2.1.2两条直线平行和垂直的判定 （解析版）

2.1.2两条直线平行和垂直的判定【考点梳理】考点一：两条直线(不重合)平行的判定类型斜率存在斜率不存在前提条件α1＝α2≠90°α1＝α2＝90°对应关系l1∥l2⇔k1＝k2l1∥l2⇔两直线的斜率都不存在图示考点二：两条直线垂直的判定图示对应关系l1⊥l2(两直线的斜率都存在)⇔k1k2＝－1l1的斜率不存在，l2的斜率为0⇔l1⊥l2【题型归纳】题型一：由斜率判断两条直线平行1．（2023·全国·高二专题练习）直线和直线的位置关系是（

）A．平行 B．相交但不垂直 C．垂直 D．重合【答案】B【分析】根据两直线的方程求出各自的斜率，然后斜率的关系进行判断即可.【详解】方程可化为，因此该直线的斜率.方程可化为，因此该直线的斜率，因为，所以这两条直线相交但不垂直.故选：B.2．（2023·全国·高二专题练习）下列说法中正确的是（

）A．若两条直线斜率相等，则它们互相平行B．若，则C．若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交D．若两条直线的斜率都不存在，则它们相互平行【答案】C【分析】根据直线平行和斜率之间的关系对选项一一判断即可得出答案.【详解】若两条直线斜率相等，则它们互相平行或重合，A错误；若，则或，的斜率都不存在，B错误；若两条直线中有一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率存在，则这两条直线相交，C正确；若两条直线的斜率都不存在，则它们互相平行或重合，D错误．故选：C.3．（2022·高二课时练习）直线和直线平行，则直线和直线的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．平行或重合 D．相交【答案】B【分析】利用两直线平行的等价条件即可求解.【详解】因为直线和直线平行，所以，故直线为，与直线平行故选：B题型二：由斜率判断两条直线垂直4．（2023·全国·高二专题练习）下列各组直线中，互相垂直的一组是（

）A．与 B．与C．与 D．与【答案】D【分析】分别求出两直线的斜率，根据斜率之积为两直线垂直，即可判断.【详解】对于A：直线的斜率为，直线的斜率为，故两直线平行，故A错误；对于B：直线的斜率为，直线的斜率为，斜率之积不为，即两直线不垂直，故B错误；对于C：直线的斜率为，直线的斜率为，斜率之积不为，即两直线不垂直，故C错误；对于D：直线的斜率为，直线的斜率为，斜率之积为，即两直线垂直，故D正确；故选：D5．（2023·全国·高二假期作业）已知直线的斜率是方程的两个根，则（

）A． B．C．与相交但不垂直 D．与的位置关系不确定【答案】C【分析】由可知两直线不垂直，且知两直线不平行，由此可得结论.【详解】设直线的斜率为，则，，不垂直，A错误；若，则，与矛盾，，不平行，B错误；不平行，也不垂直，相交但不垂直，C正确，D错误.故选：C.6．（2021·高二课时练习）直线过点和点，直线过点和点.则直线与的位置关系是（

）A．重合 B．平行 C．垂直 D．无法确定【答案】C【分析】分时，时，时三种情况讨论，观察直线斜率之间的关系即可得出结论.【详解】解：①当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率，直线的斜率不存在，因此.②当时，直线过点和点，直线过点和点.此时直线的斜率不存在，直线的斜率，因此.③当时，直线的斜率，直线的斜率此时，.综上可知，直线与垂直.故选：C.题型三：已知直线平行求参数7．（2023秋·福建三明·高二三明一中校考阶段练习）若直线与直线互相平行，则的值是（

）A． B． C．或 D．或【答案】A【分析】利用两直线平行可得出关于的等式与不等式，即可解得实数的值.【详解】因为直线与直线互相平行，则，解得.故选：A.8．（2023·全国·高二专题练习）已知常数，直线：，：，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】因为直线：，：，当时，解得，所以是的充分不必要条件.故选：A9．（2023秋·浙江杭州·高二浙江省临安中学校考开学考试）已知命题：直线与平行，命题，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】根据两直线平行满足的关系可得命题等价于或，结合充分不必要条件的判断即可求解.【详解】直线与平行，则，解得或，所以命题等价于或，命题．则由命题不能得到命题，但由命题可得到命题，则是的充分不必要条件．故选：A．题型四：已知直线垂直求参数10．（2023秋·山东枣庄·高二枣庄八中校考期末）若直线与直线互相垂直，则的值为（

）A． B．1 C． D．2【答案】D【分析】根据两直线垂直的充要条件得到方程，解得即可；【详解】因为直线与直线互相垂直，所以，解得；故选：D11．（2023秋·江苏宿迁·高二泗阳县实验高级中学校考阶段练习）已知直线和直线，若，则的值为（

）A．2 B． C．0或2 D．1或【答案】C【分析】由两直线垂直的充要条件建立方程求解即可.【详解】由，得，解得，或.故选：C.12．（2023·全国·高二专题练习）已知经过点和点的直线与经过点和点的直线互相垂直，则实数的值为（

）A． B． C．或 D．或【答案】C【分析】求出直线的斜率为，分、两种情况讨论，在时，由两直线斜率之积为可求得实数的值；在时，直接验证.综合可得结果.【详解】直线的斜率．①当时，直线的斜率．因为，所以，即，解得．②当时，、，此时直线为轴，又、，则直线为轴，显然．综上可知，或.故选：C.题型五：直线平行、垂直在几何中的应用13．（2022秋·山东德州·高二德州市第一中学校）数学家欧拉在1765年提出定理：三角形的外心、重心、垂心依次位于同一直线上，且重心到外心的距离是重心到垂心距离的一半，这条直线被后人称之为三角形的欧拉线.已知△ABC的顶点A（4，0），B（0，2），且AC＝BC，则△ABC的欧拉线方程为（）A．2x+y﹣3＝0 B．2x﹣y﹣3＝0C．x﹣2y+3＝0 D．x﹣2y﹣3＝0【答案】B【分析】先由A（4，0），B（0，2）求出线段AB的垂直平分线，再由AC＝BC判断出其即为△ABC的欧拉线.【详解】因为A（4，0），B（0，2），所以线段AB的中点为（2，1），所以线段AB的垂直平分线为：y＝2（x﹣2）+1，即2x﹣y﹣3＝0，∵AC＝BC，∴三角形的外心、重心、垂心依次位于AB的垂直平分线上，因此△ABC的欧拉线方程为2x﹣y﹣3＝0.故选：B.14．（2023·全国·高二专题练习）根据下列给定的条件，判断直线与直线是否平行.（1）直线经过点，直线经过点；（2）直线平行于y轴，直线经过点，；（3）直线经过点，直线经过点.【答案】（1）不平行；（2）平行；（3）不平行.【分析】（1），所以直线与不平行；（2）直线与y轴重合，所以直线与平行；（3）E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行.【详解】解：（1）直线的斜率，直线的斜率，显然，所以直线与不平行.（2）直线与y轴重合，所以直线与平行.（3）直线的斜率，直线的斜率，所以，又，所以E，F，G，H四点共线，直线与重合.故直线与不平行.15．（2022·全国·高二专题练习）已知，，.（1）若，，，可以构成平行四边形，求点的坐标；（2）在（1）的条件下，判断，，，构成的平行四边形是否为菱形.【答案】（1）（-1，6）或（7，2）或（3，-2）；（2）平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.【分析】（1）分四边形、、是平行四边形三种情况讨论，分别利用对边的斜率相等求解，即可；（2）分别验证对角线是否垂直，即对角线斜率乘积是否为，即可.【详解】（1）由题意得，，，设.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.若四边形是平行四边形，则，，即，解得，即.综上，点的坐标为（-1，6）或（7，2）或（3，-2）.（2）若的坐标为（-1，6），因为，，所以，所以，所以平行四边形为菱形.若的坐标为（7，2），因为，，所以，所以平行四边形不是菱形.若的坐标为（3，-2），因为，直线的斜率不存在，所以平行四边形不是菱形.因此，平行四边形为菱形,平行四边形,不是菱形.【双基达标】一、单选题16．（2023秋·重庆沙坪坝·高二重庆南开中学校考阶段练习）直线与直线平行，则的值为（

）A． B． C． D．或【答案】C【分析】求出已知二直线不相交时的a值，再验证作答.【详解】依题意，直线与直线平行或重合时，，解得或，当时，直线与直线重合，当时，直线与直线平行，所以的值为.故选：C17．（2023秋·河南许昌·高二统考期末）已知直线过，且，则直线的斜率为（

）A． B． C． D．【答案】B【分析】利用，求出直线斜率，利用可得斜率乘积为，即可求解.【详解】设直线斜率为，直线斜率为，因为直线过，，所以斜率为，因为，所以，所以，即直线的斜率为.故选：B.18．（2023秋·高二课时练习）已知点，点B在直线上，直线AB垂直于直线，则点B的坐标是（

）A． B．C． D．【答案】B【分析】设点B坐标，由两直线的垂直关系及点在线上列出方程组计算即可.【详解】设，则由题意可得①，且②，由①②解得.即B正确.故选：B19．（2023秋·高二课时练习）以为顶点的三角形是（

）A．锐角三角形 B．钝角三角形C．以为直角顶点的直角三角形 D．以为直角顶点的直角三角形【答案】D【分析】通过斜率证明两直线垂直，得到三角形形状.【详解】直线的斜率，直线的斜率，由，所以，故是以为直角顶点的直角三角形．故选：D20．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，若直线与垂直，则的倾斜角为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】由直线与垂直得到的斜率，再利用斜率与倾斜角的关系即可得到答案.【详解】因为直线与垂直，且，所以，解得，设的倾斜角为，，所以.故选：A.21．（2023·全国·高二专题练习）直线：，则“”是“直线与轴垂直”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线与轴垂直，可得直线的斜率不存在，进而得到，解出的值，再根据充分条件和必要条件的定义判断即可求解.【详解】由直线与轴垂直，得直线的斜率不存在，可得，解得，所以“”是“直线与轴垂直”的充要条件.故选：C.22．（2023·全国·高二专题练习）已知两条直线，，则是的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】当时，根据斜率的乘积等于可得；当时，根据求出，再根据必要不充分条件的概念可得答案.【详解】当时，，，，所以；当时，可得，解得或，所以“”是“”的必要不充分条件．故选：A.23．（2023春·四川广元·高二广元中学校考期中）“”是“直线与直线平行”的（

）A．充分而不必要条件 B．必要而不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】由直线与直线平行可求得的值，集合充分条件、必要条件的定义判断可得出结论.【详解】若直线与直线平行，则，解得.因此，“”是“直线与直线平行”的充要条件.故选：C.24．（2023春·上海松江·高二上海市松江二中校考期中）“”是“直线和直线平行”的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】C【分析】根据两直线平行求出参数a，再根据充分条件和必要条件的定义即可得出答案.【详解】∵直线和直线平行，∴，解得或，当，两直线分别为，两直线平行，符合题意；当，两直线分别为，即为，两直线重合，不符合题意；综上所述：.故“”是“直线和直线平行”的充要条件.故选：C.25．（2023秋·高二课时练习）根据下列给定的条件，用多种方法判断直线与直线的位置关系：(1)经过点，，经过点，；(2)经过点，，经过点，．【答案】(1)平行(2)垂直【分析】方法1，求出直线方程，比较两条直线的斜率与纵截距可判断两直线关系；方法2，通过判断对应向量的位置关系可判断两直线位置关系.【详解】（1）方法1:：因，，则直线AB方程为：；因，，则直线CD方程为：.因两直线斜率相同，纵截距不同，则两直线平行；方法2：由题可得，因，则与共线，又注意到，其与，均不共线，可知不共线，则直线AB与直线CD平行；（2）方法1：由题可得直线AB方程为：；直线MN方程为：.因两直线斜率乘积为，则两直线垂直；方法2：由题可得，因，则两直线垂直；26．（2023秋·高二）如图所示，已知四边形的四个顶点分别为，，，，试判断四边形的形状，并给出证明.

【答案】平行四边形，证明见解析.【分析】通过计算得到，，从而判断出四边形的形状.【详解】由已知可得边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率，边所在直线的斜率.因为，，所以，.因此四边形是平行四边形.【高分突破】一、单选题27．（2022秋·贵州贵阳·高二清华中学校考阶段练习）已知直线，，若，则的值为（

）A． B． C． D．【答案】A【分析】根据两直线垂直可得出关于的等式，解之即可.【详解】因为直线，，若，则，解得.故选：A.28．（2023春·上海虹口·高二上海市复兴高级中学校考期中）已知直线，，则是的（

）A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】A【分析】先利用两直线平行的公式求出，再确定充分性和必要性即可.【详解】当时，，解得或，当时，直线，，此时两直线不重合，当时，直线，，此时两直线不重合，即或时，，故是的充分不必要条件.故选：A.29．（2023春·新疆乌鲁木齐·高二校考开学考试）已知直线与直线平行，则“m＝2”是“平行于”的（

）A．必要不充分条件 B．充分不必要条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件【答案】B【分析】根据两直线的位置关系、充分和必要条件等知识确定正确答案.【详解】当时，，解得或，经检验可知或都符合.所以“”是“”的充分不必要条件.故选：B30．（2023·全国·高二专题练习）已知点和，点在轴上，且为直角，则点坐标为（

）A． B．或 C．或 D．【答案】B【分析】设点，由为直角，得，然后由列式计算即可.【详解】由题意，设点，为直角，，由，，解得或，所以点的坐标为或故选：B二、多选题31．（2023·全国·高二专题练习）已知点，则下列结论正确的是（

）A． B．C． D．【答案】ABCD【分析】由直线的斜率，判断直线的平行与垂直.【详解】由斜率公式知，，，，且四点不共线，则，A选项正确；，，B选项正确；，，C选项正确；，，，，D选项正确．故选：ABCD．32．（2023秋·高二课时练习）以为顶点的三角形，下列结论正确的有（

）A．B．C．以点为直角顶点的直角三角形D．以点为直角顶点的直角三角形【答案】AC【分析】对于AB，利用斜率公式计算判断，对于C，通过计算判断，对于D，通过计算判断.【详解】对于A，因为，所以，所以A正确，对于B，因为，所以，所以B错误，对于C，因为，，所以，所以，所以以点为直角顶点的直角三角形，所以C正确，对于D，因为，，所以，所以D错误，故选：AC33．（2023秋·河北邯郸·高二武安市第三中学校考开学考试）已知直线，则（

）A．若，则的一个方向向量为 B．若，则或C．若，则 D．若不经过第二象限，则【答案】ACD【分析】代入，根据方向向量定义即可判断A，根据直线平行和垂直与斜率的关系即可判断B,C，将化简得，结合一次函数的性质即可判断D.【详解】对A，当时，，斜率为，则其一个方向向量为，故A正确；对B，若，当时，显然不合题意，则，则直线的斜率，直线的斜率，则有，即，解得或，当时，此时直线，显然两条直线重合，故B错误；对C，若，当时，显然不合题意，则，则，即，解得，故C正确；对D，若不经过第二象限，，化简得，则，解得，故D正确；故选：ACD.34．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，直线，则下列结论正确的是（

）A．在x轴上的截距为 B．能表示过点的任意直线C．若，则或 D．若，则【答案】AD【分析】根据直线方程的特征逐项进行验证即可判断.【详解】A项：令，则，故选项A正确；B项：，令，则，过定点，但无法表示直线，故选项B错误；C项：且，故选项C错误；D项：，故选项D正确．故选：AD35．（2023·全国·高二专题练习）下列说法中，正确的有（

）A．斜率均不存在的两条直线可能重合B．若直线，则这两条直线的斜率的乘积为C．若两条直线的斜率的乘积为，则这两条直线垂直D．两条直线，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则【答案】ACD【分析】利用直线重合与垂直的性质，同时考虑直线斜率不存在的情况，对选项逐一分析判断即可.【详解】对于A，若，则斜率均不存在，但两者重合，故A正确；对于BD，若一条直线的斜率不存在，另一条直线的斜率为零，则这两条直线互相垂直，但此时乘积不为，故B错误；D正确；对于C，根据直线垂直的性质可知，两直线的斜率存在，且乘积为时，这两条直线垂直，故C正确.故选：ACD.36．（2023·全国·高二专题练习）若与为两条不重合的直线，它们的倾斜角分别是，斜率分别为，则下列命题正确的是（

）A．若斜率，则 B．若，则C．若倾斜角，则 D．若，则【答案】ABC【分析】根据两直线倾斜角和斜率与直线平行和垂直的关系分别判断选项，举反例可判断D.【详解】对于A,若两直线斜率，则它们的倾斜角，则，正确；对于B，由两直线垂直的条件可知，若，则，正确；对于C,由两直线平行的条件可知，若倾斜角，则，正确；对于D,若，不妨取，则，不满足，不垂直，D错误，故选：37．（2023·全国·高二专题练习）已知直线，下列命题中正确的是（

）A．若，则B．若，则或C．当时，是直线的方向向量D．原点到直线的最大距离为【答案】AD【分析】根据垂直关系计算得到A正确；当时，两条直线重合，B错误；计算斜率得到C错误；过定点，最大距离为，计算得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：，则，解得，正确；对选项B：当时，两条直线重合，错误；对选项C：时，，斜率为，的方向向量是，错误；对选项D：过定点，故原点到直线的最大距离为，正确.故选：AD三、填空题38．（2023秋·广西贵港·高二校联考开学考试）若直线与直线垂直，则．【答案】【分析】根据直线垂直列方程，从而求得的值.【详解】因为直线与直线垂直，所以，解得．故答案为：39．（2023春·江苏镇江·高二校考期中）已知直线过点和点，直线，直线.若，，则.【答案】【分析】根据直线垂直和平行满足的斜率关系即可求解.【详解】由于直线的斜率为，且，直线的斜率为，解得.由于，的斜率为，直线的斜率为，，∴，解得，∴.故答案为：40．（2023·全国·高二假期作业）已知两点，，直线过点，交轴于点，是坐标原点，且，，，四点共圆，那么的值是．【答案】/4.75【分析】由题易知，即为圆的直径，即,由列出方程，即可求出答案.【详解】由题易知，即为圆的直径，即,∴，即，解得．故答案：.41．（2023·全国·高二专题练习）直线和，当时，；当时，；当时，与相交．【答案】/0.5且【分析】