2025年初三数学二次函数利润最大值建模考卷

2025年初三数学二次函数利润最大值建模考卷考试时间：120分钟 总分：100分 年级/班级：初三（X）班

2025年初三数学二次函数利润最大值建模考卷

一、选择题

1.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为(-1,2)，则下列说法正确的是

A.当x<-1时，y随x增大而减小

B.当x=1时，y有最小值-2

C.函数图象与x轴一定有两个交点

D.a的取值范围是a>0

2.某商品的成本价为每件60元，经市场调查发现，当销售单价为x元时，每天的销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-10x+500，则每天的销售收入R（元）关于x的函数表达式为

A.R=-10x^2+500x

B.R=10x^2-500x

C.R=-10x^2+5000

D.R=10x^2-5000

3.已知抛物线y=2x^2-4x-1，则该抛物线的对称轴方程为

A.x=1

B.x=-1

C.x=2

D.x=-2

4.某农场计划用60米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，为了节约材料，中间用一道篱笆隔开，则羊圈的面积S（平方米）关于一边长x（米）的函数关系式为

A.S=x(30-x)

B.S=2x(30-x)

C.S=x^2-30x

D.S=2x^2-60x

5.已知二次函数y=-3x^2+12x-9，当y=0时，对应的x值是

A.1和3

B.-1和3

C.1和-3

D.-1和-3

6.某商品的进价为每件40元，售价为每件60元，商店为了促销，决定每件商品打x折销售（0<x<1），则销售利润y（元）与x的关系式为

A.y=20x-40

B.y=20x^2-40x

C.y=20x-40x^2

D.y=20x^2-40x^2

7.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1,0），（2,0），（0,3），则该函数的解析式为

A.y=-x^2+x+3

B.y=x^2-x-3

C.y=-x^2-x+3

D.y=x^2+x-3

8.某商品的成本价为每件50元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-10x+500，则该商品的利润W（元）关于x的函数表达式为

A.W=-10x^2+500x-2500

B.W=10x^2-500x+2500

C.W=-10x^2+500x

D.W=10x^2-500x

9.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向下，顶点坐标为（2,3），且与y轴交点为（0,1），则该函数的解析式为

A.y=-x^2+4x+1

B.y=-x^2-4x+1

C.y=-x^2+4x-1

D.y=x^2-4x+1

10.某商品的进价为每件30元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-5x+250，则该商品的利润S（元）关于x的函数表达式为

A.S=-5x^2+250x-7500

B.S=5x^2-250x+7500

C.S=-5x^2+250x

D.S=5x^2-250x

二、填空题

1.已知二次函数y=2x^2-4x+1，当x=2时，函数值y=______。

2.抛物线y=-x^2+6x-5的顶点坐标为______。

3.二次函数y=3x^2-6x+2的对称轴方程为______。

4.某商品的进价为每件20元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-10x+500，则该商品的利润W（元）关于x的函数表达式为______。

5.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1,0），（2,0），（0,3），则a+b+c=______。

6.某商品的进价为每件40元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-5x+250，则该商品的利润S（元）关于x的函数表达式为______。

7.已知二次函数y=2x^2-4x+1，当y=0时，对应的x值是______。

8.抛物线y=-3x^2+12x-9的对称轴方程为______。

9.某商品的进价为每件50元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-10x+500，则该商品的利润W（元）关于x的函数表达式为______。

10.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（1,0），（2,0），（0,3），则该函数的解析式为______。

三、多选题

1.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，且顶点坐标为（-1,2），则下列说法正确的有

A.当x<-1时，y随x增大而减小

B.当x=1时，y有最小值-2

C.函数图象与x轴一定有两个交点

D.a的取值范围是a>0

2.某商品的成本价为每件60元，经市场调查发现，当销售单价为x元时，每天的销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-10x+500，则下列说法正确的有

A.每天的销售收入R（元）关于x的函数表达式为R=-10x^2+500x

B.当x=25时，每天的销售收入最大

C.当x=50时，每天的销售量为0

D.每天的销售收入R（元）的最大值为3125元

3.已知抛物线y=2x^2-4x-1，则下列说法正确的有

A.该抛物线的对称轴方程为x=1

B.该抛物线的顶点坐标为（1,-2）

C.该抛物线与y轴的交点为（0,-1）

D.该抛物线开口向上

4.某农场计划用60米长的篱笆围成一个矩形的羊圈，为了节约材料，中间用一道篱笆隔开，则下列说法正确的有

A.羊圈的面积S（平方米）关于一边长x（米）的函数关系式为S=x(30-x)

B.当x=15时，羊圈的面积最大

C.羊圈的面积最大值为225平方米

D.羊圈的长和宽分别为15米和15米

5.已知二次函数y=-3x^2+12x-9，则下列说法正确的有

A.当y=0时，对应的x值是1和3

B.该抛物线的对称轴方程为x=2

C.该抛物线的顶点坐标为（2,3）

D.该抛物线开口向下

四、判断题

1.二次函数y=ax^2+bx+c中，若a<0，则该函数有最大值。

2.抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标在第一象限。

3.函数y=-10x+500中，y随x的增大而增大。

4.用60米长的篱笆围成矩形羊圈，面积最大时一定是正方形。

5.若二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过原点，则c=0。

6.某商品售价为x元，销售量y件，y=-5x+250，则当x=50时，销售量最大。

7.二次函数y=2x^2-4x+1的对称轴是x=1。

8.抛物线y=-3x^2+12x-9与x轴的交点坐标是（1,0）和（3,0）。

9.利润=售价-进价，因此利润函数一定是一元二次函数。

10.若a>b，则二次函数y=ax^2+bx+c的图象在y轴上的截距一定大于二次函数y=bx^2+ax+c的图象在y轴上的截距。

五、问答题

1.某商品的成本价为每件30元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-5x+250。求该商品的利润W（元）关于x的函数表达式，并求当售价为多少元时，每天获得的利润最大？最大利润是多少？

2.已知二次函数y=ax^2+bx+c的图象经过点（-1,0），（3,0），（0,2）。求该函数的解析式。

3.某公司生产一种产品，固定成本为2000元，每生产一件产品成本增加50元，售价为每件x元，销售量y（件）与x（元）满足关系式y=-10x+400。求该公司每天的收入R（元）关于x的函数表达式，并求当售价为多少元时，公司每天的收入最大？最大收入是多少？

试卷答案

一、选择题答案及解析

1.D

解析：二次函数y=ax^2+bx+c的图象开口向上，说明a>0。顶点坐标为(-1,2)，顶点的横坐标是对称轴的方程，即x=-b/2a=-1，所以b=2a。由于a>0，所以b^2-4ac=0时，函数图象与x轴只有一个交点；当b^2-4ac>0时，函数图象与x轴有两个交点。因此，选项A和B不一定正确，选项C不一定正确，只有选项D正确。

2.A

解析：每天的销售收入R等于销售单价x乘以销售量y，即R=x*y。根据题意，y=-10x+500，所以R=x*(-10x+500)=-10x^2+500x。因此，选项A正确。

3.A

解析：二次函数y=ax^2+bx+c的对称轴方程为x=-b/2a。对于抛物线y=2x^2-4x-1，a=2，b=-4，所以对称轴方程为x=-(-4)/(2*2)=1。因此，选项A正确。

4.B

解析：矩形羊圈的长和宽分别为x和y，周长为60米，所以2x+2y=60，即x+y=30。羊圈的面积S等于长乘以宽，即S=x*y。将y=30-x代入，得到S=x*(30-x)=30x-x^2。因此，选项B正确。

5.A

解析：当y=0时，二次函数y=-3x^2+12x-9变为-3x^2+12x-9=0。解这个一元二次方程，得到x=1和x=3。因此，选项A正确。

6.C

解析：销售利润y等于售价x乘以销售量y减去成本，即y=x*y-成本。根据题意，成本为每件40元，所以y=60x*（-5x+250）-40*(-5x+250)。化简得到y=20x-40x^2。因此，选项C正确。

7.A

解析：二次函数y=ax^2+bx+c经过点（1,0），（2,0），（0,3），可以得到以下三个方程：a+b+c=0，4a+2b+c=0，c=3。解这个方程组，得到a=-1，b=1，c=3。所以函数的解析式为y=-x^2+x+3。因此，选项A正确。

8.A

解析：利润W等于售价x乘以销售量y减去成本，即W=x*y-成本。根据题意，成本为每件50元，所以W=x*(-10x+500)-50*(-10x+500)。化简得到W=-10x^2+500x-2500。因此，选项A正确。

9.A

解析：二次函数y=ax^2+bx+c经过点（2,3），（0,1），可以得到以下两个方程：4a+2b+c=3，c=1。对称轴方程为x=-b/2a=2，所以b=-4a。代入第一个方程，得到4a+2*(-4a)+1=3，解得a=-1/2，b=2。所以函数的解析式为y=-1/2x^2+2x+1。因此，选项A正确。

10.C

解析：利润S等于售价x乘以销售量y减去成本，即S=x*y-成本。根据题意，成本为每件30元，所以S=x*(-5x+250)-30*(-5x+250)。化简得到S=-5x^2+250x。因此，选项C正确。

二、填空题答案及解析

1.1

解析：将x=2代入二次函数y=2x^2-4x+1，得到y=2*(2)^2-4*2+1=8-8+1=1。因此，当x=2时，函数值y=1。

2.(3,4)

解析：抛物线y=-x^2+6x-5的顶点坐标为（-b/2a，-b^2/4a+c）。这里a=-1，b=6，c=-5，所以顶点坐标为（-6/(2*(-1))，-6^2/(4*(-1))-5）=（3，-9/(-4)-5）=（3，4）。

3.x=1

解析：二次函数y=3x^2-6x+2的对称轴方程为x=-b/2a。这里a=3，b=-6，所以对称轴方程为x=-(-6)/(2*3)=1。

4.W=-10x^2+500x-1000

解析：利润W等于售价x乘以销售量y减去成本，即W=x*y-成本。根据题意，成本为每件20元，所以W=x*(-10x+500)-20*(-10x+500)。化简得到W=-10x^2+500x-1000。

5.3

解析：二次函数y=ax^2+bx+c经过点（1,0），（2,0），（0,3），所以a+b+c=3。

6.S=-5x^2+250x-1200

解析：利润S等于售价x乘以销售量y减去成本，即S=x*y-成本。根据题意，成本为每件40元，所以S=x*(-5x+250)-40*(-5x+250)。化简得到S=-5x^2+250x-1200。

7.x=1/2或x=2

解析：当y=0时，二次函数y=2x^2-4x+1变为2x^2-4x+1=0。解这个一元二次方程，得到x=1/2或x=2。

8.x=2

解析：抛物线y=-3x^2+12x-9的对称轴方程为x=-b/2a。这里a=-3，b=12，所以对称轴方程为x=-12/(2*(-3))=2。

9.W=-10x^2+500x-2500

解析：利润W等于售价x乘以销售量y减去成本，即W=x*y-成本。根据题意，成本为每件50元，所以W=x*(-10x+500)-50*(-10x+500)。化简得到W=-10x^2+500x-2500。

10.y=-x^2+x+3

解析：二次函数y=ax^2+bx+c经过点（1,0），（2,0），（0,3），所以a+b+c=0，4a+2b+c=0，c=3。解这个方程组，得到a=-1，b=1，c=3。所以函数的解析式为y=-x^2+x+3。

三、多选题答案及解析

1.AD

解析：二次函数y=ax^2+bx+c中，若a<0，则该函数有最大值，因为图象开口向下。顶点坐标为（-1,2），说明对称轴为x=-1，所以当x<-1时，y随x增大而减小。选项A正确。当x=1时，y不一定有最小值-2，因为顶点坐标是（-1,2）。选项B错误。函数图象与x轴的交点个数取决于判别式b^2-4ac的值，所以不一定有两个交点。选项C错误。a<0，所以a的取值范围是a<0。选项D错误。因此，只有选项A和D正确。

2.ABD

解析：每天的销售收入R等于销售单价x乘以销售量y，即R=x*y。根据题意，y=-10x+500，所以R=x*(-10x+500)=-10x^2+500x。因此，选项A正确。当x=25时，销售量y=-10*25+500=250，此时销售收入最大，因为二次函数的顶点横坐标为-500/(2*(-10))=25。选项B正确。当x=50时，销售量y=-10*50+500=0，选项C正确。当x=25时，销售收入R=-10*25^2+500*25=3125元，因此选项D正确。

3.ABC

解析：二次函数y=2x^2-4x-1的对称轴方程为x=-b/2a。这里a=2，b=-4，所以对称轴方程为x=-(-4)/(2*2)=1。选项A正确。抛物线y=2x^2-4x-1的顶点坐标为（-b/2a，-b^2/4a+c）。这里a=2，b=-4，c=-1，所以顶点坐标为（1，-(-4)^2/(4*2)-1）=（1，-4/4-1）=（1，-2）。选项B正确。抛物线y=2x^2-4x-1与y轴的交点为（0，c），即（0，-1）。选项C正确。该抛物线开口向上，因为a>0。选项D错误。因此，只有选项A、B、C正确。

4.BCD

解析：矩形羊圈的长和宽分别为x和y，周长为60米，所以2x+2y=60，即x+y=30。羊圈的面积S等于长乘以宽，即S=x*y。将y=30-x代入，得到S=x*(30-x)=30x-x^2。因此，选项A正确。当x=15时，羊圈的面积最大，因为二次函数的顶点横坐标为-30/(2*(-1))=15。选项B正确。羊圈的面积最大值为S=30*15-15^2=225平方米。选项C正确。羊圈的长和宽分别为15米和15米，因为当x=15时，y=30-x=15。选项D正确。因此，只有选项B、C、D正确。

5.ABCD

解析：当y=0时，二次函数y=-3x^2+12x-9变为-3x^2+12x-9=0。解这个一元二次方程，得到x=1和x=3。因此，选项A正确。抛物线y=-3x^2+12x-9的对称轴方程为x=-b/2a。这里a=-3，b=12，所以对称轴方程为x=-12/(2*(-3))=2。选项B正确。抛物线y=-3x^2+12x-9的顶点坐标为（-b/2a，-b^2/4a+c）。这里a=-3，b=12，c=-9，所以顶点坐标为（2，-12^2/(4*(-3))-9）=（2，-36/(-12)-9）=（2，3）。选项C正确。该抛物线开口向下，因为a<0。选项D错误。因此，只有选项A、B、C正确。

四、判断题答案及解析

1.正确

解析：二次函数y=ax^2+bx+c中，若a<0，则该函数有最大值，因为图象开口向下。

2.正确

解析：抛物线y=2x^2-4x+1的顶点坐标为（-b/2a，-b^2/4a+c）。这里a=2，b=-4，c=1，所以顶点坐标为（1，-(-4)^2/(4*2)+1）=（1，-4/4+1）=（1，0），在第一象限。

3.错误

解析：函数y=-10x+500中，y随x的增大而减小，因为系数-10为负数。

4.正确

解析：用60米长的篱笆围成矩形羊圈，面积最大时一定是正方形，因为周长一定时，正方形的