福建连城县第一中学2025-2026学年高二上学期12月月考数学试题（含答案）

连城一中2025—2026学年第一学期月考2高二数学试题时间：120分钟总分：150分本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分。第Ⅰ卷（选择题，共58分）一、单选题（本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.）1．已知直线经过点，则直线的倾斜角为（

）A． B． C． D．2．设等差数列的前项和为，若，，则（

）A．1 B．2 C．3 D．5A． B． C． D．4．已知直线过圆的圆心，且与直线垂直，则的方程为（

）A．B．C．D．5．从某个角度观察篮球（如图1），可以得到一个对称的平面图形，如图2所示，篮球的外形形状为圆O，将篮球表面的粘合线看成坐标轴和双曲线的一部分，若坐标轴和双曲线与圆O的交点将圆O的周长八等分，，视AD所在直线为x轴，则双曲线的方程为（

）A．B．C．D．6．已知数列中，，，则下列各式正确的是（

）A．B．C．D．7．直线与曲线恰有两个不同的公共点，则实数b的取值范围是（

）A． B． C． D．8．蒙日是法国著名的数学家，他首先发现椭圆的两条相互垂直的切线的交点的轨迹是圆，这个圆被称为“蒙日圆”，且其方程为．已知椭圆的焦点在x轴上，为椭圆E上任意两点，动点P在直线上．若恒为锐角，则椭圆E离心率的取值范围为（

）A． B． C． D．二、多选题（本题共3小题，每小题6分，共18分。在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求。全部选对的得6分，有选错的得0分，部分选对的得部分分）9．数列的前项和为，已知，则下列说法正确的是（

）A．是递增数列 B．C．当时， D．若取得最大值，则10．古希腊著名数学家阿波罗尼斯发现了平面内到两个定点，的距离之比为定值的点的轨迹是圆，此圆被称为“阿波罗尼斯圆”．在平面直角坐标系中，已知，点P满足，设点的轨迹为圆，则下列说法正确的是（

）A．圆的方程是B．若，满足圆的方程，则的最小值是C．若圆上存在4个点到直线的距离为，则D．过直线上的一点向圆引切线，，则四边形的面积的最小值为11．已知双曲线C：（），若圆与双曲线C的渐近线相切，则（

）A．双曲线C的实轴长为B．存在两个圆，使得与这两个圆都外切的圆的圆心在双曲线C的一支上C．点P为双曲线C右支上任意一点，则点P到直线的距离D．直线与C交于A，B两点，点D为动弦AB的中点，则D在一条定直线上三、填空题（本题共3小题，每小题5分，共15分.）12．过点且与直线平行的直线方程为.13．已知双曲线的右焦点为F，过点F且斜率为的直线与C的右支相交于A，B两点，则C的离心率的取值范围为14．已知数列满足：，且数列是单调递增数列，则实数的取值范围是.四、解答题（本题共5小题，共77分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）15．已知抛物线的焦点为F，点为抛物线上一点，且.(1)求抛物线的方程；(2)不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，若，求m的值.16．已知数列，前项和为，(1)若是等差数列，求数列的前项和；(2)若；17．已知圆经过和，且圆心在直线上．(1)求圆的方程；(2)若直线l过点，与圆交于M，N两点，，求直线l的方程．18．已知数列的前项和为，且满足.(1)求的通项公式；(2)在等差数列中，，，求数列的前n项和.(3)记[x]表示不超过的最大整数，若，证明.19．已知两点的坐标分别为，直线相交于点，它们的斜率之积是．(1)求点的轨迹的方程；(2)过点的直线与交于两点．(ⅰ)直线交于点N，求证：点N在定直线上；(ⅱ)若直线分别与直线相交于两点，求的值．连城一中2025—2026学年第一学期月考2高二数学参考答案题号1234567891011答案BACCADBDBCACDABD12．13．14．8．【详解】由题意可知，圆即为椭圆蒙日圆，因为、为椭圆上任意两点，动点满足恒为锐角，则点在圆外，又因为动点在直线上，则直线与圆相离，所以，解得，则，即，因此，椭圆的离心率的取值范围是.故选：D.11．【详解】双曲线的渐近线方程是，圆的圆心是，半径是1，则，（舍去），故实轴长为，故A正确；由A知，，，即双曲线焦点为，存在圆，设动圆圆心为，由动圆与两圆都外切可得：，所以只需存在，则点的轨迹在双曲线的一支上，故B正确；因为直线与双曲线的渐近线平行，而两条平行线间的距离为，所以双曲线右支上点P到直线的距离，故C错误；设，则由，相减可得：，所以，即，所以D在一条定直线上，故D正确.故选：ABD14：【详解】由题可得，，又，是首项为2，公比为2的等比数列，，，，又，数列是单调递增数列，，且对恒成立，.15.【详解】（1）点为抛物线上一点，且，根据抛物线的定义可得，解得，抛物线的标准方程为.................................................5分（2）不过原点的直线l：与抛物线交于不同两点P，Q，设，联立得，得，，解得.由韦达定理，得，，...................................................8分又，，又两点P，Q在直线l：上，故上式化为，化简得，把韦达定理代入，得，解得或，直线l不过原点，，故m的值为......................................................................................13分16.【详解】（1）设等差数列公差为，由题意，所以，...............................3分所以；................................................7分（2）...........................................................................................................................................15分17.【详解】（1）设圆的方程为，因为圆C经过和，且圆心在直线上，所以，解得：，所以圆C的方程为：．................................................7分（2），且=弦长，①当l斜率不存在时，l的方程为，易知此时被圆C截得的弦长为2，符合题意．②当l斜率存在时，设l的方程为，即，又直线l被圆C所截得的弦长为2，所以，则．所以，解得，所以直线l的方程为，即．综上，l的方程为或．................................................15分

18.【详解】（1）①，当时，，解得，当时，②，式子①-②得，即，故为首项为2，公比为2的等比数列，所以；.....................................5分（2）由（1）知，，，设的公差为，则，解得，所以，

两式作差得：

................................................10分（3），是递减数列，

当时，；当时，；当时，；

当时，

当时，

当时，

综上所述......................................................................................................17分19.【详解】（1）设，则直线的斜率，直线的斜率，因为直线和直线的斜率乘积为，所以，整理的方程为．................................................5分（2）依题意，直线的斜率不为0，设的方程为．由得，设，则，解得，，直线的方程为，直线的方程为直线交于点，则................................................11分(ⅱ)方法一：直线的方程为，直线的方程为，令得，，所以．所以，即的值为1．......................................................................................17分方法二：直