2025-2026学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）（含答案）

第=page22页，共=sectionpages22页2025-2026学年上海市杨浦区九年级（上）期末数学试卷（一模）一、选择题：本题共6小题，每小题4分，共24分。在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的。1.下列各组线段的长度中，成比例的是（）A.1，2，3，4 B.2，4，4，8 C.1.5，3，4.5，6 D.3，4，5，62.已知点C在线段AB上，如果AB=3AC，，那么等于（）A. B. C. D.3.在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=3，AC=1，下列结论中正确的是（）A. B. C. D.4.一传送带和地面所成斜坡的坡比为1：2.4，如果要把物体从地面送到离地面10米高的地方，那么物体所经过的路程是（）A.12米 B.13米 C.24米 D.26米5.如果将抛物线y=-（x+6）2+8向右平移10个单位，那么此抛物线与y轴的交点P在平移过程中的位置变化情况符合下列哪种情形（）A.持续向上 B.持续向下 C.先向上再向下 D.先向下再向上6.如图，已知在△ABC中，点D、E分别在边AB、AC上，DE∥BC，∠ACD=∠B，下列结论中错误的是（）A.

B.

C.

D.二、填空题：本题共12小题，每小题4分，共48分。7.计算：cot60°=

.8.如果a：b=2：3，那么（a+b）：b=______．9.已知向量与单位向量方向相反，且，那么=______（用向量的式子表示）10.如果二次函数y=x2-mx+m+1的图象经过原点，那么m的值是______．11.如果抛物线y=ax2+2x的开口向上，那么a的取值范围是

.12.已知抛物线y=x2-c经过点A（-1，y1）、B（4，y2），那么y1

y2.（填“＞”、“＜”或“=”）13.在△ABC中，如果中线AD和中线CE相交于点G，那么AG：AD=

.14.已知△ABC中，AC=4，∠A=30°，，那么BC的长为

.15.如图是一辆小M汽车与墙平行停放的平面示意图，汽车靠墙一侧OB与墙MN平行且距离为0.8米，小汽车车门宽AO为1.2米，当车门打开角度∠AOB为40°时，车门

碰到墙.（填“会”或“不会”）（参考数据：sin40°≈0.64，cos40°≈0.77，tan40°≈0.84）

16.已知抛物线形拱桥的横截面示意图，当拱顶离水面4米时，水面宽8米.如图建立平面直角坐标系xOy,如果水面上升3米，那么水面宽度减少

米.

17.如图，在四边形ABCD中，AB=BC=6，∠ABC=60°，∠ADC=90°，对角线AC与BD相交于点E，若BE=3DE，则BD=

.

18.如图，平行四边形ABCD中，AB=6，BC=5，过点D作DE⊥AB，垂足为点E，将△ADE绕点E旋转得△FGE，点A的对应点F落在边AD上，点D的对应点G落在边BC上，连接FG与DE交于点H，那么的值是

.

三、解答题：本题共7小题，共78分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤。19.(本小题10分)

如图，△ABC中，点D在边AB上，AD=2BD.

（1）设；，那么=______.（用含有向量和表示）

（2）如果∠BCD=∠A，BC=6，求AB的长.20.(本小题10分)

二次函数y=ax2+bx+c（a≠0）中，函数值y与自变量x之间的部分对应关系如表所示.x…0123…y…-3010…（1）求该二次函数的解析式及其图象的对称轴；

（2）设该二次函数图象与x轴相交于点A（点A在对称轴的右侧），与y轴相交于点B，顶点为C，求△ABC的面积.21.(本小题10分)

如图，为了测量学校教学楼AB的高度，小慧同学先在教学楼前点D处测得楼顶A的仰角为45°，再沿BD方向后退了16米到点C处，此时测得楼顶A的仰角为22°（B、D、C在一条直线上），根据这些数据，请你帮助小慧求出教学楼AB的高度（精确到0.1米）.（参考数据：sin22°≈，cos22°≈，tan22°≈

22.(本小题10分)

新定义：由边长为1的小正方形构成的网格图形中，每个小正方形的顶点称为格点.如图，已知在8×8的网格图形中，△ABC的顶点A、B、C都在格点上.请按要求完成下列问题：

（1）sin∠BAC=______；

（2）请仅用无刻度的直尺作图（不要求写作法，但保留作图痕迹，写出结论）.

①如图1，在边AB上求作一点P，使∠ACP=45°；

②如图2，在边AC上求作一点Q，使BQ⊥AC.23.(本小题12分)

已知：如图，在矩形ABCD中，点E在边AB的延长线上，过A作AF⊥CE，垂足为点F，CF=EF，AF与边BC交于点G，联结BF.

（1）求证：FB2=FA•FG；

（2）连接BD与AG交于点H，如果AB=BC，求证：.24.(本小题12分)

在一场篮球赛中，运动员小杨在距篮下4米处跳起投篮，球运行的路线呈抛物线形，当球运行的水平距离为2.5米时，到达最高点，此时球离地面的距离是3.5米，然后准确落入篮圈，已知篮圈中心到地面的距离为3.05米.

（1）如图1建立平面直角坐标系.

①求此抛物线的表达式；

②如果小杨的身高是1.8米，在这次跳投中，球在头顶上方0.25米，那么球出手时，他跳离地面的高度是多少米？

（2）如图2，在这场篮球赛中，另一位运动员小浦跳起投篮，已知球出手时离地面高米，与篮圈中心的水平距离为7米，当球出手后水平距离为4米时到达最高点，此时球离地面的距离是4米，设篮球运行的路线也呈抛物线形，问此球能否投中这个篮圈？25.(本小题14分)

综合与实践：折黄金矩形

【问题提出】我们把宽与长之比为的矩形称为黄金矩形.黄金矩形以协调、匀称的美感，常见于艺术、建筑、自然界中.那么，如何用不同形状的纸片折出黄金矩形，并证明这个矩形是黄金矩形呢？

【操作探究】

（1）小创小组将一张矩形纸片（如图1）按照图2到图5的方式操作，那么图5中哪些矩形是黄金矩形？请直接写出结论.

（2）小智小组将一张正方形纸片（如图6）按照图7至图10的方式操作，得到矩形BGHC，你能证明矩形BGHC是黄金矩形吗？请写出证明过程.

【学以致用】

（3）将一张矩形纸片ABCD（如图11），先按下列操作画出示意图，再按要求解决问题.

①沿过点C的直线折叠，使点B落在边AD上的点E处，折痕交边AB于点G；

②沿过点E的直线折叠，使点D落在线段CE上的点H处，折痕交边CD于点F；

③沿过点E的直线折出矩形ENCD，折痕EN交线段CG于点M，连接MH.

如果MH⊥EN，请说明点G是线段AB的黄金分割点.

1.【答案】B

2.【答案】D

3.【答案】A

4.【答案】D

5.【答案】D

6.【答案】C

7.【答案】

8.【答案】5：3

9.【答案】

10.【答案】-1

11.【答案】a＞0

12.【答案】＜

13.【答案】2：3

14.【答案】

15.【答案】不会

16.【答案】4

17.【答案】3

18.【答案】

19.【答案】-+

AB=6

20.【答案】y=-x2+4x-3，对称轴为直线x=2

3

21.【答案】教学楼AB的高度为10.7米．

22.【答案】

①如图1中，点P即为所求；

②如图②中，点Q即为所求

23.【答案】∵四边形ABCD是矩形，点E在边AB的延长线上，

∴∠EBC=∠ABC=90°，

∵AF⊥CE于点F，

∴∠AFE=90°，

∴∠BCE+∠E=90°，∠FAB+∠E=90°，

∴∠BCE=∠FAB，

∵CF=EF，

∴BF=CF=CE，

∴∠BCE=∠FBG，

∴∠FBG=∠FAB，

∵∠BFG=∠AFB，

∴△BFG∽△AFB，

∴=，

∴FB2=FA•FG

连接BD与AG交于点H，连接CH，

∵四边形ABCD是矩形，且AB=BC，

∴四边形ABCD是正方形，

∵DA∥GB，DA=CB，

∴△AHD∽△GHB，

∴==，

∵CB=AB=CD=AD，∠BCD=∠BAD=90°，

∴∠CDB=∠CBD=∠ABD=∠ADB=45°，

在△BCH和△BAH中，

，

∴△BCH≌△BAH（SAS），

∴∠HCB=∠HAB，

由（1）得∠FBG=∠FAB，即∠FBG=∠HAB，

∴∠HCB=∠FBG，

∴CH∥BF，

∴=，

∴=

24.【答案】①y=-0.2（x-2.5）2+3.5．

②球出手时，他跳离地面的高度为0.2m

此球不能投中这个篮圈

25.【答案】矩形DCGH、矩形ABGH为黄金矩形

如图，记EF与CG交于点M，

设正方形边长为2k，则AB=CD=BC=AD=2k，DE=CF=k，

∴CE=k，

∵∠BCG=∠ECG，

∴==，

∴=，

∴MF=EF=k，

∵MF∥BG，

∴△CMF∽△CGB，

∴===，

∴矩形BGHC为黄金矩形

示意图如图所示：

设AB=1，BG=a，则AG=1-a，EN=1，

由折叠可知EG=BG=a，∠CEG=∠CBG=90°，

∴AE==，

∵∠AEN=∠CEG=90°，

∴∠A