【《数形结合的历史溯源研究文献综述》2900字】

PAGE34数形结合的历史溯源研究文献综述目录TOC\o"1-3"\h\u2394数形结合的历史溯源研究文献综述 1257161.1原始社会中的数形结合 1273031.2古代时期的数形结合 145361.3解析几何的创立 3120261.4近现代的数形结合 3知识产生的过程也是数学思想产生的过程，在数学概念的形成、结论的证明、寻找解题规律等过程中，都会体现数学思想方法。追溯数形结合思想的发展，可以探索出数形结合的历史与数学发展的历史联系密切。此种数学思想方法可以看作是人类在生产生活实践而慢慢形成的一种思想方法，它既可以认为推动了数学的发展，也可以认为数学的发展催生了数形结合思想的产生。研究数形结合的思想，了解了它的历史溯源以及未来的发展，这样能帮助我们更全面更深层次的理解数形结合思想。1.1原始社会中的数形结合“在人类蒙昧时代，就已具有识别事物多寡的能力，从这种原始的‘数觉'到抽象的‘数’概念的形成，是一个缓慢的、渐进的过程”ADDINNE.Ref.{AFA944C7-C032-47AB-AD8F-9C980E2155A2}[23]。原始时期，人们在不断地生产实践中逐渐发现一头羊、一颗树、一个苹果等这些事物中存在共性。这些共性也就是上面所说的“数觉”，于是人类慢慢地把具体事物的物质属性抽象出它们所具有的共同的特性。当然此时的数也仅仅只是在自然数的层面上，人们对现实中的事物仅有一点点的量化的概念，对“数”与“形”的认知还处在最初级的阶段，也即萌芽阶段。1.2古代时期的数形结合古埃及人与巴比伦人通过长期的生产生活实践获得了大量的直观的几何知识，然后传到了古希腊。古希腊的毕式学派将“数”和“形”重新结合起来，极大地促进了古希腊数学的发展。毕达哥拉斯学派的贡献之一是有意识地承认并强调数学上的东西，如数和图形是思维的抽象,同实际事物或实际形象是截然不同的ADDINNE.Ref.{14896F50-9FFB-4898-B1D7-E04E9DECD300}[24]。毕氏学派通过对点的研究发明了“三角形数”，又继续研究了“正方形数”、“五边形数”，他们注重通过形来发现数之间的关系。图1例如图1，毕学派的学者会把像1，3，6，10……的数称为“三角形数”，把像1，4，9，16……的数称为“正方形数”。观察图片能看出，大于1的“正方形数”个数可以用相邻的两个“三角形”个数的和来表示。将三角形数的前项和用来表示。通过对正方形数分割，可以转化成许多个三角形数相加进行计算，最终得出正方形数，将正方形数的前项的和用来表示。同理正五边形数，当然此时的五边形数与正方形数的思想相同，同样是分割求和，令表示五边形数的前项的和。它们的代数表达式依次是：我国古代数学中，《九章算术》的编写完成意味着我国古代数学形成了完整的体系，开创了关于数形结合的研究方法。在《九章算术注》中许多的结论都是对数形结合的延续，在这本中国古代的数学著作中，刘徽利用了大量的图形证明一些代数问题，使得证明过程更具有说服性。例如在勾股定理的证明中，利用图形证明思想，对图形分割、填补、转移、合并等。例如，在《九章算术注》中的“勾股术”中有：“勾自乘为朱方，股自乘为青方，今出入相补，各从其类，因就其余不移动也。合成弦方之幂，开方除之，即弦也”ADDINNE.Ref.{D3F78652-2FAA-44A4-B96F-C6E490B5D343}[25]。这是刘徽给出的勾股定理的证明，在证明过程中，他采用图形证明法，如图2：图2将图2将转移到，将转移到，将转移到，于是就到得到了。1.3解析几何的创立数轴的建立让人们对数与形结合的了解得到进一步的深入，实数和数轴上的点一一对应（此时的实数包括了有理数和无理数），数轴上点的位置的变化可以用数的变化进行定量表示，数的变化也可转化为数轴上点的变化进行几何说明。在此基础上，笛卡尔把一维的数轴扩展到二维的平面直角坐标系，从而把平面上的点与有序实数对一一对应起来，进而平面上的点集和二元方程的解集一一对应起来ADDINNE.Ref.{67209E78-EB12-4DD3-B99D-80CB53B972E3}[26]。解析几何的创立，使得几何问题可以借助代数得到简单的解决，如函数关系可以借助图形解释，同时代数中的问题也可以借助几何来解释ADDINNE.Ref.{55E50659-E68B-438E-A847-40FDF5E6D038}[27]。从数形结合的角度看，正是由于坐标系的产生才能使得数与形得到真正的统一。随之就能把不同方程与之相对应曲线在平面直角坐标系上表示出来，将代数问题转化成图形问题，把图形问题转换成代数问题，使几何问题能以代数方法得到解决，代数作为一种工具扩大了几何的领域，代数问题又可以用图形来解决，加强了数与形的一一对应关系。总的来说，解析几何的诞生是数形结合“里程碑”式的跨越，在解析几何中认为‘数’与‘形’的地位是等价的。1.4近现代的数形结合从解析几何的诞生，我们得知数与形几乎没有了界限。到了18世纪以后，随着多种分析学的发展，数与形的融合更深入。此时对于“数”的研究能联系数论、代数方程、分析学等，而对于“形”的研究能联系微分几何、欧几里得几何等，前者专注于‘数’，后者专注于‘形。“数”能在解决数学问题时提供思路和方法，从不同的角度看待问题；而“形”能在解决问题时提供直观的表象和辅助思考的工具，就这样数形结合作为一种研究问题的思想方法产生了。19世纪的变革与积累使得20世纪的现代数学不仅仅是代数、几何、分析等经典学科的集合，而已成为分支众多的、庞大的知识体系，并且仍在继续急剧地发展之中ADDINNE.Ref.{A36EE162-F38E-458C-B87F-39F360C079E1}[23]。面对现代数学的发展，越来越来越多的数学分支被数学家们所创立，具有众多知识体系，形成了综合的交叉学科，数形结合已经作为一种最基本的数学思想被完全融合到数学的发展中去。参考文献[1]米山国蔵.数学的精神、思想和方法[M].四川教育出版社,1986.[2]刘丽海.浅谈数形结合在数学教学中的应用[J].新课程研究(教师教育),2008,(07):130-131.[3]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].人民教育出版社,2003.[4]中华人民共和国教育部.普通高中数学课程标准[M].北京:人民教育出版社,2018.[5]蔡上鹤.数学思想和数学方法[J].中学数学,1997,(第9期):1-4.[6]钱珮玲.数学思想方法与中学数学[M].北京师范大学出版社,2008.[7]章建跃.数学思想方法的力量[J].中小学数学(高中版),2013,(10):66.[8]吴增生.数学思想方法及其教学策略初探[J].数学教育学报,2014,23(03):11-15.[9]华罗庚.谈谈与蜂房结构有关的数学问题[M].科学出版社,2002.[10]张同君.中学数学解题研究[M].东北师范大学出版社,2002.[11]李正兴.高中数学解题策略[M].上海人民出版社,2002.[12]邵光华.作为教育任务的数学思想与方法[M].上海教育出版社,2009.[13]陈玉娟.数形结合思想贵在“结合”——一类问题错解引发的思考[J].数学通报,2012,51(10):38-41.[14]罗增儒.数学解题学引论[M].陕西师范大学出版社,2000.[15]任樟辉.数学思维理论[M].广西教育出版社,2001.[16]徐斌艳.数学课程与教学论[M].浙江教育出版社,2003.[17]丁杭缨.给学生一个立体的“数学”——例谈“数形结合”[J].人民教育,2010,(07):39-42.[18]顾越岭.数学解题通论[M].广西教育出版社,2000.[19]江高文.数学新思维：中学数学思维策略与解题艺术（第2版）[M].华中师范大学出版社,2002.[20]邢志远.关于数形结合的几点思考[J].基础教育论坛,2018,(16):21-22.[21]张春杰.数形结合思想方法[J].中学教研(数学),2018,(02):45-47.[22]史宁中.数形结合与数学模型：高中数学教学中的核心问题[M].高等教育出版社,2018.[23]李文林.数学史概论[M].高等教育出版社,2012.[24]莫里斯·克莱因.古今数学思想-第二册[M].上海科学技术出版社,2002.[25]李仲来.中国数学史研究[M].北京师范大学出版社,2008.[26]顾亚萍.数形结合思想方法之教学研究[D].南京师范大学,2004.[27]万哲先，李培信.談談解析几何的基本思想[J].数学通报,1961,(09):38-40.[28]RobertSS.ThePsychologyofMathematicsforInstruction.LaurenB.Resnick,WendyW.Ford[J].RobertS.Siegler,1983,91(3).[29]Erbilgin.EffectsofSpatialV