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文档简介
高一数学教学质量检测
2026.1
一、单选题:本题共8小题,每小题5分,共40分。在每小题给出的选项中,只
有一项是符合题目要求的。
1.“是第一象限角”是“是锐角”的()
A.充�分不必要条件�B.必要不充分条件
C.充要条件D.既非充分也非必要条件
2.函数的定义域是()
1
A.��∞=lnB�.+2+�∞C.∞D.∞
3.函−数2,+−2,+的零点所在−的区,−间2为(−2,0)∪0,+
�
A.�(�)=2+B�.−4C.D.
4.已(0知,1),(1,2),(2,3),则((3,4))
0.31.2
A.�=𝑙�0.53B.�=1.2�=C.0.3D.
5.我�国<古�代<数�学经典著�作<《�九<章�算术》�中<记�载<了�一个“�<圆材�<埋�壁”的问题:“今有
圆材埋在壁中,不知大小,以锯锯之,深一寸,锯道长一尺,问径几何”现有一类
似问题:不确定大小的圆柱形木材,部分埋在墙壁中,其截面如图所示?用锯去锯该
木材,若∠,,则图中弧与弦围成的弓形.
�
的面积为(𝐴�=3)��=2𝐴���
A.B.C.D.
�2�2�4�
6.某3纯−净3水制造厂3在−净化3水的过3程−中,6每过滤3一−次可6使水中杂质减少,若要使
水中杂质减少到原来的以下,则至少需要过滤()50%
A.次B.2次%C.次D.次
4567
7.如图所示,在平面直角坐标系中,角与角的顶点与坐标原点重合,始边与
轴的非负半轴重合,终边分别是�射�线�和射�线�,若射线与单位圆的交点为�
,射线与单位圆的交点为�,�且��,则��的值是()
43sin�+2cos�
��,5�����⊥��2cos�−3sin�
A.B.C.D.
4334
34−4−3
8.已知函数2�的值域为,则实数的取值范围是
�−1,�<1
�(�)=�2��
()2
2−𝑙�(�−3�+3),�≥1
A.∞B.C.∞D.∞∞
二、(多−项选,1择]题:[本1,2题]共3小[题2,,+每小)题6分(,−共,118]分∪,[2,在+每小)题给出的四个选
项中,有多项符合题目的要求,全部选对的得6分,部分选对的得部分分,有选错
的得0分。
9.下列计算正确的有()
A.
B.𝑙�2𝑙�0.50.5=1
2
31−𝑙�32
C.8若×3,=6,则
2�+�
D.若lg3=�lg,2=则�𝑙�518=1−�
11
2−2−1
10.已�知角+�满足=2�+�=2,则()
222025�
A.����B.�−6tan�sin�C+.9𝑠��=0D.cos�+2=
2222
0−13−3
11.已知函数,则()
1�−3
2−1,�>0
��=2
−2�−4�−1,�≤0
A.函数有个零点
B.若函数��3有个零点,则
C.关于的�方=程��−�2有个不等0实<数�<根1
8
D.若关于�的方程���=−有9个5不等实根时,实根之和为,有个不等实根时,
实根之和为�,则��=�3�4
三、填空题:�本题�共<3�小题,每小题5分,共15分。
12.函数,的值域为.(区间表示)
��
13.已知�=ta,n�且�∈−4,4,则.
11
14.已知函�>数1𝑙��2−𝑙�8,�=若2�=恒成立,则的最大值
�−�
为�(�)=�+�.��(�)⩽�(2�)+11�
四、解答题:本题共5小题,共74分。解答应写出文字说明,证明过程或演算步
骤。
15.本小题分
已知(13).
sin�−�cos2�−�
�
��=sin�−2cos�+�
求的值;
5�
(1)若�3,求的值.
2
(2)��=22𝑠��−3sin�cos�
16.本小题分
已知(函数15),满足.
�
求�的=解�析(�式);�(�−1)=ln2−�
(1)判断�(�函)数的奇偶性;
(2)�=�(�)
解不等式.
(137).本小题�(�分)⩽0
已知(函数15)
�
求函数�(�)=的s最in小2正�周+期6;,�∈�
(1)求函数�(�)的单调递增区间;
(2)若�(�),求函数的最值及其相应的值.
�
(3)�∈[0,2]�(�)�
18.本小题分
已知(函数17).
��
若�(�),=求4−的2取−值6范围;
(1)若�关(�于)<的0方程�有两个不相等的实数根,设为,.
(2)求的取�值范围�;(�)=��1�2
(�)证�明:.
(��)�1+�2<−2
19.本小题分
设函(数17)且,,已知,.
�
求�(�的)=定l义og域�(;�−�)(�>0�≠1�∈�)�(2)=1�(log�6)=2
(1)是�否(�存)在实数,使得在区间上的值域是?若存在,请
(求2)出的取值范围�;若不存�(在�),请说明[�理,�由].[2�−�,2�−�]
�
答案和解析
1.【答案】【解析】解:是锐角,则是第一象限角,但是第一象限角,不一定是锐角,如,
9�
故“是第一�象限角”是“�是锐角”的必�要不充分条件.��=4
2.【答�案】【解析】解:�由已知可得,所以且,
�+2>0
��>−2�≠0
所以函数的定义域是�≠0.
1
3.【答案】��【=解ln析�】+解2:+易�得函数在−2上,0单∪调0递,+增∞,且函数图象连续,
由题知�,�(�)�,,
0123
�(0,)=2+0−4=−3<0�(1,)=2+1−4=−1<0�(2)=2+2−4=2>0�(3)=2+3−
4
4因=为7>0�(4)=,2所+以4−4=是1函6数>0的零点所在的一个区间.
4.【答�(案1)】⋅�(2【)解<析0】解:(1,2)�在(�)上单调递减,则;
单调�递增,所以�=𝑙�0.5�0;,+又∞单调递减�,��所0.5以3<𝑙�0.51=0,
�0.30�1.20
�所=以1.2.1.2>1.2=1�=0.30<0.3<0.3=1
5.【答�<案】�<�【解析】解:因为,,所以为等边三角形,
�
因为�,所以∠𝐴�=3,��所=以�弧�与弦▵𝐴围�成的弓形的面积为:
��=2��=.��=��=2𝐴���
�322�
62.×【3答−案4】×2【解=析3】−解:3每过滤一次可使水中杂质减少%,设要使水中杂质减少到原来的%以下至少需
要过滤次,�则%.又,50所以.2
1�1�1�
�(2)⩽2⇒(2)⩽50⇒2⩾50�∈��⩾6
7.【答案】【解析】解:由题意得,且,
2
24
��+=1�<0
解得,所以,所以5,因为,
33443�
�=−5�−5,5sin�=5,cos�=−5�=�+2
所以,
�3�4
sin�=sin�+2=cos�=−5,cos�=cos�+2=−sin�=−5
所以44.
3sin �+2cos �3×5+2×(−5)4
33
2cos �−3sin �==3
8.【答案】【解析2】×(−解5):−3当×(−5)时,,
2�2(�−1)+22
��<1�(�)=�−1=�−1=2+�−1
因为,则,,所以,,
122
因为函�<数1的�值−域1为<0,�所−以1<当0时�,−1<0�(�)=2+�−1<2的值域要包含,
�2
在�(�)上单调�递增,则�≥1�(�),=2−𝑙�2(�−3�+3)[2,+∞)
��1
�=2[1,+∞)�=2≥2=2
那么要能取到内的值,就需,
�22
因为�=2−单𝑙�调2(递�增−,3�+3)�[2,+∞),𝑙�2(�−3�+3)⩾0
2
所以�=log2�,即𝑙�2(�−3�,+3)⩾𝑙�21
22
解得�−3或�+3⩾1,所以�实−数3�的+取2⩾值0范围是,
9.【答�≤案】1�≥【2解析】解:�(−∞,1]∪[2,,+选∞)项错误;
20.52
𝐴�𝑙�(𝑙�0,.5)选=项𝑙正�确1=;0�
22
31−𝑙�3233323
8×3=2×𝑙�32=2×=6�
若,,则32,选项正确;
lg18lg2+lg9lg2+2lg32�+�
5
lg3=�lg2=�𝑙�18=lg5=1−lg2=1−lg2=1−��
若,则,所以,选项正确.
1111211
2−22−2−12−2−1−1
10�.【+答�案】=2【解�析+】�解:由=�+�+2�×�=�+�+,2得=4�+�=2,�
222
所以𝐴�,则��,�化�简−整6ta理n得�sin�+9𝑠��=0,(tan�−3sin�)=0
sin�
tan�=3sin�cos�=3sin�sin�(3cos�−1)=0
所以,或,当时,,
12025��
sin�=0cos�=3sin�=0cos�+2=cos�+2=−sin�=0
当时,,
2
1122
cos�=3sin�=±1−3=±3
当时, ,
222025��22
sin�=3cos(�+2)=cos(�+2)=−sin�=−3
当时, .
222025��22
故选sin:�=−.3cos(�+2)=cos(�+2)=−sin�=3
11.【答�案��】
【解析】解:�对�于,由函数解析式可画出函数图象如下:
显然函数图象与轴�仅有三个交点,可得A正确;
对于,若函数�有个零点,可得函数与函数
�有两个交点�,=��−�2��
�可=得�或,因此B错误;
对于0,<令�<1�=,−由1可得,
88
���=����=−9��=−9
易知;
87
−1<−9<−8=−0.875
结合图象可知函数有三个零点,
8
123
��=−9�,�,�
不妨取,
结合图象�1可<知�2<�3两个零点在抛物线对称轴的两侧,
2
12
且在函数�,�的对称轴的�右=−侧2,�−4�−1
�−3
1
�3�=−1
易得2;
1
123
易知�∈−2,−1,�∈与函−数2,0,�的图∈象3,有+∞个交点,
1
�=�∈−2与,−函1数的�图�象有个交1点,
1
2
�=�∈−2,0与函数��的图象有4个交点,
3
因�=此�关于∈3的,+方∞程��有个不0等实数根,即C正确;
8
对于,若�关于的�方�程�=−9有5个不等实根时,
可得��或�,�=�3
7
−1<�≤−8�=0
当,利用对称性可知实根之和,
7
当−1<,�实≤−根8之和为,�⩾−1×2+6=4
当有�=0个不等实根时,�可=得−1×2+3=,1
7
实根之4和为−8<�,<0
即可能�或=−1×2,+可3得×D2=错4误.
【答�案<】��>或�解:因为,所以,所以函数的值域为
��
12.[−1,1]�−1≤�≤1�∈[−4,4]tan�∈[−1,1]�(�)[−
1,31.]【答案】解:因为,所以,
113
2
8𝑙��2−𝑙�8�=2𝑙��−𝑙�2�=2
令,则,化简得,即,解得或舍去,
322
2
故�=𝑙��,>解0得�−�,=符2合题意.故�答−案3为=:2��−2�−3=0�=3�=−1()
14�.�【�答2�案=】3�=8,当8且仅当,即时取等号,
�−��−��−�
所以6�(�)=�+�⩾2�⋅�=2,�=��=0
2�−2��−�22
不等式�(2�)=�+�=可(�化+为�)−2=[�(�)],−2
2
所以��(�)⩽�(2�恒)+成1立1,而��(�)⩽[�(�)]+9,
999
�⩽�(�)+�(�)+⩾2�(�)⋅=6
当且仅当�(�),即时取�(�等)号,因此�(�,)所以的最大值为:.
9
�(�)=�(�)=3�⩽6�6
15.【答案】解:�(�)因为,......3分
sin�−�cos2�−�sin�cos�
�
(1)��=sin�−2cos�+�=−cos�⋅−cos�=tan�
所以.......6分
5�5���
�3=tan3=tan2�−3=−tan3=−3
因为,所以
2
22𝑠��−3sin�cos�
22
(2)��=tan�=22𝑠��−3sin�cos�=𝑠��+𝑙��
.......13分
22
2����−3tan�2×2−3×22
=2=2=
16.【��答��案+1】解:2因+1为5,
�
(1)�(�−1)=ln2−�
所以,所以,......2分
�
设2−�>0,则0<�<,2
则�=�−1,所以�∈(−1,1),即;......5分
1+�1+�
�因=为�函+数1的定义�域(�)为=ln1−�,满�足(�)=ln1−�,�∈(−1,1),......7分
且(2)(−,1,1所)以该函∀数�为∈奇(−函1数,1;),.−.�..∈..(1−0分1,1)
1−�
�(−�)=ln1+�=−�(�)
因为,则,......12分
1+�1+�
(3)ln1−�≤01−�≤1
所以,解得或,.....14分
2�
又因为1−�≤0,�所>以1�≤0的解集为:.......15分
17.【答−案1<】�解<:1�(�)≤;0......3分�|−1<�≤0
2�
(1)�==�
由2,,......5分
���
(2)2��−2≤2�+6≤2��+2�∈�
得,......7分
��
��−3≤�≤��+6,�∈�
函数的单调递增区间为;......9分
��
∴��−3,��+6�∈�
,,......12分
���7�
(3)∵�∈[0,2]∴2�+6∈[6,6]
,......13分
1�
∴−⩽𝑠�(2�+)≤1
当2,6即时,函数有最大值,......14分
���
∴2�+6=2�=61
当时,即时,函数有最小值.......15分
�7��1
18.2【�答+案6=】解6:对�于=2,−令2,
���
则(1)可化�(为�)=4−2−6,2=�>0
��2
若�(�)=4,−则2−6,即�(�)=�−�−,6
2
解得�(�)<0,得�(到�)<0�,−解�得−6<0,......2分
�
�∈(0,3)2∈(0,3)�∈(−∞,𝑙�23)
则的取值范围为.......4分
�若关于的方(程−∞,𝑙�23)有两个不相等的实数根,
(则2)方(�程)�有两个�(不�)相=等�的正实数根,
得到�(与�)=�有两个不相同的横坐标大于的交点,......6分
由二次�(函�)数�性=质�得在上单调递减,在0上单调递增,......8分
11
�(�)(0,2)(2,+∞)
而,最小值为,故,......10分
12525
�因(0为)=方−程6�(�)
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