四川省泸州市叙永县向林镇向林中学2025-2026学年上学期九年级数学期中考试题(含答案)

向林中学2025年秋期九年级数学期中考试题一、选择题（36分）1.2025年3月21日，神舟十九号航天员乘组圆满完成第三次出舱活动.如图(1)为中国空间站示意图，其中的核心舱可看作由两个圆柱体组成.由核心舱抽象出的几何体如图(2)所示，则这个几何体的俯视图为(

)A.B.C.D.2.反比例函数y=−5x的图象在(

)A.第一、二象限 B.第二、三象限 C.第一、三象限 D.第二、四象限3.假如小蚂蚁在如图所示的地砖上自由爬行，它最终停在黑色方砖上的概率是(

)A.13

B.49

C.124.如图，直线l1//l2//l3，AC=6，DE=3，EF=2A.3

B.125

C.165

5.如图，身高1.6米的小慧同学从一盏路灯下的B处向前走了12米到达点C处时，发现自己在地面上的影子CE的长是3米，则路灯AB的高为(

)A.5米

B.6.4米

C.8米

D.10米6.如图，在边长为1的正方形网格上有两个相似三角形△ABC和△EDF，则∠ABC+∠ACB的度数为(

)A.135∘ B.90∘ C.45∘7.如图，四边形ABCD内接于⊙O，AB=BC，连接BD，若∠ABC=70∘，则∠BDC的度数为A.70∘

B.65∘

C.55∘8.一名男生推铅球，铅球行进高度y(单位：m)与水平距离x(单位：m)之间的关系是y=−112x2A.12m B.10m C.4m D.3m9.如图，在△ABC中，∠C=50∘，将△ABC绕点A逆时针旋转到△A′B′C′，当点B′落在边BC上时，AC′//BC，则∠B的度数为(

)A.50∘

B.65∘

C.70∘10.我国古代著作《四元玉鉴》记载“买椽多少”问题：“六贯二百一十钱，倩人去买几株椽．每株脚钱三文足，无钱准与一株椽．”其大意为：现请人代买一批椽，这批椽的价钱为6210文．如果每株椽的运费是3文，那么少拿一株椽后，剩下的椽的运费恰好等于一株椽的价钱，试问6210文能买多少株椽？设这批椽的数量为x株，则符合题意的方程是(

)A.3(x+1)x=6210 B.3

(x−1)=6210

C.(3x−1)x=6210 D.3(x−1)x=621011.已知抛物线y=ax2−2ax+a−3(a为常数，a≠0)的图象与x轴有两个交点，且这两个交点分别位于y轴两侧，下列结论正确的是A.图象的开口向下 B.当x>0时，y随x的增大而增大

C.函数的最小值小于−3 D.当x=2时，y<012.正方形ABCD，AB=4cm，对角线AC，BD相交于点O，动点P从点O出发，以2cm/s的速度沿OC、边CB向终点B运动；动点Q从点C同时出发，以1cm/s的速度沿边CD向终点D运动.规定其中一个动点到达终点时，另一个动点也随之停止运动.设运动时间为ts.当t=1s时，点P，Q的位置如图所示.有下列结论：①当t=3s时，△CPQ的面积为322cm2；②在运动过程中，△CPQ的面积随t值的增大而增大；③在运动过程中，t有两个不同的值满足A.0 B.1 C.2 D.3二、填空题（12分）13.已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x−m=0的两个实数根，其中x1=1，则14.如图，AB是⊙O的直径，C，D在⊙O上，若∠AOD=40∘，则∠BCD的度数为

(度).15.把抛物线y=2x2+1向左平移1个单位长度，再向下平移3个单位长度，得到的抛物线的解析式为

16.在平面直角坐标系中，点A在y轴的正半轴上，AC平行于x轴，点B，C的横坐标都是4，BC=3，点D在AC上，且其横坐标为1，若反比例函数y=kx(x>0)的图象经过点B，D，则k的值是

.三、解答题（52分）17.解下列方程；

(Ⅰ)(x+6)2−9=0；

(Ⅱ18.小宇要对一幅书法作品进行装裱，装裱后如图所示，上、下空白处分别称为天头和地头，左、右空白处统称为边.已知原作品的长为60cm，宽为24cm，在装裱后左右两边的边宽相等，天头长与地头长也相等，且均为一边宽的5倍，如果在装裱后，原作品的面积恰好是装裱后作品总面积的920，那么装裱后左右两边的边宽分别是多少？19.已知AB是⊙O的直径，延长弦AC到点D，使CD=AC，连接DB并延长与⊙O相交于点E.

(Ⅰ)如图①，若∠BEC=32∘，求∠ABC和∠D的大小；

(Ⅱ)如图②，若CE⊥AB，求∠ABC和∠D的大小.

20.已知AB是⊙O的直径，AT是⊙O的切线，AT=10.

(Ⅰ)如图①，若∠ATB=45∘，求直径AB的长；

(Ⅱ)如图②，点C是OB上一点，若∠ATC=45∘，TC与⊙O相交于点D，过点D作弦DE//AT，与AB相交于点F，DE=12，求AF和直径AB的长.21.通常情况下，人服药后药会被人体吸收，同时人体血液中的药物浓度(简称血药浓度)也会随着时间的推移而发生波动.经研究发现，血药浓度yμg/mL与时间xh满足某种函数关系.假设某位患者第一次服用某药后的血药浓度y与时间x近似满足函数关系y=a(x−h)2+k(a,h,k为常数，a≠0)，如表格记录了该患者第一次服用该药后的血药浓度y与时间xh012345…yμg/mL0712151615…请根据相关信息，回答下列问题：

(Ⅰ)①填空：该患者第一次服用该药后______h的血药浓度最高为______μg/mL；

②求该患者第一次服用该药后的血药浓度y关于时间x的函数解析式；

(Ⅱ)两次分别服用相同剂量的该药产生的体内血药浓度随时间的推移而发生的波动相同.若两次服药后的血药浓度波动有重叠时，血药总浓度是这两次血药浓度的和，当血药总浓度超过24μg/mL时，该药会引起中毒.该患者第一次和第二次服药间隔的时间为3h，判断该患者是否存在中毒风险，并说明理由.22.【问题背景】在复习角平分线性质的时候，聪明的龙龙同学发现关于三角形角平分线的一个结论：

如图1，已知AD是三角形ABC的角平分线，可以得到ABAC=BDCD.龙龙同学的证明思路是这样的：如图2过点C作CE//AB∵AD是三角形ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵CE//AB，

∴∠CED=∠BAD，

∴∠CED=∠CAD，

∴①，∵∠BAD=∠CED，∠ADB=∠EDC，

∴②，

∴ABCE=BD(1)请你帮龙龙完善证明过程：①______，②______；

(2)请应用(1)的结论解决下列问题：

①如图3，已知AE，AD分别是△ABC的中线和高线，若∠BAC=∠CAD，AD=2，CD=1，求AB2−AE2的值；

②如图4，在Rt△ABC中，∠BAC=90∘，AD平分∠BAC交BC于点D，AE⊥BC，垂足为点E.若AC=2，CD：BD=1：3，点F在BA的延长线上，若△CAF与△AED23.在平面直角坐标系中，O为原点，直角△OAB的顶点A(0,23)，点B在x轴的正半轴，∠ABO=30∘，等腰直角△OCD，OC=OD，点C在y轴的负半轴，点D在x轴的正半轴，CD=OB.

(Ⅰ)填空：如图①，点B的坐标为______，点C的坐标为______；

(Ⅱ)将等腰直角△OCD绕点O逆时针旋转，得到△OC′D′，点C，D的对应点分别为C′，D′，记旋转角为α.

①如图②，当点D′在边AB上时，求旋转角α的大小和BD′的长；

②连接AC′，点Q为AC′的中点，点P为AB的中点，连接PQ，求PQ的取值范围(直接写出结果即可24.已知抛物线y=ax2+bx+c(a,b,c为常数，a<0，c>0)与x轴交于点A和点B(c,0)(点A在点B的左侧)，与y轴交于点C，点E在线段BC(点B除外)上运动，将线段OE绕点O逆时针旋转90∘得到线段OH.

(Ⅰ)当c=4时.

①若点A的坐标为(−1,0)，求该抛物线顶点的坐标；

②若BE=2，且点H在抛物线上，求抛物线的解析式；

(Ⅱ)当a=−12时，点P为第一象限的动点，∠OPB=90∘，连接PH.当参考答案一、选择题：1.A

2.D

3.C

4.D

5.C

6.C

7.C

8.B

9.B

10.D

11.D

12.B

二、填空题：13.−3

14.110

15.y=2x16.4

三、解答题：17.解：(Ⅰ)∵(x+6)2−9=0，

∴(x+6)2=9，

则x+6=3或x+6=−3，

解得x1=−3，x2=−9；

(Ⅱ)整理，得：x2+2x−3=0，

∴(x+3)(x−1)=0，18.解：设装裱后左右两边的边宽均为xcm，则天头长与地头长均为5xcm，

由题意得：60×24=920(60+5x+5x)(24+x+x)，

整理得：x2+18x−88=0，

解得：x1=4，x19.解：(1)∵AB是⊙O的直径，

∴BC⊥AD，

由条件可得BC垂直平分AD，

∴BA=BD，

∴∠BAD=∠D；

∵∠BEC=32∘，

∴∠BAD=32∘=∠D；

∴∠ABC=58∘；

(2)由条件可知∠BCE+∠ACE=∠BAC+∠ACE，

∴∠BCE=∠BAC；

∵∠BEC=∠BAC，

∴∠BCE=∠BEC，

∴BE=BC，△BEC是等腰三角形，

∴∠EBA=∠CBA；

由(1)可知：∠DBC=∠CBA，

∴∠EBA=∠CBA=∠DBC，

∵∠EBA+∠CBA+∠DBC=180∘，

∴∠BAD=90∘−∠ABC=30∘=∠D.

20.解：(1)∵AT是⊙O的切线，

∴AB⊥AT，即∠BAT=90∘；

∵∠ATB=45∘，

∴∠ABT=45∘，

∴AB=AT=10；

(2)如图②，点C是OB上一点，∠ATC=45∘，点C是OB上一点，若∠ATC=45∘，连接OD，

∴∠BAT=90∘，

∴∠ACT=45∘=∠ATC，

∴AC=AT=10，

∵DE//AT，

∴AB⊥DE，即∠CFD=90∘，

∵∠ACT=45∘，

∴∠CDF=45∘=∠ACT，

∴CF=DF，

∵AB是⊙O的直径，AB⊥DE，DE=12，

∴DF=12DE=6=CF，

∴AF=AC−CF=4，

设半径为r，则OF=r−4，

在直角三角形DOF中，由勾股定理得：OF2+DF2=OD2，

∴(r−4)2+62=r2，

解得：r=132，

∴AB=2r=13.

21解：(Ⅰ)①由表格可知二次函数的顶点坐标为(4,16)，则该患者第一次服用该药后4h的血药浓度最高为16μg/mL；

故答案为：4，16；

②由①知y与x的函数关系式为y=a(x−4)2+16，

将点(1,7)代入得7=a(1−4)2+16，

解得a=−1，

则第一次服药后y与x的函数解析式为y=−(x−4)2+16；

(Ⅱ)患者存在中毒风险，理由如下：

∵患者第一次和第二次服药间隔的时间为3h，

∴血药总浓度为y=−(x−4)2+16+[−(x−7)2+16]，

整理得y=−2x2+22x−33=−2(x−112)2+552，

∵−2<0，

∴当x=112时，y有最大值为552，

∵552=27.5>24，

∴该患者第一次和第二次服药间隔的时间为3h，存在中毒风险．

22.(1)证明：过点C作CE//AB，交AD的延长线于点E，

∵AD是三角形ABC的角平分线，

∴∠BAD=∠CAD，

∵CE//AB，

∴∠CED=∠BAD，

∴∠CED=∠CAD，

∴CE=AC，

∵∠BAD=∠CED，∠ADB=∠EDC，

∴△ABD∽△ECD，

∴ABCE=BDCD，

∴ABAC=BDCD.

故答案为：CE=AC，△ABD∽△ECD；

(2)解：①如图，过点B作BF//AD交AC的延长线于点F，

∵BF//AD，

∴△BFC∽△DAC，∠F=∠CAD，

∴BFBC=ADCD=2，

∴BF=2BC，

∵∠BAC=∠CAD，

∴∠BAC=∠F，

∴BF=AB，

设BC=x，则BF=AB=2x，

在Rt△ABD中，由勾股定理得，

AB2=AD2+BD2，

即4x2=22+(x+1)2，

解得x=53或x=−1(舍去)，

∴BC=53，

∴BD=BC+CD=53+1=83，

∵AE是△ABC的中线，

∴CE=12BC=56，

∴DE=CE+CD=56+1=116，

∵AD是△ABD与△AED的高，

∴△ABD与AED都是直角三角形，

∴AB2=AD2+BD2，AE2=AD2+DE2，

∴AB2−AE2=BD2−DE2=(83)2−(116)2=154；

②由(1)得CDBD=ACAB，

∵CD：BD=1：3，

∴ACAB=13，

∵AC=2，

∴AB=6，

在Rt△ABC中，

∵AB=6，AC=2，

∴BC=AB2+AC2=210，

∵12AE⋅BC=12AB⋅AC，

∴AE=3105，

在Rt△ACE中，

∵AC=2，AE=3105，

∴CE=AC2−AE2=105，

∵BC=210，CD：BD=1：3，

∴CD=14BC=102，

∴DE=CD−CE=31010.

i)若△CAF∽△AED，

∴ACAE=AFDE，即23105=AF31010，

解得AF=1；

ii)若△FAC∽△AED，

∴ACDE=AFAE，即231010=AF3105，

解得AF=4；

综上所述，AF的值为1或4.

23.解：(Ⅰ)∵