人教版（2024）七年级下册数学期末复习：全册重点知识点讲义

第第页人教版（2024）七年级下册数学期末复习：全册重点知识点讲义第七章相交线与平行线7.1相交线1.相交线定义有一个公共点的两条直线叫作相交线。2.邻补角定义：两个角有一条公共边，另一边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为邻补角。性质：邻补角互补（和为180°）。易错点：邻补角形成的前提是两条直线相交；互补的两个角不一定是邻补角；一个角的邻补角有2个，补角有无数个。3.对顶角定义：两个角有一个公共顶点，且两边互为反向延长线，具有这种位置关系的两个角互为对顶角。性质：对顶角相等。易错点：对顶角形成的前提是两条直线相交；相等的角不一定是对顶角。4.垂直定义：两条直线相交所成的四个角中，有一个角是90°时，这两条直线互相垂直（记作“a⊥b”），其中一条直线是另一条的垂线，交点叫作垂足。性质：若两直线垂直，则四个交角均为90°；反之，交角为90°则两直线垂直。基本事实：在同一平面内，过一点有且只有一条直线与已知直线垂直。画法（三步骤）：“落”：让直角三角板的一条直角边与已知直线重合；“移”：沿已知直线移动三角板，使另一条直角边经过目标点；“画”：沿不重合的直角边画直线，即为所求垂线。5.垂线段与点到直线的距离垂线段定义：过直线外一点向已知直线作垂线，这点与垂足之间的线段叫作垂线段。垂线段性质：连接直线外一点与直线上各点的所有线段中，垂线段最短（简称“垂线段最短”）。点到直线的距离：直线外一点到这条直线的垂线段的长度（注意：距离是数量，不是图形，不能“画出距离”）。6.同位角、内错角、同旁内角（三线八角）角的名称位置特征形象记法共同特征同位角截线同侧，被截线同侧“F”型1.由三条直线构成（两条被截线+一条截线）；2.无公共顶点；3.表示角的位置关系内错角截线两侧，被截线之间“Z”型同旁内角截线同侧，被截线之间“U”型易错点：识别时需先明确“两条被截线”和“第三条截线”，避免被表面位置迷惑。7.2平行线1.平行线定义与平面内两直线位置关系定义：同一平面内，不相交的两条直线互相平行（记作“a∥b”）。位置关系：同一平面内，不重合的两条直线只有两种——相交或平行。画法（四步骤）：“落”：将三角板的一边落在已知直线上；“靠”：用直尺紧靠三角板的另一边；“推”：保持直尺不动，沿直尺推动三角板，使与已知直线重合的边经过目标点；“画”：沿三角板经过目标点的边画直线，即为所求平行线。2.平行线的基本事实与推论基本事实：过直线外一点有且只有一条直线与这条直线平行（易错点：缺少“直线外”则不成立）。推论：如果两条直线都与第三条直线平行，那么这两条直线也互相平行（即a∥b，b∥c，则a∥c）。3.平行线的判定方法判定方法核心条件简单表述方法1同位角相等同位角相等，两直线平行方法2内错角相等内错角相等，两直线平行方法3同旁内角互补同旁内角互补，两直线平行易错点：勿混淆判定条件，如“同旁内角相等”不能判定两直线平行。4.平行线的性质性质核心结论简单表述性质1同位角相等两直线平行，同位角相等性质2内错角相等两直线平行，内错角相等性质3同旁内角互补两直线平行，同旁内角互补关键区别：判定是“由角的关系推线平行”，性质是“由线平行推角的关系”。5.折线（拐角）问题解法核心思路：经过拐点作已知平行线的平行线，利用“平行于同一直线的两直线平行”，将未知角转化为同位角、内错角或同旁内角求解。7.3定义、命题、定理1.定义对名称和术语的含义加以描述，作出明确规定的语句叫作定义。2.命题定义：可以判断为正确（真）或错误（假）的陈述语句叫作命题（疑问句、画图语句、无判断语句不是命题）。分类：真命题（正确的命题）、假命题（错误的命题）。组成：每个命题由题设（已知事项）和结论（由已知事项推出的事项）组成，可改写为“如果……那么……”的形式（“如果”后接题设，“那么”后接结论）。3.定理与证明定理：正确性经过推理证实的真命题（定理是真命题，但真命题不一定是定理）。证明：判断一个命题正确性的推理过程（证明步骤：①画图；②写已知、求证；③推理推导结论，每一步需有依据）。假命题的反驳：举反例（符合题设但不符合结论的例子，例子需简洁）。7.4平移1.平移定义与条件定义：平面内，将一个图形按某一方向移动一定的距离，这种图形运动叫作平移。决定条件：平移的方向和距离。2.平移的性质新图形与原图形的形状和大小完全相同；对应线段平行（或在同一直线上）且相等，对应角相等；连接各组对应点的线段平行（或在同一直线上）且相等。3.平移作图步骤确定原图形的关键点；按平移方向和距离移动各关键点，得到对应点；顺次连接对应点，得到平移后的图形。4.实际应用常用于求不规则图形的面积、周长，核心是通过平移转化为规则图形（如长方形、三角形）求解。第八章实数8.1平方根1.平方根的概念与性质定义：如果一个数x的平方等于a（x²=a），那么x叫作a的平方根（或二次方根）。性质：正数有两个平方根，它们互为相反数；0的平方根是0；负数没有平方根。开平方：求一个数的平方根的运算（与平方互为逆运算）。表示方法：正数a的平方根记作“±√a”，其中“√a”是正数a的正平方根（算术平方根）。2.算术平方根定义：正数a的正的平方根（√a）叫作a的算术平方根（0的算术平方根是0）。性质：正数的算术平方根是正数，负数没有算术平方根；双重非负性：①被开方数a≥0；②算术平方根√a≥0。估算方法：取与被开方数最接近的两个完全平方数，通过比较算术平方根确定范围（如√2在1和2之间）。3.近似数与计算器使用近似数：开不尽方的算术平方根常用有限小数近似表示。计算器操作：按说明书步骤输入被开方数，求解算术平方根（不同计算器按键顺序可能不同）。8.2立方根1.立方根的概念与表示定义：如果一个数x的立方等于a（x³=a），那么x叫作a的立方根（或三次方根）。表示方法：记作“∛a”（根指数3不能省略）。2.立方根的性质任何数（正数、负数、0）都有且只有一个立方根；正数的立方根是正数，负数的立方根是负数，0的立方根是0。3.开立方与计算器使用开立方：求一个数的立方根的运算（与立方互为逆运算）。计算器操作：按说明书步骤输入被开方数，求解立方根。4.平方根与立方根的区别与联系对比维度平方根立方根定义x²=a，x为a的平方根x³=a，x为a的立方根个数正数有2个，0有1个，负数没有任何数都有1个表示方法±√a（根指数2可省略）∛a（根指数3不可省略）被开方数范围a≥0（非负数）任意实数联系1.与相应乘方互为逆运算；2.0的平方根和立方根都是08.3实数及其简单运算1.有理数与无理数有理数：有限小数或无限循环小数（包括整数、分数）。无理数：无限不循环小数（常见形式：①开不尽方的数，如√2、√3；②含π的数；③有规律但不循环的无限小数，如0.1010010001…）。2.实数的概念与分类定义：有理数和无理数统称实数。分类：按定义：实数分为有理数（有限小数或无限循环小数）和无理数（无限不循环小数）；按符号：实数分为正实数、0、负实数（正实数包括正有理数、正无理数；负实数包括负有理数、负无理数）。3.实数与数轴的关系每一个实数都可以用数轴上的一个点表示；反过来，数轴上的每一个点都表示一个实数（实数与数轴上的点一一对应）。4.实数的相关概念（相反数、倒数、绝对值）概念性质举例相反数若a与b互为相反数，则a+b=0√3的相反数是-√3倒数若a与b互为倒数，则ab=1（a≠0）2的倒数是1/2绝对值1.lal≥0（非负性）；2.lal=l-all√2l=l-√2l=√25.实数的运算运算规则：有理数的运算法则、运算性质、运算顺序（先乘方开方，再乘除，最后加减；有括号先算括号内）对实数同样适用。近似计算：无理数需先取近似值（比要求精度多取一位），再进行计算，最后四舍五入。6.实数的大小比较方法方法适用场景操作步骤估算法无理数与有理数比较估算无理数的近似值，再比较作差法任意两个实数比较若a-b>0，则a>b；若a-b<0，则a<b乘方法两个非负实数比较同时乘方，比较乘方后的结果移动因式法带根号的无理数比较把根号外的正因式移到根号内，比较被开方数数轴法任意两个实数比较数轴上右边的点表示的实数大于左边的点表示的实数第九章平面直角坐标系9.1用坐标描述平面内点的位置1.平面直角坐标系的构成定义：平面内两条互相垂直、原点重合的数轴组成平面直角坐标系。坐标轴：水平的数轴叫x轴（或横轴），取向右为正方向；竖直的数轴叫y轴（或纵轴），取向为正方向；两轴交点叫原点（O）。象限：坐标平面被坐标轴分成四个部分，分别为第一象限（+，+）、第二象限（-，+）、第三象限（-，-）、第四象限（+，-）；坐标轴上的点不属于任何象限。2.平面直角坐标系的建立步骤选择适当点作为原点；过原点作互相垂直的x轴、y轴；确定正方向和单位长度（常见：以几何图形的特殊点为原点，如等腰三角形底边中点）。3.点的坐标表示方法：平面内任意一点P，过P作x轴、y轴的垂线，垂足对应的实数a（横坐标）、b（纵坐标）组成有序数对（a，b），即为点P的坐标。坐标与点的对应关系：坐标平面内的点与有序数对一一对应。点到坐标轴的距离：点P（a，b）到x轴的距离为|b|；点P（a，b）到y轴的距离为|a|。4.点的坐标特征点的位置坐标特征第一象限（+，+）第二象限（-，+）第三象限（-，-）第四象限（+，-）x轴上纵坐标为0（（+，0）或（-，0））y轴上横坐标为0（（0，+）或（0，-））第一、三象限角平分线上横坐标=纵坐标（x=y）第二、四象限角平分线上横坐标=-纵坐标（x=-y）两点连线平行x轴纵坐标相等两点连线平行y轴横坐标相等9.2坐标方法的简单应用1.绘制区域内地点分布平面图步骤：建立平面直角坐标系（确定原点、正方向、单位长度）；确定各地点的坐标；在坐标平面内描点，标注地点名称。2.用“方向角+距离”表示物体位置核心：需两个数据——表示方向的角（如北偏东40°）和距离（如20海里），缺一不可。3.图形在坐标系中的平移（点的平移规律）平移方向点（x，y）的坐标变化向右平移a个单位（x+a，y）向左平移a个单位（x-a，y）向上平移b个单位（x，y+b）向下平移b个单位（x，y-b）图形平移规律：图形平移时，所有顶点的坐标按相同规律变化，形状、大小不变。4.坐标系中图形面积的计算方法：规则图形（如三角形、长方形）：利用坐标求出边长、底、高，代入面积公式；不规则图形：通过“割补法”转化为规则图形，再计算面积。第十章二元一次方程组10.1二元一次方程组的相关概念知识点1：二元一次方程定义：每个方程都含有2个未知数（如x和y），且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作二元一次方程。三个必备条件：方程中只含有两个未知数；所含未知数的项的次数都为1（注意：是“项的次数”，不是未知数的次数）；方程是整式方程（分母不含未知数）。示例：5x+4y=3（满足上述三个条件）。知识点2：二元一次方程组定义：含有2个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有两个方程，这样的方程组叫作二元一次方程组。三个必备条件：方程组中只含有两个未知数；方程组中含有未知数的项的次数都是1；方程组中的方程都是整式方程。示例：x+y=5知识点3：二元一次方程的解定义：使二元一次方程两边的值相等的两个未知数的值，叫作二元一次方程的解（表示为x=ay=b性质：二元一次方程有无数个解（给定一个未知数的值，可求出另一个未知数的对应值）；若对未知数加以条件限制（如正整数、非负数等），则一般有有限个解。知识点4：二元一次方程组的解定义：二元一次方程组的两个方程的公共解，叫作二元一次方程组的解。检验方法：将一组数代入方程组的每个方程，若所有等式都成立，则这组数是方程组的解。10.2消元——解二元一次方程组知识点5：代入消元法（代入法）定义：把二元一次方程组中一个方程的一个未知数用含另一个未知数的式子表示出来，再代入另一个方程，实现消元，进而求得方程组的解。一般步骤：步骤具体做法目的注意事项变形用含一个未知数的代数式表示另一个未知数，得到y=ax+b（或x=ay+b）的形式为代入做准备选系数简单的方程变形，简化计算代入把变形后的方程代入另一个未变形的方程消去一个未知数，转化为一元一次方程代入时“只代不算”，避免计算错误求解解代入后得到的一元一次方程求出一个未知数的值去括号不漏乘，移项要变号回代把求得的未知数的值代入变形后的方程求出另一个未知数的值优先代入变形后的方程，计算更简便写解用大括号联立两个未知数的值规范表示方程组的解必须用“{”联立，格式不规范不得分知识点6：加减消元法（加减法）定义：当二元一次方程组的两个方程中同一未知数的系数相等或互为相反数时，把这两个方程的两边分别相减或相加，能消去这个未知数，得到一元一次方程，进而求得方程组的解。一般步骤：步骤具体做法目的变形根据同一未知数（选绝对值较小的）的系数的最小公倍数，用适当的数乘方程的两边使两个方程中某一未知数的系数相等或互为相反数加减系数互为相反数则相加，系数相等则相减，消去该未知数转化为一元一次方程求解解消元后得到的一元一次方程求出一个未知数的值回代把求得的未知数的值代入方程组中较简单的方程求出另一个未知数的值写解用大括号联立两个未知数的值规范表示方程组的解10.3实际问题与二元一次方程组知识点7：列二元一次方程组解决实际问题的步骤审题：理解题意，找出题目中的两个等量关系（关键步骤）；设未知数：用字母表示两个未知量（明确单位）；列方程组：根据两个等量关系列出方程组；解方程组：选择合适的消元法求解；检验：检验解是否为方程组的解，且是否符合实际题意（如人数、数量为正整数等）；答：写出答案（含单位）。知识点8：常见实际问题题型及等量关系行程问题：相向而行：路程和=速度和×时间；同向而行：路程差=速度差×时间；路程=速度×时间。利润问题：利润=售价-进价；总利润=单利润×销售量；利润率=利润÷进价×100%。数字问题：两位数=10×十位数字+个位数字；三位数=100×百位数字+10×十位数字+个位数字。工程问题：工作总量=工作效率×工作时间；合作工作总量=甲工作总量+乙工作总量。配套问题：总配套数=各部分配套数量的比例关系（如1个竖式铁容器需4个长方形铁片+1个正方形铁片）。10.4三元一次方程组的解法知识点9：三元一次方程的相关概念三元一次方程：含有3个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，这样的方程叫作三元一次方程。三元一次方程组：定义：含有3个未知数，且含有未知数的式子都是整式，含有未知数的项的次数都是1，一共有3个方程，这样的方程组叫作三元一次方程组。三个条件：①含3个未知数；②每个方程中含未知数的项的次数为1；③都是整式方程。三元一次方程组的解：方程组中各个方程的公共解，叫作三元一次方程组的解（检验方法：代入三个方程均成立）。知识点10：解三元一次方程组的基本思路与步骤基本思路：消元转化——“三元”→“二元”→“一元一次方程”。一般步骤：消元：利用代入法或加减法，消去一个未知数，得到关于另外两个未知数的二元一次方程组；解二元一次方程组：求出两个未知数的值；回代：将求得的两个未知数的值代入原方程组中系数较简单的方程，得到一元一次方程；求解：解一元一次方程，求出最后一个未知数的值；写解：用大括号联立三个未知数的值。知识点11：特殊三元一次方程组的解法技巧若三个方程相加后，每个未知数的系数都相同，可先将三个方程相加，再分别与原方程相减，快速求出各未知数的值（如x+y=3y+z=5x+z=3，先相加得若方程组中只有两个方程、三个未知数，可将其中一个未知数看成常数，解关于另外两个未知数的“二元一次方程组”。第十一章不等式与不等式组11.1不等式的相关概念与性质知识点1：不等式的定义定义：用符号“<”“>”“≥”“≤”“≠”表示不等关系的式子，叫作不等式。常用不等号及含义：符号实际意义读法示例>左边大于右边大于5+9>2<左边小于右边小于2+5<8≥左边不小于右边大于或等于a≥3（a是不小于3的数）≤左边不大于右边小于或等于a≤4（a是不大于4的数）≠左右两边不相等不等于3≠4知识点2：不等式的解与解集不等式的解：使不等式成立的未知数的一个值（如x=5是x+1≥5的解）。不等式的解集：一个含有未知数的不等式的所有解，组成这个不等式的解集（如x+1≥5的解集是x≥4）。解与解集的区别与联系：解是解集的“个体”，解集是解的“全体”；解集需满足：①解集内的数都是不等式的解；②解集外的数都不是不等式的解。解集在数轴上的表示：不等式的解集数轴表示注意事项x>a以a为端点，空心圆圈，向右画空心圆圈表示a不属于解集，向右表示大于x<a以a为端点，空心圆圈，向左画空心圆圈表示a不属于解集，向左表示小于x≥a以a为端点，实心圆点，向右画实心圆点表示a属于解集，向右表示大于或等于x≤a以a为端点，实心圆点，向左画实心圆点表示a属于解集，向左表示小于或等于知识点3：不等式的基本性质基本事实：交换不等式两边，不等号方向改变（若a>b，则b<a）；不等关系传递性（若a>b，b>c，则a>c）。性质细节：性质内容符号表示易错点性质1两边加（或减）同一个数（或式子），不等号方向不变若a>b，则a±c>b±c加减同一个数（或式子），不等号方向不变，无例外性质2两边乘（或除以）同一个正数，不等号方向不变若a>b，c>0，则ac>bc（或ac乘除正数，方向不变，需注意c≠0性质3两边乘（或除以）同一个负数，不等号方向改变若a>b，c<0，则ac<bc（或ac乘除负数，方向必须改变，忘记变号是高频错误11.2一元一次不等式知识点4：一元一次不等式的定义定义：只含有1个未知数，且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是1的不等式，叫作一元一次不等式。与一元一次方程的异同：名称相同点不同点一元一次不等式①两边都是整式；②只含一个未知数；③含未知数的项的最高次数为1用不等号连接一元一次方程①两边都是整式；②只含一个未知数；③含未知数的项的最高次数为1用等号连接知识点5：解一元一次不等式的一般步骤步骤具体做法依据易错点去分母两边同乘分母的最小公倍数不等式性质2漏乘不含分母的项（如3×2(x+1)<2-x，不可漏乘“2”）去括号按单项式乘多项式法则去括号去括号法则括号前是“-”，括号内各项未变号移项把含未知数的项移到一边，常数项移到另一边不等式性质1移项未变号（如3x-6<2-x，移项得3x+x<2+6）合并同类项合并同类项，化为ax>b（或ax<b，a≠0）的形式合并同类项法则合并时符号错误（如-3x<3，合并后系数为-3）系数化为1两边同除以a（或乘1a不等式性质2、3除以负数时，不等号方向未改变知识点6：一元一次不等式的实际应用解题步骤：审：审题，找出不等关系（关键词：至少、最多、不超过、不少于等）；设：设未知数（明确单位）；列：根据不等关系列出一元一次不等式；解：解不等式，求出解集；检：检验解集是否符合实际题意（如数量为正整数）；答：写出答案（含单位）。常见关键词对应的不等号：至少、不少于：≥；最多、不超过：≤；大于、超过：>；小于、不足：<。11.3一元一次不等式组知识点7：一元一次不等式组的定义定义：把两个含有同一个未知数的一元一次不等式合起来，组成一个一元一次不等式组（如2x−1>3x+2<7判断条件：至少有两个不等式；每个不等式都是一元一次不等式；所有不等式只含同一个未知数。知识点8：一元一次不等式组的解集定义：几个一元一次不等式的解集的公共部分，叫作不等式组的解集；若没有公共部分，则不等式组无解。四种解集情况（设a<b）：不等式组解集口诀数轴表示x>ax>b同大取大公共部分在b右侧x<ax<a同小取小公共部分在a左侧x>aa<x<b大小小大中间找公共部分在a和b之间x<a无解大大小小找不到无公共部分知识点9：解一元一次不等式组的步骤分别求出不等式组中每个不等式的解集；在同一条数轴上表示出各不等式的解集；找出数轴上的公共部分，即为不等式组的解集（无公共部分则无解）。知识点10：不等式组的特殊解与参数问题特殊解：在不等式组的解集中，找出符合条件的解（如正整数解、非负整数解、最大整数解等），可借助数轴直观查找，避免漏解。参数问题：已知不等式组的解集，求参数的取值范围（如x<2x<−a知识点11：一元一次不等式组的实际应用解题步骤：审：找出题目中的两个及以上不等关系；设：设未知数；列：根据不等关系列出不等式组；解：解不等式组，求出解集；检：检验解集是否符合实际（如房间数、人数为正整数）；答：写出答案（含单位）。常见题型：分配问题（如宿舍分配、物资分配）、方案选择问题（如购买设备、奖品选择）等。第十二章数据的收集、整理与描述12.1统计调查知识点1：数据的收集收集途径：直接途径：观察、问卷调查、访谈、试验等；间接途径：文献查阅、数据分析等。收集过程：明确调查问题→确定调查对象→选择调查方法→展开调查→记录结果→得出结论。整理数据的方法：分类、排序、统计、作图。知识点2：全面调查与抽样调查调查方式定义优点缺点适用情况全面调查考察全体对象的调查全面、准确花费多、耗时长，部分调查不宜进行（如破坏性调查）对数据精确度要求高，总体数量少（如直升机零部件检查）抽样调查抽取一部分对象调查，推断全体情况花费少、省时省力样本的代表性直接影响估计准确性总体数量大，调查有破坏性或受客观条件限制（如全国中学生心理健康调查）知识点3：总体、个体、样本、样本容量总体：要考察的全体对象（如某地区初一年级7000名学生的体重情况）；个体：总体中的每一个考察对象（如该地区每一名初一年级学生的体重）；样本：从总体中抽取的部分个体（如抽查的500名学生的体重）；样本容量：样本中个体的数量（如500，注意：样本容量无单位）。知识点4：简单随机抽样定义：抽取样本时，总体中的每一个个体都有相等的机会被抽到，这样的抽样方法称为简单随机抽样；方法：抽签法、随机数表法等；关键：样本需具有代表性（能反映总体特征）和广泛性（覆盖总体不同情况）。12.2用统计图描述数据知识点5：统计图表的类型及特点统计表：特点：详细表示数据