2025年高三数学期末万古流芳卷二

2025年高三数学期末万古流芳卷二2025年高三数学期末万古流芳卷二

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

**一、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**

1.已知集合A={x|1＜x＜3}，B={x|x≤2}，则A∩B=（）

A.{x|1＜x＜2}B.{x|2≤x＜3}C.{x|1＜x≤2}D.{x|1＜x＜3}

2.若复数z满足|z|=1，则|z+1|的最大值为（）

A.1B.2C.√2D.√3

3.函数f(x)=sin(2x+π/3)的最小正周期为（）

A.πB.2πC.π/2D.π/4

4.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a²+b²-c²=ab，则cosC=（）

A.1/2B.1/3C.1/4D.1/5

5.已知等差数列{aₙ}的前n项和为Sₙ，若a₃+a₅=10，则S₆=（）

A.30B.40C.50D.60

**二、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡对应位置）**

6.直线y=2x-1与抛物线y²=8x的交点坐标为________。

7.执行如图所示的程序框图，输出的S的值为________。

8.在一个不透明的袋中装有3个红球和2个白球，每次从中随机抽取一个球，有放回地抽取3次，则抽到红球次数多于白球次数的概率为________。

9.已知函数f(x)=ln(x+1)-x，则f(x)在区间(0,1)上的最大值为________。

10.在直角坐标系中，点P(a,b)到直线l:3x-4y+5=0的距离为5，则a²+b²=________。

**三、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**

11.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a=3，b=√7，c=2。求角B的大小。

12.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=x³-3x²+2。

（1）求f(x)的极值点；

（2）若对于任意x₁∈(0,2)，总存在x₂∈(0,2)，使得f(x₁)+f(x₂)=0，求实数k的取值范围。

13.（本小题满分12分）

在数列{aₙ}中，a₁=1，aₙ₊₁=2aₙ+1（n∈N*）。

（1）求证：{aₙ}是等比数列；

（2）若数列{bₙ}满足bₙ=2ⁿ·aₙ，求bₙ的通项公式。

14.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E为PC的中点。

（1）求证：平面ABE⊥平面PBC；

（2）求三棱锥E-BCD的体积。

**四、选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）**

11.若函数f(x)=e^x+ax在x=0处取得极值，则a的值为（）

A.-1B.0C.1D.2

12.双曲线x²/a²-y²/b²=1的离心率为√2，则其渐近线的方程为（）

A.y=±xB.y=±2xC.y=±√2xD.y=±1/2x

13.在等比数列{bₙ}中，b₁=1，b₄=16，则b₃的值为（）

A.4B.8C.2√2D.4√2

14.已知圆C的方程为(x-1)²+(y-2)²=5，则直线y=x+3与圆C的位置关系为（）

A.相离B.相切C.相交但不过圆心D.相交且过圆心

15.若函数g(x)=sin(ωx+φ)在x=π/4处取得最小值，且周期为π，则φ的值为（）

A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/4

**五、填空题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。将答案填在答题卡对应位置）**

16.已知向量a=(1,2)，b=(3,-4)，则向量a+b的模长为________。

17.在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，若a=2，b=√3，C=π/3，则c=________。

18.若函数f(x)=x²-2x+3在区间[a,b]上的最大值为5，最小值为1，则(a+b)的最小值为________。

19.已知直线l₁:ax+y-1=0与直线l₂:x+ay-2=0互相垂直，则a的值为________。

20.执行如图所示的程序框图，输出的T的值为________。

**六、解答题（本大题共4小题，共50分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）**

21.（本小题满分12分）

已知函数f(x)=cos²x-sin²x+2sinx。

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）求f(x)在区间[-π/2,π/2]上的最大值和最小值。

22.（本小题满分12分）

在△ABC中，内角A、B、C的对边分别为a、b、c，且满足a²=b²+c²-bc。

（1）求角B的大小；

（2）若△ABC的面积为√3，求b的值。

23.（本小题满分12分）

在数列{cₙ}中，c₁=2，cₙ₊₁=cₙ+2n（n∈N*）。

（1）求证：{cₙ}是单调递增数列；

（2）若数列{dₙ}满足dₙ=cₙ/2ⁿ，求dₙ的通项公式。

24.（本小题满分14分）

如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是边长为2的正方形，PA⊥平面ABCD，PA=2，E为PC的中点，F为AD的中点。

（1）求证：平面BEF⊥平面PAC；

（2）求三棱锥P-EBF的体积。

**一、选择题答案**

1.C2.B3.A4.A5.B6.(2,2)7.108.5/89.1/210.2511.C12.A13.B14.B15.C

**二、填空题答案**

16.√20=2√517.√718.319.-120.6

**三、解答题答案**

11.B=π/6

证明：由余弦定理，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=(3²+2²-√7²)/(2×3×2)=1/2，

因为B∈(0,π)，所以B=π/6。

12.

（1）f'(x)=3x²-6x，令f'(x)=0，得x=0或x=2，

f''(x)=6x-6，f''(0)=-6<0，f''(2)=6>0，

所以f(x)在x=0处取得极大值，在x=2处取得极小值。

（2）f(x)在(0,2)上的值域为(-2,2)，

所以存在x₂∈(0,2)，使得f(x₂)=-f(x₁)，

即k=f(x₁)+f(x₂)∈(-4,4)。

13.

（1）证明：aₙ₊₁=2aₙ+1，所以aₙ₊₁+1=2(aₙ+1)，

令bₙ=aₙ+1，则bₙ₊₁=2bₙ，

所以{bₙ}是首项为2，公比为2的等比数列，

即{aₙ}是首项为1，公比为2的等比数列。

（2）bₙ=2ⁿ(a₁+1)=2ⁿ×2=2ⁿ⁺¹。

14.

（1）证明：因为AB⊥AD，AB⊥PA，AD⊥PA，

所以AD⊥平面PAB，AD⊥BE，

又因为PC⊥AD，所以PC⊥BE，

又因为BE⊥BC（正方形对边垂直），

所以BE⊥平面PBC，

又因为BE⊂平面ABE，

所以平面ABE⊥平面PBC。

（2）体积V=1/3×底面积×高=1/3×1/2×2×2×1=4/3。

**四、选择题答案**

11.A12.A13.B14.B15.C

**五、填空题答案**

16.√2617.218.319.120.12

**六、解答题答案**

21.

（1）f(x)=cos2x+2sinx，最小正周期T=π；

（2）令t=sinx，x∈[-π/2,π/2]，则t∈[-1,1]，

g(t)=2t-t²，对称轴t=1，

g(-1)=-3，g(1)=1，g(0)=0，

所以最大值为1，最小值为-3。

22.

（1）由余弦定理，cosB=(a²+c²-b²)/(2ac)=1/2，

因为B∈(0,π)，所以B=π/3；

（2）S=1/2acsinB=1/2×2×2×√3/2=√3，

所以b²=a²+c²-2accosB=a²+c²-ac=(a+c)²-3ac=4-3×2×2×1/2=1，

所以b=1。

23.

（1）证明：cₙ₊₁-cₙ=2n，

当n=1时，c₂-c₁=2，

当n≥2时，cₙ-cₙ₋₁=2(n-1)，

累加可得cₙ-c₁=2(1+2+…+(n-1))=n(n-1)，

所以cₙ=n²-n+1，

cₙ₊₁-(n+1)²-(n+1)+1=2n，

即cₙ₊₁-(n+1)²=2n，

所以{cₙ}是单调递增数列；

（2）dₙ=cₙ/2ⁿ=n²-n+1/2ⁿ。

24.

（1）证明：因为AB⊥AD，AB⊥PA，AD⊥PA，

所以AD⊥平面PAB，AD⊥BE，

又因为PC⊥AD，所以PC⊥BE，

又因为BC⊥BE，

所以BE⊥平面PAC，

又因为BE⊂平面BEF，

所以平面BEF⊥平面PAC；

（2）体积V=1/3×底面积×高=1/3×1/2×1×1×2=1/3。

**知识点分类总结**

1.集合与常用逻辑用语：集合的运算（交集、并集、补集），常用逻辑用语（充分条件、必要条件、全称量词、存在量词）。

2.函数与导数：函数的性质（单调性、周期性、奇偶性、对称性），函数的图像，导数的概念、几何意义、运算，利用导数研究函数的性质（极值、最值）。

3.数列：等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式，数列的递推关系，数列的极限。

4.解析几何：直线与圆的方程，圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程与性质，点到直线的距离，直线与圆的位置关系，直线与圆锥曲线的位置关系。

5.三角函数：任意角的概念，弧度制，三角函数的定义，三角函数的图像与性质，三角恒等变换，解三角形。

6.立体几何：空间几何体的结构特征，点、线、面之间的位置关系，空间向量及其应用，空间角与距离的计算。

7.概率与统计：古典概型、几何概型，随机变量及其分布，统计初步。

**各题型所考察学生的知识点详解及示例**

**一、选择题**

考察学生对基础知识的掌握程度和灵活运用能力。

示例：

（1）考察集合的运算，需熟练掌握集合的定义和运算规则；

（2）考察复数的模，需掌握复数的几何意义和模的计算公式；

（3）考察三角函数的周期，需掌握基本三角函数的周期公式；

（4）考察余弦定理，需掌握余弦定理的推导和应用；

（5）考察等差数列的性质，需掌握等差数列的前n项和公式和性质。

**二、填空题**

考察学生对基础知识的记忆和计算能力。

示例：

（1）考察向量的模，需掌握向量的坐标运算和模的计算公式；

（2）考察解三角形，需掌握正弦定理和余弦定理；

（3）考察函数的最值，需掌握函数的单调性和最值求法；

（4）考察直线的垂直关系，需掌握直线斜率的性质；

（5）考察程序框图，需掌握程序框图的执行流程和逻辑关系。

**三、解答题**

考察学生的综合运用能力和逻辑思维能力。

示例：

（1）考察三角函数的性质，需掌握三角函数的图像和性质，并利用导数研究函数的极值；

（2）考察解三角形，需掌握正弦定理和余弦定理，并利用三角形的面积公式；

（3）考察数列的递推关系，需掌握数列的通项公式和前n项和公式，并利用数列的性质；

（4）考察立体几何，需掌握空间向量的应用，并利用空间角和距离的计算公式。

**四、选择题**

同题型一，考察基础知识掌握程度和灵活运用能力。

示例：

（1）考察函数的极值，需掌握导数的应用和函数的极值求法；

（2）考察双曲线的性质，需掌握双曲线的方程和性质；

（3）考察等比数列的性质，需掌握等比数列的通项公式和性质；

（4）考察圆与直线的位置关系，需掌握圆的方程和直线的方程，并利用距离公式；

（5）考察三角函数的性质，需掌握三角函数的周期和最小正周期。

**五、填空题**

同题型二，考察基础知识记忆和计算能力。

示例：

（1）考察向量的坐标运算，需掌握向量的坐标表示和运算规则；

（2）考察解三角形，需掌握正弦定理和余弦定理；

（3）考察函数的最值，需