2025年高三数学期末梦想启航卷二

2025年高三数学期末梦想启航卷二2025年高三数学期末梦想启航卷二

姓名：______班级：______学号：______得分：______

（考试时间：90分钟，满分：100分）

1.选择题（本大题共5小题，每小题5分，共25分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题目数量：5

分值：5×5=25分

2.填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分。请将答案填在答题卡相应位置）

题目数量：4

分值：5×4=20分

3.解答题（本大题共5小题，共55分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：5

分值：55分

4.选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题目数量：4

分值：4×4=16分

5.填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分。请将答案填在答题卡相应位置）

题目数量：3

分值：4×3=12分

6.解答题（本大题共3小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：3

分值：35分

7.解答题（本大题共1小题，共13分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：1

分值：13分

---

**1.选择题（共25分）**

（1）若集合A={x|1<x<3}，B={x|x≤0或x≥2}，则A∩B=（）

A．（-∞，0）∪（2，+∞）B．（1，3）

C．（0，2）D．[1，3]

（2）若复数z满足|z|=1，且argz=π/3，则z的代数形式为（）

A．1/2+√3/2iB．√3/2-i/2

C．1/2-i√3/2D．-1/2+i√3/2

（3）函数f(x)=2cos²x-sin2x的值域为（）

A．[-1，3]B．[-3，1]

C．[-2，2]D．[-1，2]

（4）在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则c=（）

A．5B．√7C．√13D．7

（5）执行以下程序框图，若输入n=5，则输出S的值为（）

①S=0

②i=1

③S=S+i

④i=i+1

⑤若i≤n，则转③，否则输出S

A．15B．10C．1D．0

**2.填空题（共20分）**

（6）若直线y=kx-1与圆x²+y²=4相切，则k=______。

（7）等差数列{a_n}中，a₁=2，d=3，则a₅+a₈=______。

（8）执行如图所示的程序框图，输出S的值为______。

（9）在直角坐标系中，点P(a，b)关于直线y=x对称的点的坐标为______。

**3.解答题（共55分）**

（10）（10分）已知函数f(x)=x³-3x²+2。

（1）求f(x)的单调区间；

（2）若方程f(x)=k有且仅有一个实根，求k的取值范围。

（11）（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且a²=b²+c²-bc。

（1）求角B的大小；

（2）若b=√3，c=2，求△ABC的面积。

（12）（12分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=2a_n-1。

（1）求通项公式a_n；

（2）设b_n=√(a_n+1)，求{b_n}的前n项和T_n。

（13）（13分）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。

（1）求证：PC⊥BD；

（2）求二面角P-CD-A的余弦值。

**4.选择题（共16分）**

（14）若向量a=(1，k)，b=(3，-2)，且a∥b，则k=（）

A．-6B．6C．-2D．2

（15）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．1B．2C．3D．4

（16）若直线y=mx+1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且|AB|=√3，则m=（）

A．±√3/3B．±1C．±√3D．0

**5.填空题（共12分）**

（17）若sinα=1/2，且α∈(π/2，π)，则cosα=______。

（18）在△ABC中，若a=2，b=3，C=120°，则cosA=______。

（19）若数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，且S₅=16，则q=______。

**6.解答题（共35分）**

（20）（10分）已知函数f(x)=e^x-ax。

（1）求f(x)的极值；

（2）若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围。

（21）（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+b²-ab=c²。

（1）求cosC的值；

（2）若△ABC的周长为6，求△ABC的面积的最大值。

（22）（15分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AC=2，AA₁=1。

（1）求证：A₁B⊥BC；

（2）求二面角A₁-BC-A的余弦值；

（3）求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。

**7.解答题（共13分）**

（23）已知函数f(x)=sinx+cosx。

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若f(α)=√3/2，且α∈(0，π)，求α的值。

8.选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题目数量：4

分值：4×4=16分

9.填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分。请将答案填在答题卡相应位置）

题目数量：3

分值：4×3=12分

10.解答题（本大题共3小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：3

分值：35分

11.解答题（本大题共1小题，共13分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：1

分值：13分

12.选择题（本大题共4小题，每小题4分，共16分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的）

题目数量：4

分值：4×4=16分

13.填空题（本大题共3小题，每小题4分，共12分。请将答案填在答题卡相应位置）

题目数量：3

分值：4×3=12分

14.解答题（本大题共3小题，共35分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：3

分值：35分

15.解答题（本大题共1小题，共13分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤）

题目数量：1

分值：13分

---

**8.选择题（共16分）**

（17）若函数f(x)=logₐ(x+1)在(0，+∞)上单调递减，则a的取值范围是（）

A．(0，1)B．(1，+∞)C．(0，1)∪(1，+∞)D．[1，+∞)

（18）在等比数列{a_n}中，若a₃=4，a₅=16，则a₁的值为（）

A．1B．2C．4D．8

（19）若向量a=(2，3)，b=(-1，k)，且a⊥b，则k=（）

A．-2/3B．2/3C．-3/2D．3/2

（20）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．10B．15C．20D．25

**9.填空题（共12分）**

（21）若直线y=2x+b与圆x²+y²=5相切，则b²=______。

（22）在△ABC中，若a=3，b=4，C=60°，则sinA=______。

（23）若数列{a_n}的前n项和为S_n，且S_n=n²，则a₅=______。

**10.解答题（共35分）**

（24）（10分）已知函数f(x)=x²-4x+3。

（1）求f(x)的顶点坐标和对称轴；

（2）若方程f(x)=m有两个不相等的实根，求m的取值范围。

（25）（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²=b²+c²-bc。

（1）求角B的大小；

（2）若b=√3，c=2，求△ABC的面积。

（26）（15分）已知数列{a_n}的前n项和为S_n，且a₁=1，S_n=2a_n-1。

（1）求通项公式a_n；

（2）设b_n=√(a_n+1)，求{b_n}的前n项和T_n。

**11.解答题（共13分）**

（27）如图，在四棱锥P-ABCD中，底面ABCD是矩形，PA⊥平面ABCD，PA=AD=2，AB=1。

（1）求证：PC⊥BD；

（2）求二面角P-CD-A的余弦值。

**12.选择题（共16分）**

（28）若向量a=(1，k)，b=(3，-2)，且a∥b，则k=（）

A．-6B．6C．-2D．2

（29）执行如图所示的程序框图，输出的S值为（）

A．1B．2C．3D．4

（30）若直线y=mx+1与圆x²+y²=1相交于A，B两点，且|AB|=√3，则m=（）

A．±√3/3B．±1C．±√3D．0

（31）若函数f(x)=x³-3x²+2在x=1处取得极值，则f(x)的单调递增区间为（）

A．(-∞，1)B．(1，+∞)C．(-∞，1)∪(1，+∞)D．(-∞，+∞)

**13.填空题（共12分）**

（32）若sinα=1/2，且α∈(π/2，π)，则cosα=______。

（33）在△ABC中，若a=2，b=3，C=120°，则cosA=______。

（34）若数列{a_n}是首项为1，公比为q的等比数列，且S₅=16，则q=______。

**14.解答题（共35分）**

（35）（10分）已知函数f(x)=e^x-ax。

（1）求f(x)的极值；

（2）若f(x)在(0，+∞)上单调递增，求a的取值范围。

（36）（10分）在△ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c，且满足a²+b²-ab=c²。

（1）求cosC的值；

（2）若△ABC的周长为6，求△ABC的面积的最大值。

（37）（15分）如图，在直三棱柱ABC-A₁B₁C₁中，底面△ABC是等腰直角三角形，∠ABC=90°，AC=2，AA₁=1。

（1）求证：A₁B⊥BC；

（2）求二面角A₁-BC-A的余弦值；

（3）求点A₁到平面BCC₁B₁的距离。

**15.解答题（共13分）**

（38）已知函数f(x)=sinx+cosx。

（1）求f(x)的最小正周期；

（2）若f(α)=√3/2，且α∈(0，π)，求α的值。

**一试卷题型答案**

**1.选择题（共25分）**

（1）A

（2）A

（3）D

（4）A

（5）B

**2.填空题（共20分）**

（6）±2√2

（7）20

（8）15

（9）（b，a）

**3.解答题（共55分）**

（10）

（1）减区间（-∞，1），增区间（1，+∞）

（2）(-∞，-1)∪(2，+∞)

（11）

（1）B=60°

（2）√3

（12）

（1）a_n=2^n-1

（2）T_n=2^(n+1)-2-n√2

（13）

（1）证明略

（2）√2/2

**4.选择题（共16分）**

（14）B

（15）C

（16）A

**5.填空题（共12分）**

（17）-√3/2

（18）-1/2√7

（19）2

**6.解答题（共35分）**

（20）

（1）极小值f(2)=-2

（2）a≤-2

（21）

（1）cosC=1/2

（2）3√3/4

（22）

（1）证明略

（2）√2/2

（3）√2/2

**7.解答题（共13分）**

（23）

（1）T=2π

（2）α=π/6或5π/6

**二知识点分类总结**

1.集合与常用逻辑用语

-集合的交、并、补运算

-充分条件、必要条件

2.函数与导数

-函数的单调性、奇偶性、周期性

-导数的定义、几何意义、应用（单调性、极值、最值）

3.三角函数

-任意角三角函数的定义

-三角恒等变换（和差角公式、倍角公式、半角公式）

-函数y=Asin(ωx+φ)的图像和性质

4.数列

-等差数列、等比数列的通项公式、前n项和公式

-数列的递推关系

5.解析几何

-直线与圆的方程及位置关系

-圆锥曲线（椭圆、双曲线、抛物线）的方程及性质

6.立体几何

-空间点、线、面的位置关系

-异面直线所成角、线面角、二面角

-空间向量在立体几何中的应用

7.概率与统计

-概率的计算

-数据分析（平均数、方差等）

**三各题型所考察学生的知识点详解及示例**

**1.选择题**

-考察基础概念和运算能力

-示例：（1）考察集合运算，需熟练掌握集合交、并、补的定义和运算规则

-示例：（14）考察向量平行条件，需掌握向量平行的坐标表示

**2.填空题**

-考察基本公式和计算能力

-示例：（6）考察直线与圆相切条件，需用到圆心到直线距离等于半径

-示例：（17）考察同角三角函数基本关系，需用到sin²α+cos²α=1

**3.解答题**

-考察综合运用知识解决问题的能力

-示例：（10）考察导数在函数研究中的应用，需求导、判断单调性、求极值

-示例：（13）考察立体几何中的线面关系，需用空间向量法证明垂直关系

**4.选择题**

-考察基础概念和简单计算

-示例：（15）考察程序框图，需理解循环结构并计算输出结果

**5.填空题**

-考察基本公式和记忆能力

-示例：（18）考察余弦定理，需掌握余弦定理的变形公式

**6.解答题**

-考察综合运用知识解决问题的能力

-示例：（20）考察导数在函数研究中的应用，需求导、判断单调性、求参数范围

-示例：（22）考察立体几何中的线面关系和距离计算，需用空间向量法解决

**7.解答题**