2026届陕西省西安市西安中学高二数学第一学期期末经典试题含解析

2026届陕西省西安市西安中学高二数学第一学期期末经典试题注意事项1．考生要认真填写考场号和座位序号。2．试题所有答案必须填涂或书写在答题卡上，在试卷上作答无效。第一部分必须用2B铅笔作答；第二部分必须用黑色字迹的签字笔作答。3．考试结束后，考生须将试卷和答题卡放在桌面上，待监考员收回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．空间四点共面，但任意三点不共线，若为该平面外一点且，则实数的值为（）A. B.C. D.2．已知，是双曲线的左、右焦点，点A是的左顶点，为坐标原点，以为直径的圆交的一条渐近线于、两点，以为直径的圆与轴交于两点，且平分，则双曲线的离心率为（）A. B.2C. D.33．已知二次函数交轴于，两点，交轴于点.若圆过，，三点，则圆的方程是（）A. B.C. D.4．已知函数的值域为，则实数的取值范围是（）A. B.C. D.5．下列关于函数及其图象的说法正确的是（）A.B.最小正周期为C.函数图象的对称中心为点D.函数图象的对称轴方程为6．已知向量，满足条件，则的值为（）A.1 B.C.2 D.7．已知、分别是双曲线的左、右焦点，为一条渐近线上的一点，且，则的面积为（）A. B.C. D.18．《九章算术》是我国古代的数学巨著，书中有如下问题：“今有大夫、不更、簪褭、上造、公士，凡五人，共出百銭.欲令高爵出少，以次渐多，問各幾何？”意思是：“有大夫、不更、簪褭、上造、公士（爵位依次变低）5个人共出100钱，按照爵位从高到低每人所出钱数成递增的等差数列，这5个人各出多少钱？”在这个问题中，若公士出28钱，则不更出的钱数为（）A.14 B.16C.18 D.209．曲线上的点到直线的距离的最小值是（）A.3 B.C.2 D.10．函数在单调递增的一个必要不充分条件是（）A. B.C. D.11．丹麦数学家琴生（Jensen）是世纪对数学分析做出卓越贡献的巨人，特别是在函数的凸凹性与不等式方面留下了很多宝贵的成果.设函数在上的导函数为，在上的导函数为，在上恒成立，则称函数在上为“凹函数”.则下列函数在上是“凹函数”的是（）A. B.C. D.12．设等差数列的前项和为，已知，，则的公差为（）A.2 B.3C.4 D.5二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．过圆上一点的圆的切线的一般式方程为________14．过抛物线：的焦点的直线交于，两点，若，则线段中点的横坐标为______15．双曲线的焦点在圆上，圆O与双曲线C的渐近线在第一、四象限分别交于P，Q两点满足（其中O是坐标原点），则的面积是_________16．由曲线围成的图形的面积为_______________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）解答下列两个小题：（1）双曲线：离心率为，且点在双曲线上，求的方程；（2）双曲线实轴长为2，且双曲线与椭圆的焦点相同，求双曲线的标准方程18．（12分）已知函数，.（1）当时，求不等式的解集；（2）若在上恒成立，求取值范围.19．（12分）如图，四边形是矩形，平面平面，为中点，，，（1）证明：平面平面；（2）求二面角的余弦值20．（12分）某省食品药品监管局对15个大学食堂“进货渠道合格性”和“食品安全”进行量化评估，满分为10分，大部分大学食堂的评分在7~10分之间，以下表格记录了它们的评分情况：分数段食堂个数1383（1）现从15个大学食堂中随机抽取3个，求至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率；（2）以这15个大学食堂的评分数据评估全国的大学食堂的评分情况，若从全国的大学食堂中任选3个，记X表示抽到评分不低于9分的食堂个数，求X的分布列及数学期望.21．（12分）在等差数列中，已知公差，前项和(其中)（1）求；（2）求和：22．（10分）已知动点在椭圆：（）上，，为椭圆左、右焦点．过点作轴的垂线，垂足为，点满足，且点的轨迹是过点的圆（1）求椭圆方程；（2）过点，分别作平行直线和，设交椭圆于点，，交椭圆于点，，求四边形的面积的最大值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、A【解析】由空间向量共面定理构造方程求得结果.【详解】空间四点共面，但任意三点不共线，，解得：.故选：A.2、B【解析】由直径所对圆周角是直角，结合双曲线的几何性质和角平分线定义可解.【详解】由圆的性质可知，，，所以，因为，所以又因为平分，所以，由，得，所以，即所以故选：B3、C【解析】由已知求得点A、B、C的坐标，则有AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，由，可求得圆M的半径和圆心，由此求得圆的方程.【详解】解：由解得或，所以，又令，得，所以，因为圆过，，三点，所以AB的垂直平分线必过圆心，所以设圆的圆心为，所以，即，解得，所以圆心，半径，所以圆的方程是，即，故选：C4、D【解析】求出函数在时值的集合，函数在时值的集合，再由已知并借助集合包含关系即可作答.【详解】当时，在上单调递增，，，则在上值的集合是，当时，，，当时，，当时，，即在上单调递减，在上单调递增，，，则在上值的集合为，因函数的值域为，于是得，则，解得，所以实数的取值范围是.故选：D5、D【解析】化简，利用正弦型函数的性质，依次判断，即可【详解】∵∴，A选项错误；的最小正周期为，B选项错误；令，则，故函数图象的对称中心为点，C选项错误；令，则，所以函数图象的对称轴方程为，D选项正确故选：D6、A【解析】先求出坐标，进而根据空间向量垂直的坐标运算求得答案.【详解】因为，所以，解得.故选：A.7、A【解析】先表示出渐近线方程，设出点坐标，利用，解出点坐标，再按照面积公式求解即可.【详解】由题意知，双曲线渐近线方程为，不妨设在上，设，由得，解得，的面积为.故选：A.8、B【解析】由题可知这是一个等差数列，前项和，，列式求基本量即可.【详解】设每人所出钱数成等差数列，公差为，前项和为，则由题可得，解得，所以不更出的钱数为.故选：B9、D【解析】求出函数的导函数，设切点为，依题意即过切点的切线恰好与直线平行，此时切点到直线的距离最小，求出切点坐标，再利用点到直线的距离公式计算可得；【详解】解：因为，所以，设切点为，则，解得，所以切点为，点到直线的距离，所以曲线上的点到直线的距离的最小值是；故选：D10、D【解析】求出导函数，由于函数在区间单调递增，可得在区间上恒成立，求出的范围，再根据充分必要条件的定义即可判断得解.【详解】由题得，函数在区间单调递增，在区间上恒成立，而在区间上单调递减，选项中只有是的必要不充分条件.选项AC是的充分不必要条件，选项B是充要条件.故选：D11、B【解析】根据“凹函数”的定义逐项验证即可解出【详解】对A，，当时，，所以A错误；对B，，在上恒成立，所以B正确；对C，，，所以C错误；对D，，，因为，所以D错误故选：B12、B【解析】由以及等差数列的性质，可得的值，再结合即可求出公差.【详解】解：，得，，又，两式相减得，则.故选：B.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】求出过切线的半径所在直线斜率，由垂直关系得切线斜率，然后得直线方程，现化为一般式【详解】圆心为，，所以切线的斜率为，切线方程为，即故答案为：【点睛】本题考查求过圆上一点的圆的切线方程，利用切线性质求得斜率后易得直线方程14、【解析】根据题意，作出抛物线的简图，求出抛物线的焦点坐标以及准线方程，分析可得为直角梯形中位线，由抛物线的定义分析可得答案【详解】如图，抛物线的焦点为，准线为，分别过，作准线的垂线，垂足为，，则有过的中点作准线的垂线，垂足为，则为直角梯形中位线，则，即，解得.所以的横坐标为故答案为：15、【解析】根据双曲线的焦点在圆上可求出的值，设线段与轴的交点坐标为，进而根据求出的坐标，代入圆中，求出的值，即可求出结果.【详解】因为双曲线的焦点在圆上，所以，设线段与轴的交点坐标为，结合双曲线与圆的对称性可知为线段的中点，又因为，即，且，则，又因为直线的方程为，所以，又因为在圆上，所以，又因为，则，所以，从而，故,故答案为：.16、【解析】当时，曲线表示的图形为以为圆心，以为半径的圆在第一象限的部分，所以面积为，根据对称性，可知由曲线围成的图形的面积为考点：本小题主要考查曲线表示的平面图形的面积的求法，考查学生分类讨论思想的运用和运算求解能力.点评：解决此题的关键是看出所求图形在四个象限内是相同的，然后求出在一个象限内的图形的面积即可解决问题.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）由可得，再将点代入方程，联立解出答案，可得答案.（2）先求出椭圆的焦点，则双曲线的焦点在轴上，由条件可得，且，从而得出答案.详解】（1）由，得，即，又，即，双曲线的方程即为，点坐标代入得，解得所以，双曲线的方程为（2）椭圆的焦点为，设双曲线的方程为，所以，且，所以，所以，双曲线的方程为18、（1）或；（2）.【解析】（1）解不含参数的一元二次不等式即可求出结果；（2）二次函数的恒成立问题需要对二次项系数是否为0进行分类讨论，即可求出结果.【详解】（1）当时，，即，解得或，所以，解集为或.（2）因为在上恒成立，①当时，恒成立；②当时，，解得，综上，的取值范围为.19、（1）证明见解析；（2）【解析】(1)利用面面垂直的性质，证得平面，进而可得，平面即可得证；(2)在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，以A为原点建立空间直角坐标系，借助空间向量而得解.【详解】（1）因为，为中点，所以，因为是矩形，所以，因为平面平面，平面平面，平面，所以平面，因为平面，所以，又，平面，，所以平面，又平面，所以平面平面；（2）在平面ABC内过点A作Ax⊥AB，由（1）知，平面，故以点A为坐标原点，分别以，，的方向为轴，轴，轴的正方向，建立空间直角坐标系，如图：则，，，，，则，所以，，，，由（1）知，为平面的一个法向量，设平面的法向量为，则，即，令，则，，所以，所以，因为二面角为锐角，则二面角的余弦值为.【点睛】思路点睛：二面角大小求解时要注意结合实际图形判断所求角是锐角还是钝角20、（1）（2）分布列见解析，【解析】（1）利用古典概型的概率公式可求概率.（2）由题设可得，故利用二项分布可求的分布列，利用公式可求其期望.【小问1详解】设至多有1个大学食堂的评分不低于9分为事件，则.所以至多有1个大学食堂的评分不低于9分的概率为.【小问2详解】任意一个大学食堂，其评分不低于9分的概率为，故，所以，，，，的分布列为：0123.21、（1）12（2）18【解析】（1）根据已知的,利用等差数列的通项公式和前n项和公式即可列式求解；（2）由第（1）问中求解出的的通项公式，要求前12项绝对值的和，可以发现，该数列前6项为正项，后6项为负项，因此在算和的时候，后6项和可以取原通项公式的相反数即可计算，即为，然后再加上前6项和，即为要求的前12项绝对值的和.【小问1详解】由题意可得，在等差数列中，已知公差，前项和所以，解之得，所以n=12【小问2详解】由（1）可知数列{an}的通项公式为，所以即22、（1）；（2）【解析】(1)设点和，由题意可得点的轨迹方程，将点Q的坐标代入T的方程计