天津南开中学2026届高一上数学期末学业水平测试试题含解析

天津南开中学2026届高一上数学期末学业水平测试试题注意事项1．考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回．2．答题前，请务必将自己的姓名、准考证号用0．5毫米黑色墨水的签字笔填写在试卷及答题卡的规定位置．3．请认真核对监考员在答题卡上所粘贴的条形码上的姓名、准考证号与本人是否相符．4．作答选择题，必须用2B铅笔将答题卡上对应选项的方框涂满、涂黑；如需改动，请用橡皮擦干净后，再选涂其他答案．作答非选择题，必须用05毫米黑色墨水的签字笔在答题卡上的指定位置作答，在其他位置作答一律无效．5．如需作图，须用2B铅笔绘、写清楚，线条、符号等须加黑、加粗．一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1．已知函数的单调区间是，那么函数在区间上（）A.当时，有最小值无最大值 B.当时，无最小值有最大值C.当时，有最小值无最大值 D.当时，无最小值也无最大值2．若函数为上的奇函数，则实数的值为（）A. B.C.1 D.23．最小正周期为，且在区间上单调递增的函数是（）A.y=sinx+cosx B.y=sinx-cosxC.y=sinxcosx D.y=4．已知集合，a=3．则下列关系式成立的是A.aAB.aAC.{a}AD.{a}∈A5．若a2＋b2＝2c2（c≠0），则直线ax＋by＋c＝0被圆x2＋y2＝1所截得的弦长为A. B.1C. D.6．已知集合，，若，则实数a值的集合为（）A. B.C. D.7．已知函数若方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），则的取值范围是（）.A. B.C. D.8．已知点．若点在函数的图象上，则使得的面积为2的点的个数为A.4 B.3C.2 D.19．已知全集，集合，集合，则集合为A. B.C. D.10．定义在上的偶函数的图象关于直线对称，当时，．若方程且根的个数大于3，则实数的取值范围为（）A. B.C. D.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11．函数的单调递增区间为_____________12．若xlog23＝1，则9x+3﹣x＝_____13．函数f(x)＝log2(x2－1)的单调递减区间为________14．已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个半圆，求这个圆锥的体积是______15．已知，，当时，关于的不等式恒成立，则的最小值是_________16．若弧度数为2的圆心角所对的弦长为2，则这个圆心角所夹扇形的面积是___________三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．在2020年初，新冠肺炎疫情袭击全国，丽水市某村施行“封村”行动.为了更好地服务于村民，村卫生室需建造一间地面面积为30平方米且墙高为3米的长方体供给监测站.供给监测站的背面靠墙，无需建造费用，因此甲工程队给出的报价为：正面新建墙体的报价为每平方米600元，左右两面新建墙体报价为每平方米360元，屋顶和地面以及其他报价共计21600元，设屋子的左右两侧墙的长度均为x米.（1）当左右两面墙的长度为多少时，甲工程队报价最低，最低报价为多少？（2）现有乙工程队也参与此监测站建造竞标，其给出的整体报价为元，若无论左右两面墙的长度为多少米，乙工程队都能竞标成功，试求a的取值范围.18．已知函数(a>0且a≠1).(1)若f(x)在[-1，1]上的最大值与最小值之差为，求实数a的值；(2)若，当a>1时，解不等式.19．已知定义在上的奇函数满足：①；②对任意的均有；③对任意的，，均有.（1）求的值；（2）证明在上单调递增；（3）是否存在实数，使得对任意的恒成立？若存在，求出的取值范围；若不存在，请说明理由.20．已知函数f（x）＝ax2﹣（4a+1）x+4（a∈R）.（1）若关于x不等式f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，求实数a，b的值；（2）解关于x的不等式f（x）＞0.21．已知，且，（1）求，的值；（2），求的值

参考答案一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每个小题给出的四个选项中，恰有一项是符合题目要求的1、D【解析】依题意不等式的解集为（1，+∞），即可得到且，即，再根据二次函数的性质计算在区间（-1，2）上的单调性及取值范围，即可得到函数的最值情况【详解】因为函数的单调区间是，即不等式的解集为（1，+∞），所以且，即，所以,当时，在上满足，故此时为增函数，既无最大值也无最小值，由此A,B错误；当时，在上满足，此时为减函数，既无最大值也无最小值，故C错误，D正确，故选：D.2、A【解析】根据奇函数的性质，当定义域中能取到零时，有，可求得答案.【详解】函数为上的奇函数,故，得，当时，满足，即此时为奇函数，故，故选：A3、B【解析】选项、先利用辅助角公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项先利用二倍角的正弦公式恒等变形，再利用正弦函数图像的性质判断周期和单调递增区间即可，选项直接利用正切函数图象的性质去判断即可.【详解】对于选项,，最小正周期为,单调递增区间为，即，该函数在上单调递增，则选项错误；对于选项,，最小正周期为,单调递增区间为，即，该函数在上为单调递增，则选项正确；对于选项,，最小正周期为,单调递增区间为，即，该函数在上为单调递增，则选项错误；对于选项,，最小正周期为,在为单调递增，则选项错误；故选：.4、C【解析】集合，，所以{a}A故选C.5、D【解析】因为，所以设弦长为，则，即.考点：本小题主要考查直线与圆的位置关系——相交.6、D【解析】,可以得到，求出集合A的子集，这样就可以求出实数值集合.【详解】,的子集有，当时，显然有；当时，；当时，；当，不存在符合题意，实数值集合为，故选:D.【点睛】本题考查了通过集合的运算结果，得出集合之间的关系，求参数问题.重点考查了一个集合的子集，本题容易忽略空集是任何集合的子集这一结论.7、A【解析】画出的图象，数形结合可得求出.【详解】画出的图象所以方程恰有三个不同的实数解a，b，c（），可知m的取值范围为，由题意可知，，所以，所以故选：A.8、A【解析】直线方程为即．设点，点到直线的距离为，因为，由面积为可得即，解得或或．所以点的个数有4个．故A正确考点：1直线方程；2点到线的距离9、C【解析】,选C10、D【解析】由题设，可得解析式且为周期为4的函数，再将问题转化为与交点个数大于3个，讨论参数a判断交点个数，进而画出和的图象，应用数形结合法有符合题设，即可求范围.【详解】由题设，，即，所以是周期为4的函数，若，则，故，所以，要使且根的个数大于3，即与交点个数大于3个，又恒过，当时，在上，在上且在上递减，此时与只有一个交点，所以.综上，、的图象如下所示，要使交点个数大于3个，则，可得.故选：D【点睛】关键点点睛：根据已知条件分析出的周期性，并求出上的解析式，将问题转化为两个函数的交点个数问题，结合对数函数的性质分析a的范围，最后根据交点个数情况，应用数形结合进一步缩小参数的范围.二、填空题：本大题共6小题，每小题5分，共30分。11、【解析】先求出函数的定义域，再利用求复合函数单调区间的方法求解即得.【详解】依题意，由得：或，即函数的定义域是，函数在上单调递减，在上单调递增，而在上单调递增，于是得在是单调递减，在上单调递增，所以函数的单调递增区间为.故答案为：12、【解析】由已知条件可得x＝log32，即3x＝2，再结合分数指数幂的运算即可得解.【详解】解：∵，∴x＝log32，则3x＝2，∴9x＝4，，∴，故答案为：【点睛】本题考查了指数与对数形式的互化，重点考查了分数指数幂的运算，属基础题.13、【解析】由复合函数同增异减得单调减区间为的单调减区间，且，解得故函数的单调递减区间为14、【解析】设圆锥母线长为，底面圆半径长，侧面展开图是一个半圆，此半圆半径为，半圆弧长为，表面积是侧面积与底面积的和，则圆锥的底面直径圆锥的高点睛：本题主要考查了棱柱，棱锥，棱台的侧面积和表面积的知识点．首先，设圆锥母线长为，底面圆半径长，然后根据侧面展开图，分析出母线与半径的关系，然后求解其底面体积即可15、4【解析】由题意可知，当时，有，所以，所以点睛：本题考查基本不等式的应用．本题中，关于的不等式恒成立，则当时，有，得到，所以．本题的关键是理解条件中的恒成立16、【解析】根据所给弦长，圆心角求出所在圆的半径，利用扇形面积公式求解.【详解】由弦长为2，圆心角为2可知扇形所在圆的半径，故，故答案为：三、解答题：本大题共5小题，共70分。解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）当左右两面墙的长度为5时，报价最低为43200元；（2）.【解析】（1）设甲工程队的总造价为元，推出，利用基本不等式求解最值即可；（2）由题意对任意的，恒成立．即恒成立，利用换元法以及基本不等式求解最小值即可【详解】（1）设甲工程队的总造价为元，则，当且仅当，即时等号成立即当左右两侧墙的长度为5米时，甲工程队的报价最低为43200元（2）由题意可得，对任意的，恒成立即，从而恒成立，令，，，又在，为单调增函数，故当时，所以【点睛】方法点睛：求函数的最值常用的方法有：（1）函数法；（2）数形结合法；（3）导数；（4）基本不等式法.要根据已知条件灵活选择方法求解.18、(1)2或；(2)或.【解析】(1)对a值分类讨论，根据单调性列出最值之差表达式即可求解；(2)由函数的奇偶性、单调性脱去给定不等式中的法则“”，转化为一元二次不等式，求解即得.【详解】(1)①当，f(x)在[-1，1]上单调递增，，解得，②当时，f(x)在[-1，1]上单调递减，，解得，综上可得，实数a的值为2或.(2)由题可得定义域为，且，所以为上的奇函数；又因为，且，所以在上单调递增；所以，或，所以不等式的解集为或.【点睛】解抽象的函数不等式，分析对应函数的奇偶性和单调性是解决问题的关键.19、（1）0；（2）详见解析；（3）存在，.【解析】（1）利用赋值法即求；（2）利用单调性的定义，由题可得，结合条件可得，即证；（3）利用赋值法可求，结合函数的单调性可把问题转化为，是否存在实数，使得或在恒成立，然后利用参变分离法即求.【小问1详解】∵对任意的，，均有，令，则，∴；【小问2详解】，且，则又，对任意的均有，∴，∴∴函数在上单调递增.【小问3详解】∵函数为奇函数且在上单调递增，∴函数在上单调递增，令，可得，令，可得，又，∴，又函数在上单调递增，在上单调递增，∴由，可得或，即是否存在实数，使得或对任意的恒成立，令，则，则对于恒成立等价于在恒成立，即在恒成立，又当时，，故不存在实数，使得恒成立，对于对任意的恒成立，等价于在恒成立，由，可得在恒成立，又，在上单调递减，∴，综上可得，存在使得对任意的恒成立.【点睛】关键点点睛：本题第二问的关键是配凑，然后利用条件可证；第三问的关键是转化为否存在实数，使得或在恒成立，再利用参变分离法解决.20、（1）-1,6；（2）答案见详解【解析】（1）由f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}结合韦达定理即可求解参数a，b的值；（2）原式可因式分解为，再分类讨论即可，对再细分为即可求解.【详解】（1）由f（x）≥b得，因为f（x）≥b的解集为{x|1≤x≤2}，故满足，，解得；（2）原式因式分解可得，当时，，解得；当时，