2025-2026学年北师大版数学必修第一册 第1章 4.2一元二次不等式及其解法 同步练习（含解析）

第一章§44.2一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()A．[－2,1]B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)2．不等式eq\f(3x＋1,1－4x)≥0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,4)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a)))))B．{x|x>a}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>a))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x<－3}C．{x|－2<x<3}D．{x|－3<x<2}5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是()A．－2≤k≤2 B．k≤－2，或k≥2C．－2<k<2 D．k<－2，或k>26．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3<x<2}，则a＋b＝()A．－4 B．0C．2 D．47．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}8．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台9．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3<x<2}，则()A．∁RA＝{x|－6≤x≤1}B．A∩B＝{x|－3<x<1}C．A∪B＝{x|－6<x<2}D．∁RB＝{x|x≤－3或x≥2}10．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a<－1} D．{a|a>4}二、填空题11．函数y＝eq\f(1,\r(－x2＋x＋12))的定义域为.12．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围.13．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，则m＋n＝___.14．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为.三、解答题15．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.16．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．17．解不等式eq\f(ax－1,x－2)>1(a∈R)．18．设m∈R，不等式mx2－(3m＋1)x＋2(m＋1)>0的解集记为集合P.(1)若P＝{x|－1<x<2}，求m的值；(2)当m>0时，求集合P.第一章§44.2一元二次不等式及其解法一、选择题1．不等式－x2－x＋2≥0的解集是()A．[－2,1]B．(－2,1)C．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D．(－∞，－2]∪[1，＋∞)[解析]由－x2－x＋2≥0，得x2＋x－2≤0，即(x－1)(x＋2)≤0，解得－2≤x≤1，所以该不等式的解集为[－2,1]．故选A.2．不等式eq\f(3x＋1,1－4x)≥0的解集是()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x≤\f(1,4)))))B．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4)))))C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x≥\f(1,4)或x≤－\f(1,3)))))[解析]原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(3x＋14x－1≤0，,1－4x≠0，))解得－eq\f(1,3)≤x<eq\f(1,4)，故其解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)≤x<\f(1,4))))).故选B.3．已知0<a<1，关于x的不等式(x－a)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,a)))>0的解集为()A．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<a或x>\f(1,a)))))B．{x|x>a}C．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)或x>a))))D．eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(1,a)))))[解析]因为0<a<1，所以eq\f(1,a)>1，所以a<eq\f(1,a)，所以不等式的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x>\f(1,a)或x<a)))).故选A.4．二次方程ax2＋bx＋c＝0的两根为－2,3，a<0，那么ax2＋bx＋c>0的解集为()A．{x|x>3或x<－2}B．{x|x>2或x<－3}C．{x|－2<x<3}D．{x|－3<x<2}[解析]由已知得a(x＋2)(x－3)>0，∵a<0，∴(x＋2)(x－3)<0，∴－2<x<3.∴所求不等式的解集为{x|－2<x<3}．故选C.5．若不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，则k的取值范围是()A．－2≤k≤2 B．k≤－2，或k≥2C．－2<k<2 D．k<－2，或k>2[解析]由不等式x2＋kx＋1<0的解集为空集，得对应的二次函数y＝x2＋kx＋1的图象全部在x轴或x轴上方，则Δ＝k2－4×1×1≤0，解得－2≤k≤2.故选A.6．已知不等式ax2＋bx＋12>0的解集为{x|－3<x<2}，则a＋b＝()A．－4 B．0C．2 D．4[解析]由不等式的解集为{x|－3<x<2}易知a<0，且方程ax2＋bx＋12＝0的两根为x1＝－3，x2＝2，由根与系数的关系可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(b,a)＝－[－3＋2]＝1，,\f(12,a)＝－3×2＝－6，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝－2，))所以a＋b＝－4.故选A.7．已知集合A＝{x|x2－x－2>0}，则∁RA＝()A．{x|－1<x<2} B．{x|－1≤x≤2}C．{x|x<－1}∪{x|x>2} D．{x|x≤－1}∪{x|x≥2}[解析]解不等式x2－x－2>0得x<－1或x>2，即A＝{x|x<－1或x>2}，所以∁RA＝{x|－1≤x≤2}．故选B.8．若产品的总成本y(万元)与产量x(台)之间的函数关系式是y＝3000＋20x－0.1x2(0<x<240)，若每台产品的售价为25万元，则生产者不亏本(销售收入不小于总成本)时的最低产量是()A．100台 B．120台C．150台 D．180台[解析]y－25x＝－0.1x2－5x＋3000≤0，即x2＋50x－30000≥0，解得x≥150或x≤－200(舍去)．∴生产者不亏本时的最低产量是150台．故选C.9．(多选题)已知不等式x2＋5x－6<0的解集为A，集合B＝{x|－3<x<2}，则()A．∁RA＝{x|－6≤x≤1}B．A∩B＝{x|－3<x<1}C．A∪B＝{x|－6<x<2}D．∁RB＝{x|x≤－3或x≥2}[解析]不等式x2＋5x－6<0可化为(x＋6)(x－1)<0，解得－6<x<1，所以该不等式的解集为A＝{x|－6<x<1}，所以∁RA＝{x|x≤－6或x≥1}，选项A错误；又因为集合B＝{x|－3<x<2}，所以A∩B＝{x|－3<x<1}，选项B正确；又A∪B＝{x|－6<x<2}，选项C正确；因为集合B＝{x|－3<x<2}，所以∁RB＝{x|x≤－3或x≥2}，选项D正确．故选BCD.10．(多选题)若“不等式x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立”为假命题，则实数a可能的取值为()A．{a|－1≤a≤4} B．{a|－1<a<4}C．{a|a<－1} D．{a|a>4}[解析]若命题为真命题，由于x2－2x＋5＝(x－1)2＋4的最小值为4，所以x2－2x＋5≥a2－3a对任意实数x恒成立，只需a2－3a≤4，解得－1≤a≤4.所以题中a可以取的范围为{a|a<－1或a>4}的子集．选项C、D正确．故选CD.二、填空题11．函数y＝eq\f(1,\r(－x2＋x＋12))的定义域为{x|－3<x<4}.[解析]由－x2＋x＋12>0，得x2－x－12<0，解得－3<x<4，所以定义域为{x|－3<x<4}．12．若x2－ax＋2≥0恒成立，则实数a的取值范围[－2eq\r(2)，2eq\r(2)].[解析]由Δ＝a2－8≤0，得－2eq\r(2)≤a≤2eq\r(2)，∴a的范围是[－2eq\r(2)，2eq\r(2)]．13．已知关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，则m＋n＝_5__.[解析]因为关于x的不等式mx2＋nx－1<0(m，n∈R)的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)<x<\f(1,2)))))，所以－eq\f(1,3)和eq\f(1,2)是方程mx2＋nx－1＝0的两根，则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)＋\f(1,2)＝－\f(n,m)，,\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))×\f(1,2)＝－\f(1,m)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝6，,n＝－1，))所以m＋n＝5.14．若不等式x2＋x－1<m2x2－mx对任意的x∈R恒成立，则实数m的取值范围为(－∞，－1]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).[解析]原不等式可化为(1－m2)x2＋(1＋m)x－1<0对任意的x∈R恒成立．①当1－m2＝0时，m＝±1.当m＝－1时，不等式可化为－1<0，显然成立；当m＝1时，不等式可化为2x－1<0，解得x<eq\f(1,2)，故不等式的解集不是R，不合题意；②当1－m2≠0时，由不等式恒成立可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m2<0，,Δ＝1＋m2＋41－m2<0，))解得m<－1或m>eq\f(5,3)，综上可知：实数m的取值范围为(－∞，－1]∪eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,3)，＋∞)).三、解答题15．解不等式－1<x2＋2x－1≤2.[解析]原不等式可化为eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x－1>－1，,x2＋2x－1≤2，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x2＋2x>0，,x2＋2x－3≤0，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(xx＋2>0，,x＋3x－1≤0，))所以eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x<－2或x>0，,－3≤x≤1.))如图，结合数轴，可得原不等式的解集为{x|－3≤x<－2或0<x≤1}．16．已知一元二次不等式x2＋px＋q<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，求不等式qx2＋px＋1>0的解集．[解析]因为x2＋px＋q<0的解集为eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)<x<\f(1,3)))))，所以x1＝－eq\f(1,2)与x2＝eq\f(1,3)是方程x2＋px＋q＝0的两个实数根，由根与系数的关系得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)－\f(1,2)＝－p，,\f(1,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,2)))＝q，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(p＝\f(1,6)，,q＝－\f(1,6).))所以不等式qx2＋px＋1>0即为－eq\f(1,6)x2＋eq\f(1,6)x＋1>0，整理得x2－x－6<0，解得－2<x<3.即不等式qx2＋px＋1>0的解集为{x|－2<x<3}．17．解不等式eq\f(ax－1,x－2)>1(a∈R)．[解析]原不等式等价于eq\f(ax－1,x－2)－1>0，即eq\f(ax－1－x－2,x－2)>0，所以[(a－1)x－(a－2)](x－2)>0.①当a＝1时，①式可以转化为x>2；当a>1时，①式可以转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,a－1)))(x－2)>0；当a<1时，①式可以转化为eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(a－2,a－1)))(x－2)<0.又当a≠1时，2－eq\f(a－2,a－1)＝eq\f(a,a－1)，所以当a>1或a<0时，2>eq\f(a－2,a－1)；当a＝0时，2＝eq\f(a－2,a－1)；当0<a<1时，2<eq\f(a－2,a－1).故当a＝1时，原不等式的解集是{x|x>2}；当a>1时，原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\|\rc\(\a\vs4\al\co1(x<\f(a－2,a－1)或x>2))))；当0<a<1时，原不等式的解集是eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(x\b\lc\