勾股定理的常规应用

17.1.2勾股定理的常规应用

一、单选题

1.(2021•四川省巴中八年级期中)有下列各组数：①3,4,5；②62,82,102；③0.5,1.2,1.3；④1,

G，值.其中勾股数有O

A.1组B.2组C.3组D.4组

【答案】A

【分析】

欲判断是否为勾股数，必须根据勾股数是正整数，同时还需验证两小边的平方和是否等于最长边的平方.

【详解】

解：①32+42=52,三边是整数，同时能构成直角三角形，故为名股数；

2

(2)(6)2+(82)20(102)2,不能构成直角三角形，故不为勾反数；

③0.5,1.2,L3二边不是正整数,故不为勾股数；

④1,石，庭,三边不是正整数，故不为勾股数；

故其中勾股数有1组.

故选:4

【点睛】

本题考查了勾股数的定义，及勾股定理的逆定理：已知△ABC的三边满足屋+》242,则AABC是直角三角形.

2.(2021•河南郑县•八年级期中)下列五组数:①4、5、6；②0.6、0.8、1；③7、4、25；④8、15、17；

⑤9、40、41,其中是勾股数的组数为()

A.2B.3C.4D.5

【答案】A

【分析】

满足。2+〃=c2的三个正整数，称为勾股数.欲判断是否为勾股数，必须根据两小边的平方和是否等于最长

边的平方，从而得出答案.

【详解】

解：042+52#62,故不是勾股数；

②0.6、0.8、1不都是正整数，故不是勾股数；

③72+420252,故不是勾股数；

(4)32+152=172,故是勾股数；

⑤92+402=4",故是勾股数；

其中勾股数有2组，

故选:A.

【点睛】

本题考查了勾股数的概念，熟练掌握勾股数的定义是解本题的关键.

3.（2021•福建三元•八年级期中）如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中S,=4,

SB=2,S,=2,5D=1,IjliJ5=（）

A.25B.20C.9D.5

【答案】C

【分析】

根据正方形的性质和勾股定理的几何意义解答即可.

【详解】

根据勾股定理的几何意义，可知：

S=5F+5G

=SA+S8+SC+SO

=4+2+2+1=9

故选：C.

【点睛】

本题考查了正方形的性质、勾股定理的几何意义，关键是掌握直角三角形的两直角边的平方和等于斜边的

平方.

4.（2021•辽宁沈阳•八年级期中）有一个面积为1的正方形，经过一次“生长”后，在它的左右肩上生出两个

小正方形（如图①），其中，三个正方形围成的三角形是直角三角形，再经过一次“生长”后，生出了4个正

方形（如图②），如果按此规律继续“生长〃下去，那么它将变得“枝繁叶茂在"生长”了2021次后形成的图

形中所有正方形的面积和是（）

A.2019B.2020C.2021D.2022

【答案】D

【分析】

根据勾股定理和正方形的面积公式，知“生长”1次后，以直角三角形两条直角边为边长的正方形的面积和等

于以斜边为边长的正方形的面积，即所有正方形的面积和是2x1=2；“生长〃2次后，所有的正方形的面积和

是3x1=3,推而广之即可求出“生长”2021次后形成图形中所有正方形的面积之和.

【详解】

解：设直角三角形的是三条边分别是。，b,c.

根据勾股定理，得/+〃=〃，

即正方形4的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1.

同理：正方形D的面积+正方形E的面积+正方形F的面积+正方形G的面积

=正方形A的面积+正方形B的面积=正方形C的面积=1.

推而广之，"生长”了2021次后形成的图形中所有的正方形的面积和是2022x1=2022.

故选D.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用，其中能够根据勾股定理发现每•次得到的新的正方形的面积和与原正方形的

面积之间的关系是解本题的关键.

5.（2021•浙江•温州市南浦实验八年级期中）如图,在RSA8C中,ZACB=90°,分别以4B,BC,AC为边

向外作三个正方形，已知其中两个正方形面积分别为25,169,则正方形M的面积为（）

A.100B.144C.154D.194

【答案】B

【分析】

根据勾股定理和正方形的面积公式即可得到结论.

【详解】

解：在Rt"8C中，NACB=90。，

：.AC2=AB2-8c2=169-25=144,

，正方形M的面积为144,

故选：B.

【点睛】

本题考查了勾股定理，止方形的面积，熟练掌握勾股定理是解题的关键.

6.（2021•浙江•临海市西湖双语实验八年级期中）如图，在8c中，N4CB=90。，以A8,AC,8c为边

作等边△48。，等边ZkACE,等边ACBF.设的面积为Si,zUBC的面积为52,△BFG的面积为53,四边

形DHCG的面枳为54,则卜列结论正确的是（）

A.$2=51+53+54B.51+52=53+54

D

【点睛】

此戏考查了勾股定理的应用，等边三角形的性质，熟记勾股定理的应用方法是解题的关键.

7.(2021•浙江瑞安•八年级期中)如图，在R5A8C中，已知N/8C=RtN,以AC为直角边向外作

(/C4D=RtN),分别以48,BC.CD,为直径向外作半圆，面积分别记为Si,S2,S3,S4,已知Si=3,

52=1,53=7,则S4为()

A.2B.3C.5->/3D.6-2石

【答案】B

【分析】

以AB,BC,CD,。八为直径向外作半圆的面积分别为Si,S2,S3,54,再分别表示Si，S2,S3,S4,结合

2222

AB+BC=AC=CD-AD\可得S1+S2=S3-S4,从而可得答案.

【详解】

解：・・♦以A8,BC,CD,DA为直径向外作半圆的面积分别为51,S2,S3,S4,

总礴AB=»AB。

222

5,+S2=-pAB+-pBC=-p（AB+8C）,

888''

5-S二pC0-^pAD2=|p（CD2-AD2],

oo8'，

■:NA8c=NGAD=90°,

...AB-+BC2=AC2=CD2-AD\

.〃（6+对）="p（CQ2一AD2

/.51+52—S3•S4,

***Si=3,Sz=l,5s=7,

.*.3+1=7-54,

，S4=3,

故选:B.

【点睛】

本题考查的是勾股定理的应用，利用勾股定理建立面积之间的关系是解题的关键.

8.(2021•江苏祁江•八年级期中)如图，已知1号、4号两个正方形的面积和为10,2号、3号两个正方形

的面积和为8,则a,b,c三个正方形的面积和为()

A.18B.26C.28D.34

【答案】B

【分^5】

由图可以得到。、b、c三个正方形的面积与1号、2号、3号、4号正方形的面积之间的关系，再根据1号、

4号两个正方形的面积和为10,2号、3号两个正方形的面积和为8,可以求得a,b,c二个正方形的面积

的和.

【详解】

解：解：如下图所示，

•・•ZAC8+NQC£=90。，N4CB+NC4B=90。，

・•.ZBAC=ZECD,

/A/TC=NCEO=90。

在4ABe和ACED中N8AC=/ECD

AC=CD

.•・AABC^CED(AAS),

:.BC=DE,

•:AB2+BC-=AC2，

***A+s?=s”,

同理可证,5；+邑=邑，S#S4=S,,

・•.Sa+Sb+Sc=S}+S2+S2+S3+S3+S4,

•・・$+S4=l(),S,+S3=8,

:.Sa+Sh+S(.=S,+S2+S2+S3+S3+S4=(S,+S4)+(S,+S3)+(S2+S3)=10+8+8=26,

故选B.

【点睛】

本题考查了学生对勾股定理的理解，解题的关键是把握图形面积之间的关系.

9.(2021•浙江金华•八年级期中)小李同学在学习“2.7探索勾股定理〃时发现，公式片+从二。?中的/、/、

，可以看成以〃、b、c为边的正方形面积，利用面积之间的等量关系SaS2=Su验证了勾股定理，他对

这个发现进一步进行思考，如果分别以这三边向外构造等边三角形、等腰直角三角形、等腰三角形(〃、〃、

C为底)、半圆，其中不满足豆+邑=，这;个关系的是()

,争

【分析】

分别求出每一个选项的岳，邑，臬，然后进行判断即可.

【详解】

解：如图所示，三角形ABC是等边三角形，8D是AC上的高,

:.AD=-AB=-AC,

22

，BD=ylAB2-AD2=—AB,

2

]c

i

-S^BC=-ACBD=^-AB

A.：.S=—AB-,S产旦BC\S,=­AC2,

'4-434

•/AB2+BC2=AC2,

222

:.，+S2=^-(AB+BC)=^-AC=S,，故A选项不符合题意；

B、•人B=S2=；BCBC=；BC?,S.=^AC-AC=^AC2,

*/AB2+BC2=AC2,

222

・・・S^S2=^{AB+I3C)=^AC=S.,故B选项不符合题意；

JJ

C、•••等腰三角形的面积=底、高，设面积为5的三角形48边上的高为4,设面积为邑的三角形8C边上的高

为外，设面枳为邑的三角形4C边上的高为小，

：.S=^ABhlfS【二；BCk，S产：4。小，

•・•无法确定力-4,。的值,

...不能得到S+&=S-故C选项不符合题意：

222

D、Si=^ABAI3=^AB,S2=^BCBC=^BC,S,=^AC-AC=^7rAC,

•・•AB2+BC2=AC~，

22

・•・4+S2=；MAB?+BC)=^AC=Sy,故D选项不符合题意；

故选c.

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，解题的关键在于能够熟练掌握勾股定理.

10.(2021•浙江龙湾•八年级期中)如图所示的2x4的正方形网格中，△ABC的顶点都在小正方形的格点上，

这样的三角形称为格点三角形，则点4到8c的距离等于()

All42

-五B.2&C.而D.而

【答案】C

【分析】

过点4作AD_LBC于D,由网格特征和勾股定理可得，8c的长，再利

SE=；BCXAD=SMECF—S：M—SABEC—S:C即可求解•

【详解】

解：如图：过点4作AO_L8c于0,

由网格特征和勾股定理可得，BC2=12+32=1（）,

,•*S“8C=~BC*AD,

：.-BC»AD=2t

2

4

••/°=而

故选:C

【点睛】

本题考查了三角形面积的求法，结合网格的特点求出三角形的面积是解题关键.

11.（2021•山西•忻州现代双语八在级期中）公元3世纪切，中国古代书学家赵爽注《周牌算经》时，创适

了"赵爽弦图”如图.勾。=3,弦c=5,则小正方形ABCD的面积为（）

A.1B.3C.4D.9

【答案】A

【分析】

应用勾股定理和正方形的面积公式可求解.

【详解】

•.•勾。=3,弦c=5,

・••股b=F于=4，

・♦.小正方形的边长=4-3=1,

:,小正方形的面积=1x1=1

故选：A.

【点睛】

本题运用了勾股定理和正方形的面枳公式，关键是运用了数形结合的数学思想.

12.（2021•山东省文登第二八年级期中）如图是由4个全等的直角三角形与1个小正方形拼成的正方形图

案.已知人正方形面积为25,小正方形面积为1,若用a、b表示直角三角形的两直角边（〃>〃），则下列

说法：®a2+Z?2=25»②a-b=l,（3）ab=12,@a+b=7.

A.①②B.①②③C.①②④D.①②③④

【答案】D

【分析】

根据正方形的性质、直角三角形的性质、直角三角形的面积的计算公式以及勾股定理按顺序判断即可.

【详解】

如图，

①•••△AAC为直角三角形，

=6=25,

故①正确：

②由图可知：a-b=CD=y/\=\.

故②正确；

③由图可知：四个直角三角形与小正方形面积之和等于大正方形面积，

由此可得：4x-a%+l=25,即：2a〃+l=25,

2

故③正确；

④•.•/+/=25,ab=12,

cr+b2+2ab=49,

即+=49,

故〃+〃=7,

故④正确；

故选：D.

【点睛】

本题考杳了勾股定理及正方形和三角形的边的关系，此图被称为弦图，熟悉勾股定理并认清图中的关系是

解答本题的关键.

13.（2021•河南郑州•八年级期中）如图1是我国古代著名的“赵爽弦图〃的示意图，它是由四个全等的直角三

角形围成的.若AC=6,8c=5,将四个直角三角形中边长为6的直角边分别向外延长一倍，得到如图2所

示的“数学风车〃，则这个风车的外围周长是（）

A.36B.76C.66D.12

【答案】B

【分

由题意N4C8为直角，利用勾股定理求得外围中一条边，又由AC延伸一倍，从而求得风车的一个轮子，进

一步求得四个.

【详解】

解：依题意，设"数学风车"中的四个直角三角形的斜边长为X,则

X2=122+52=169,

所以x=13,

所以这个风车的外围周长是：(13+6)x4=76.

故选:B.

【点睛】

此题考查了勾股定理的证明，本题是勾股定理在实际情况中的应用，并注意隐含的已知条件来解答此类题.

二、填空题

14.(2021・陕西长安•八年级期中)在平面直角坐标系中，A(4,0),8(-1,5),点48之间的距离是—.

【答案】5&

【分析】

根据平面直角坐标系中两点之间的距离公式即可求解.

【详解】

解：•:A(4,0),B(-1,5),

+(0-5)2=5及,

，点48之间的距离是5五，

故答案为：50.

【点睛】

此超主要考查坐标与图形、勾股定理的运用，解题的关键是熟知两点坐标的距离公式.

15.(2021•山东中区•八年级期中)如图，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角三角形，其中

最大的正方形的边长为8cm,正方形A的面积是11cm,3的面积是lOcn?,C的面积是1女nf,则。的面积

为•

【答案】30cm2

【分析】

由题意根据正方形的面积公式，运用勾股定理可以证明四个小正方形的面积和等于最大正方形的面积64,

由此即可解决问题.

【详解】

解：如图标记图中三个正方形分别为P、Q、M.

D

B

Q根据勾股定理得到：c与。的面积的和是P的面枳；八与8的面积的和是Q的

8

面积；而P,Q的面积的和是M的面积.即4、8、C、。的面积之和为M的面积.,•,何的面积是82=64./,

••"、8、C、。的面积之和为64,是正方形。的面积为x,・・・10+ll+13+x=64,・・・x=30,即。的面积为30cm

故答案为：30cm2.

【点睛】

本题考查了勾股定理的应用.观察并能够发现正方形4B,C,D的边长正好是两个直角三角形的四条直角

边，根据勾股定理最终能够证明正方形4B,C,。的面积和即是最大正方形的面积.

16.(2021•山西忻州现代双语八七级期中)观察下列各组勾股数

(1)3,4.5

(2)5,12,13；

(3)7,24,25：

(4)9,40,41

照此规律，将第〃组勾股数按从小到大的顺序排列，排在中间的数，用含〃的代数式可表示为

【答案】2"+2〃

【分析】

观察数据，题中数据第二个数和第三个数是连续的，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第〃个为：2〃+1,

根据完全平方公式展开即可求得中间的数.

【详解】

解：观察数据可知，第一个数是从3开始的连续的奇数，则第〃个为：2〃+1,

•••32=4+5,

52=12+13，72=24+25,92=40+41……，则第〃组勾股数为（2〃+=4/+4〃+1

设中间的数为工，则第三个数为％+1,

2

即2x+1=4n+4/2+1=2（21+2〃）+1

即中间的数为27+2〃

故答案为：2〃,+2〃

【点睛】

本题考查了数字类找规律，勾股数，整式的乘法运算，找到规律是解题的关键.

17.（2021•浙江•杭州市十教育集团（总校）八年级期中）如图，分别以R548C三边构造三个正方形，面积

分别为51,52,S3,若5尸15,53=39,则$2=•

【答案】24

【分析】

根据正方形的面积公式结合勾股定理就可发现大正方形的面积是两个小正方形的面积和，即可得出答案.

【详解】

解：由勾股定理得：AC2-^-BC2=AB2,

:.S3=S2+S1，

/.S2=S3-S1=39-15=24.

故答案是:24.

【点睛】

本题主要考查勾股定理，掌握直角三角形斜边的平方等于直角边的平方和，是解题的关犍.

18.（2021•四川省渠县八年级期中）如图所示的图形中，所有的四边形都是正方形，所有的三角形都是直角

三角形，其中最大的正方形的边长为7cm,则正方形4B,C,。的面积和是—cm2.

【答案】49

【分析】

如图，正方形48的面积和等于正方形C,。的面积和等于S3，51+S3=52=49,

【详解】

如图，设正方形4B,C,D的边长分别为。力Cd,设标有S，S3的两个正方形的边长为乂儿

根据勾股定理可得/+〃=，=x\c2+d2=S3=J

22

贝ljx+V=S2=7=49

故答案为：49

【点睛】

此题考查勾股定理，解题关键在于勾股定理结合正方形面积的运用.

19.（2021•山西•忻州现代双语八年级期中）如图，以Rt4A8C的两条直角边为边长作两个正方形，面积分别

为9和16,则斜边AC=—.

【答案】5

【分析】

利用勾股定理求出4c的长即可.

【详解】

解：由题意可得482=9,8c2=16,

:在中,AB2-^BC2=AC2,即9+16=AC2,

AZC2=25.

：.AC=S（・5舍去）.

故答案是：5.

【点睛】

本题考查了直角三角形的勾股定理.熟记勾股定理的内容是解决本题的关键.

20.（2021•河南汝州•八年级期中）如图，分别以等腰RJACD的边AD,AC,C。为直径画半圆，若4。的长

为2,则两个月形图案AGCE和。，CF（图中阴影部分）的面积之和为一.

【答案】1

【分析】

根据勾股定理分析计算即可;

【详解】

•・•Z\AC。是直角三角形,

/.AC2+CD2=AD2,

•・•以等腰R3ACD的边AD,AC,CD为直径画半圆,

•*,=2^*4,

11,

s半犯卬乃qAc~,

S半粒CFD=2万彳CD-,

:，S半阴AC7）=S半IWAEC+S芈MCE），

，所得两个月型图案AGCE和DHCF的面积之和=Rf"CD的面积=1x2x|=l；

故答案是L

【点睛】

本题主要考查了勾股定理的应用，准确计算是解题的关键.

2L（2021•浙江•杭州江南实验七年级期中）如图，在4x4的方格中，每个小正方形的边长为1.若点A在数

轴上表示的数是-1,以A为圆心,A。为半径画圆弧与数轴的正半轴交于点E,则点E所表示的数是.

【答案】V10-1##

【分析】

先利用勾股定理求出4。的长，即可得到的长，再根据实数与数轴的关系求解即可.

【详解】

解：由题意得：AE=AD=>]\2+32=V10»

丁点A表示的数为・1,

，点E表示的数为JIU-1,

故答案为：Vio-i.

【点睛】

本题主要考查了实数与数轴，勾股定理与网格，解题的关键在于能够根据题意求出A。的长.

22.（2021・山东・周村七年级期中）如图，用四个全等的直角三角形拼成如图一个大正方形48CD和一个小正

方形EFGH,这就是著名的“赵爽弦图〃.在2002年北京召开的国际数学家大会就用这个弦图作为会标.若

48=10,AF=8,则小正方形EFGH的面积为

【答案】4

【分析】

观察图形可知，小正方形的边长=长直角边-短直角边，由勾股定理可得8F的长，从而得结论.

【详解】

RthABF^,48=10,AF=3,由勾股定理得：8F=屈二百=6,.・.FG=8・6=2,,••小正方形£FGH的面积=2?=4,

故答案为：4.

【点睛】

此题土要考查了勾股定理的应用，熟练应用勾股定理是解题关隹.

23.(2021•浙江温州•八年级期中)勾股定理有很多种证明方法，我国清代数学家李锐运用下图证明了勾股

定理.在中，已知A8=2BC,分别以A8,BC,AC为边，按如图所示的方式作正方形A8OE,正方形

S.

BCFG,正方形4CH/.其中4与8。交于点M设四边形48M的面积为Si,△CHN的面积为Sz,则^=

【答案】y

【分析】

如图，连接6过点H作HP_L/G于P,交8D于Q,设8c=。，则48=2。，根据正方形性质可证得△/AGg4

2

HIP@/\CHQ出AAIEgAACB,得出SAWG=SAH/P=SACHQ=SAA/£=SA4CB=C,S正方形8GPQ=Q2,5iE方形AC川=5。？，再证得△DM

2

丝dQNH(AAS),可求得：S2=7fl,S产?。?，即可求得答案.

44

【详解】

解：如图，连接/G,过点〃作”PJ_/G于P,交8。于Q,

设BC=。，则48=2。，

•・•四边形ABDE,四边形BCFG和四边形ACHI是正方形，

・•・/、G、F在同一直线上，

：.AE=AB=2a,BG=BC=a,^ABC=ZBAE=^AEI=ZCAI=Z0=90°,

:.NIAE+NBAI=NBAI+NCAB=90°,

：.^IAE=ZCABf

：.^AIE^/\ACB(AS4),

同理可得：ZJ4Gg△H/Pg/kCMQ空△4E0△ACB,

.12

•••SA/AG=5AH/P=SACHQ=SAA/E=SAACB=~xax2a=a,

,:ZGBQ=ZBGP=ZGPQ=90°,BG=GP=a,

工四边形8GPQ是正方形，

•'•S正力形BGPQ^a)，

•・S正方形AC，/=5。，

•：ID=QH=a,ND=NHQN=90°,NDNI=NQNH,

:ADNIWdQNH(AAS),

1

:.DN=NQ=-a,

2

,,5_Q=1XOX1O=1O2,

:.Sz=S£HN=SACHQ+S△HNQM屋+—a2=-o2,

44

•2252112

•.Si=5四边上A8N尸SH..jACHi-S^ACB-S^cHN=5a-a--a=—a,

44

11,

与京25

4

故答案为：-y-

【点睛】

本题考查了全等三角形的判定和性质，三角形面积和正方形面积等，解题关键是添加辅助线构造全等三角

形.

24.（2021•辽宁凌海•八年级期中）如图，正方形A8CO的边长为1,其面积标记为5；,以CO为斜边作等腰

直角三角形，以该等腰直角三角形的一条直角边为边向外作正方形，其面积标记为，……,按照此规律继

续下去，则§2021的值为.

【答案】言■##

【分析】

根据题意求出面积标记为S2的正方形边长，得到S2,同理求出,3,根据规律解答.

【详解】

解：•・•正方形A8CD的边长为1,

•••面积标记为52的正方形边长为立，

2

则52=<—）2=：=:，

222,

面积标记为S3的正方形边长为五乂6二，

222

则汴（/）2=；$,

则62021的值为：»

故答案为:

22020・

【点睛】

本题考查的是勾股定理、正方形的性质，根据勾股定理求出等腰直角三角形的边长是解题的关键.

三、解答题

25.(2021•辽宁铁西•八年级阶段练习)如图，△A8c三个顶点的坐标分别为A(-4,1),8(-1.3),C(-3,

4).

(1)请画出AABC关于y轴对称的△48iG(点48,C的对应点分别是4,Bi，Ci),并直接写出点4的

坐标；

(2)△4&C1中4G边上的高的长为个单位长度.

【答案】(1)作图见解析，点4的坐标为(4,1)；(2)迦

10

【分析】

(1)分别作出4B,C的对应点4,8i,G并连接即可；

(2)依据割补怙进行计算，即可得到△4&Ci的面积，再利用二角形面积公式即可求解.

【详解】

解：(1)如图所示，△4&G即为所求；

点4的坐标为(4,1)；

(2)△4B1G的面积为：

3x3--xlx2--xlx3--x2x3=9-l---3=-；

22222

4cM2+32=所,

△481G中4cl边上的高为/),

I,7

—^AiC^h=—,

22

..7Vio

••h----------•

10

故答案为：7加.

10

【点睛】

本题考查了作图-轴对称变换，三带形的面积等知识，解题的关键是熟练掌握轴对称变换的性质.关于V轴

对称的点的坐标变化特点：纵坐标不变，横坐标变相反数.

26.(2021•宁夏中宁县第三八年级期中)48c在直角坐标系内的位置如图所示

(1)分别写出A、8、C的坐标；

(2)请在这个坐标系内画出使△A181C1与AABC关于x轴对称，

(3)81到原点。的距离

【答案】(1)A(0,3),B(-4,4),C(-2,1)：(2)画图见解析;(3)点用到原点。的距离为40

【分析】

(1)根据平面直角坐标系写出各点的坐标即可；

(2)根据关于x轴对称的特征，找出点48、C的对应点4、8］、J的位置，然后顺次连接即可，再根据

平面直角坐标系写出点&的坐标；

(3)根据两点距离公式进行求解即可.

【详解】

解：(1)根据点在坐标系中的位置可得：A(0,3),B(-4,4),C(-2,1)；

(2)△48iCi如图所示，Bi(-4,-4)；

(3)•••81的坐标为(-4,-4),

/.OB,="2+4-=4&,

・•・点四到原点。的距离为4上.

【点睛】

本题考查了利用釉对称作图，两点距离公式，写出平面直角坐标系中点的坐标，熟练掌握坐标系，准确找

出对应点的位置是解题的关键.

27.(2021•云南省楚雄天人八年级期中)已知AABC在如图所示的平面直角坐标系中.

(1)直接写出三个顶点的坐标：A(),B(),C()

(2)将4、8、C三点的纵坐标保持不变，横坐标分别乘-1,得到点A、用、在图中描出点A、用、

G，并画出△A6G：

(3)AC边上的高为.

【答案】(1)(3,4)、(4,2),(1,1)；(2)见解析；(3)半.

【分析】

(1)直接根据各点在坐标系中的位置写出入、8、C三点的坐标即可；

(2)在图中描出点A，片，G，并画出△A4G；

(3)先根据勾股定理求出4C边长，利用矩形法求出AABC的面积，再根据三角形面积公式即可求出高.

【详解】

解：(1)由图可知,43,4)、3(42),C(14).

故答案为：(3,4)、(4,2),(1,1)；

(2)如图,△A5G即为所求;

1117

(3)S=3x3——x3xl——x2xl——x2x3=—,

A/IOL2222

AC=^2r+32=V13»

设AC边上的高为万，

V1/4C*/7=5A48C,

一

.「7而

••FI—•

13

【点睛】

本题考查了坐标与图形、勾股定理的应用，利用勾股定理求出，C边长是解答此题的关键.

28.(2021•湖南•八年级期中)在平面直角坐标系中，若两点关于过原点的一条直线对称，则我们称这两点

关于这条直线互为“镜面点”，这条直线叫“镜面直线

例如：M(-1,2)和M'(1,2)关于V轴对称，则我们称M和“关于V轴互为“镜面点〃，y轴为“镜面直

线”.

若已知两点坐标Pi(xi,yi)>Pi(X2,及)，则Pi、P2之间的距离为W=+(y-乃)？.

如M(-1,2)和N(3,5)的距离为MN=J(T一3尸+(2—5尸=后=5.

实验与探究：

(1)直线/为N404角平分线所在的直线，由图观察易知A(0,2)关于直线I的镜面点4的坐标为(2,0),

在图中找出8(5,3)、C(-2,5)分别关于直线/的镜面点夕、。的位置，请写出他们的坐标：B\C；

归纳与发现：

(2)结合图形观察以上三组点的坐标，你会发现：平面直角坐标系内任一点P(a,b)关于直线/的镜面

点P'的坐标为；(不必证明)

拓展与应用：

(3)已知两点。(1,-3)、E(-1,-4),试在直线/上确定一点Q,使点。到。、£两点的距离之和最

小，并求出这个和的最小值.

【答案】(1)(3,5)、(5,-2)；(2)(b,a)；(3)图见解析，厉

【分析】

(1)求得线段AA的中点，然后根据待定系数法求得镜面直线，进而即可求得8(5,3)、C(-2,5)分

别关于直线/的镜面点；

(2)结合图形观察以上三组点的坐标即可得出结论：

(3)求得E点关于直线/的镜面点F,连接。F,交直线/于点Q,Q点即为所求.

【详解】

解：(1)设镜面直线的解析式为，=/^,

VX(0,2),A(2,0),

工线段AA的中点为(L1),

•・•镜面直线经过原点和(1,1),

・•・镜面宜线为y=x,

*：B(5,3)、C(-2,5),

・・・8(5,3)、C(-2,5)分别关于直线/的镜面点&(3,5)、C(5,-2),

故答案为：B'(3,5)、C(5,-2)；

(2)结合图形观察以上三组点的坐标，会发现：平面直角坐标系内任一点P(a,b)关于直线/的镜面点

P'的坐标为(b,a)；

故答案为：(b,a);

拓展与应用：

(3)(-1,-4),平面直角坐标系内任一点P(a,b)关于直线/的镜面点P的坐标为(b,a)；

・•・£点关于直线/的镜面点£的坐标为(-4,-1),

VD(1,-3),

,DE'=-47)2+(-1+3)2=扬，

・••点Q到。、E两点的距离之和的最小值为：V29.

【点睛】

本胭考查了轴对称-最短路线问题，勾股定理