正确;

B选项原信息为101,则/a=a企=1()=1,hi=hi53=11=0,所以传输信息为11010,

B选项正确;

C选项原信息为011,则力产&a2=01=1,方2=力1a=11=0,所以传输信息为10110,

c选项正确;

D选项原信息为100,则力|=国az=\0=1,hz=hi&=10=1,所以传输信息为11001,

D选项错误:

故选D.

力拓展冲刺练

15.如图，有一个六边形的点阵，它的中心是1个点（算第1层），第2层每边有2个点，第3层

每边有3个点，…，依此类推，假如一个六边形点阵共有169个点，那么它的层数为（）

八一八

外叁：・4