2023-2024学年广东深圳实验学校高中园高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共6页深圳实验学校高中园2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学满分：150分，时间：150分钟.1.过点P(3,-23)且倾斜角为135。的直线方程为()A.3x-y-4·=0B.x-y-C.x+y-D.x+y+2.若直线l1:ax+(a+2)y+2=0与直线l2:x+ay-2=0平行，则a=()A.2B.-1C.2或-1D.-2或13.点M(3,-2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是()A.(-3,-2,1)B.(-3,2,-1)C.(-3,-2,-1)D.(-3,2,1)4.对于空间任意一点，则A，B，C，P四点A.一定不共面B.一定共面C不一定共面D.与O点位置有关.5.已知点A(-3,1)，B(1,-3)，则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=8B.(x+1)2+(y+1)2=8C.(x-1)2+(y-1)2=32D.(x+1)2+(y+1)2=326.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.B.第2页/共6页C.D.7.如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，P为体对角线B1D上一点，且DP=2PB1，则异面直线AD1和CP所成角的余弦值为()45D.45D.C.A.0B.C.58.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P,Q两点，若△MPQ面积的最大值为28，则椭圆C的长轴长为()A.5B.8C.4二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.10.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是()C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t<D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>4第3页/共6页B.若m=2，则圆C1,C2的公共弦所在的直线方程是4x一14y+9=0D.过点(3,2)作圆C2的切线l，则l的方程是x=3或7x一24y+27=0下列结论正确的有()A.当P为BD1中点时，上APC为锐角B.存在点P，使得BD1丄平面APC C.AP+PC的最小值2S5D.顶点B到平面APC的最大距离为三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.14.经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是.15.若过点(1,2)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x一y一3=第4页/共6页22面积是.（1）求动点P的轨迹C的标准方程；18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD（2）求BM的长.（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；（2）已知点P(x,y)为（1）所求轨迹上任意一点，求x2+y2的最大值.（1）求点B的坐标；（2）求直线BC的方程.第5页/共6页21.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是正方形，PD丄底面ABCD,E,F分别是PC,AD中点.（1）求证：DE//平面PFB；（2）若PB与平面ABCD所成角为45。，求平面PFB与平面EDB夹角的余弦值.22.已知椭圆经过点右焦点分别为F1，F2，O为坐标原点，且PF1+PF2=4.（1）求椭圆C的标准方程；（2）设A为椭圆C的右顶点，直线l与椭圆C相交于M，N两点，以MN为直径的圆过点A，求AM.AN的最大值.第1页/共20页深圳实验学校高中园2023-2024学年度第一学期期中考试高二数学满分：150分，时间：150分钟.符合题目要求的.1.过点P且倾斜角为135。的直线方程为()A.3xy4B.xy【答案】D【解析】【分析】由倾斜角为135。求出直线的斜率，再利用点斜式可求出直线方程故选：DA.2B.1C.2或1D.2或1【答案】A【解析】【分析】由两直线平行得系数间的关系，解之即可.故选：A.3.点M(3,一2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是()A.第2页/共20页C.(-3,-2,-1)D.(-3,2,1)【答案】A【解析】【分析】利用空间直角坐标系的性质即可得出结果.【详解】由空间直角坐标系的性质可知，点M(3,-2,1)关于平面yOz对称的点的坐标是(-3,-2,1).故选：A4.对于空间任意一点，则A，B，C，P四点A.一定不共面B.一定共面C.不一定共面D.与O点位置有关【答案】B【解析】【分析】根据空间共面向量的定义进行判断即可.故选：B5.已知点A(-3,1)，B(1,-3)，则以线段AB为直径的圆的方程为()A.(x-1)2+(y-1)2=8B.(x+1)2+(y+1)2=8C.(x-1)2+(y-1)2=32D.(x+1)2+(y+1)2=32【答案】B【解析】【分析】根据AB为直径得到圆心坐标和半径，然后求圆的方程即可.【详解】由题意得圆心为，即，半径r=所以圆的方程为(x+1)2+(y+1)2=8.故选：B第3页/共20页6.设椭圆C1的离心率为，焦点在x轴上且长轴长为26，若曲线C2上的点到椭圆C1的两个焦点的距离的差的绝对值等于8，则曲线C2的标准方程为()A.B.2222C.D.【答案】A【解析】【分析】根据椭圆和双曲线中a,b,c的关系，结合双曲线定义可解.【详解】在椭圆C1中，由题知解得，所以椭圆C1的焦点为F1(-5,0F因为曲线C2上的点到F1，F2的距离的差的绝对值等于8F所以曲线C2是以F1，F2为焦点，实轴长为8的双曲线，-42故C2的标准方程为.故选：A.7.如图，在正方体ABCD-A1B1C1D1中，P为体对角线B1D上一点，且DP=2PB1，则异面直线AD1和CP所成角的余弦值为() A.0B.C.A.0B.C.D.【答案】A第4页/共20页【解析】【分析】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立空间直角坐标系，设正方体ABCDA1B1C1D1的棱长为3，利用空间向量法可求得异面直线AD1和CP所成角的余弦值.【详解】以点D为坐标原点，DA、DC、DD1所在直线分别为x、y、z轴建立如下图所示的空间直角坐标系，因此，异面直线AD1和CP所成角的余弦值为0.故选：A.8.法国数学家加斯帕尔·蒙日发现：与椭圆相切的两条垂直切线的交点的轨迹是以椭圆中心为圆心的圆．我22们通常把这个圆称为该椭圆的蒙日圆．已知椭圆的蒙日圆方程为x2+y2=a2+b2，现有椭圆的蒙日圆上一个动点M，过点M作椭圆C的两条切线，与该蒙日圆分别交于P,Q两点，若△MPQ面积的最大值为28，则椭圆C的长轴长为()A.5B.8C.4【答案】B【解析】【分析】由勾股定理和基本不等式可得面积最大值，然后可得答案.第5页/共20页因为MP丄MQ，所以PQ为蒙日圆的直径，故选：B.二、多选题：本题共4个小题，每小题5分，共20分．在每个小题合题目要求．全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.【答案】CD【解析】【分析】A由向量模长、数量积的坐标运算及夹角公式求向量a,b的夹角；B、C由向量线性关系、数量积的坐标运算求数量积、判断位置关系判断；D2+02设向量,的夹角为θ,则cosθ=第6页/共20页因为，则θ=错..，对.故选：CD10.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是()B.当t>4或t<1时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t<D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>4【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.故选：BC.B.若m=2，则圆C1,C2的公共弦所在的直线方程是4x—14y+9=0D.过点(3,2)作圆C2的切线l，则l的方程是x=3或7x—24y+27=0【答案】BCD【解析】第7页/共20页【分析】根据点在圆的内部解不等式1+1+2m-10+m2<0即可判断A错误；将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程可知B正确；利用圆与圆外切，由圆心距和两半径之和相等即可知C正确；对直线l的斜率是否存在进行分类讨论，由点到直线距离公式即可得D正确.【详解】对于A，由点(1,1)在圆C1的内部，得1+1+2m-10+m2<0，解得-4<m<2，故A错误；对于B，若m=2，则圆C1:x2+y2+4x-10y+4=0，将两圆方程相减可得公共弦所在的直线方程是4x-14y+9=0，故B正确；对于C，圆C1的标准方程为(x+m)2+(y-5)2=25，圆心为C1(-m,5)，半径r1=5，圆C2的标准方程为x2+(y+2)2=9，圆心为C2(0,-2)，半径r2=3，C2若圆C1,C2C2对于D，当l的斜率不存在时，l的方程是x=3，圆心C2到l的距离d=3=r2，满足要求，当l的斜率存在时，设l的方程为y=k(x-3)+2，圆心C2到l的距离解得，所以l的方程是7x-24y+27=0，故D正确.故选：BCD.12.在长方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=AD=1，AA1=2，动点P在体对角线BD1上（含端点则下列结论正确的有()A.当P为BD1中点时，上APC为锐角第8页/共20页B.存在点P，使得BD1丄平面APC C.AP+PC的最小值25D.顶点B到平面APC的最大距离为【答案】ABD【解析】【分析】如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，设BP=λBD1(0≤λ≤1)，当P为BD1中点时，根据则有，求出λ,即可判断B；当BD1丄即可判断C；利用向量法求出点B到平面APC的距离，分析即可判断D.【详解】解：如图，以点D为原点建立空间直角坐标系，2)，(0,1,0)+(λ,λ,2λ)=(λ,1λ,2λ)，λ,λ,2λ)=(1λ,λ,2λ)，对于A，当P为BD1中点时，(22,(22,(22,(22,所以上APC为锐角，故A正确；第9页/共20页故存在点P，使得BD1丄平面APC，故B正确；对于C，当BD1由B得，此时λ= 即AP+PC的最小值为，故C错误；设平面APC的法向量=(x,y,z)，则有可取2λ,2λ,2λ1)，则点B到平面APC的距离为λ+1，当λ=0时，点B到平面APC的距离为0，当且仅当时，取等号，所以点B到平面APC的最大距离为，故D正确.故选：ABD.第10页/共20页【点睛】三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分. 2①.2②.x2-【解析】【分析】根据题意设出双曲线方程可解得a=1,b=即可求出离心率和标准方程.【详解】由题意可设双曲线方程为由焦点为(-2,0)和(2,0)可得a2+b2=4，一条渐近线的方程为y=x可得解得a=1,b=所以离心率双曲线方程为.2故答案为：2；x2-14.经过点P(1,2)，且在x轴上的截距是在y轴上的截距的2倍的直线l的方程是.【答案】2x-y=0和x+2y-5=0；第11页/共20页【解析】【分析】根据直线过原点和不经过原点两种情况，即可由待定系数的方法求解.【详解】若直线经过原点，则设直线方程为y=kx，将P(1,2)代入可得2x-y=0，若直线不经过原点，设直线方程为故答案为：2x-y=0和x+2y-5=0；15.若过点(1,2)的圆与两坐标轴都相切，则圆心到直线2x-y-3=0的距离为.【答案】【解析】【分析】由待定系数法求解a=1或a=5，即可根据点到线的距离公式求解.【详解】由题知，圆心在第一象限，设圆的方程为(x-a)2+(y-a)2=a2，圆心(a,a)到直线距离为故答案为：22面积是. 【答案】【解析】【分析】根据椭圆的定义、余弦定理等知识求得PF1,F1F2，从而求得△PF1F2的面积.第12页/共20页 故答案为：.（1）求动点P的轨迹C的标准方程；【解析】【分析】（1）根据动点P满足的几何性质和椭圆的定义可得动点的轨迹方程；O和椭圆定义得关于x0,y0的方程组，从而可求点P的纵坐标.【小问1详解】/PF+/由椭圆的定义可得P的轨迹为椭圆，其长轴长2a=10，故又因为F(4,0)，F/(—4,0)，所以椭圆焦点在x轴上，半焦距c=4，故b=3，【小问2详解】第13页/共20页由（1）知，F、F是椭圆的两个焦点，设P(x0,y0)，所以FF2=PF2+PF2，即PF2+PF2=64，又S△PFF=y0FF=9，所以点的纵坐标为±.18.如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD是边长为1的正方形，侧棱PA的长为2，且PA与AB、AD（2）求BM的长.【解析】行运算.【小问1详解】第14页/共20页)【小问2详解】(222,4442222=2+(222,44422219.已知线段AB的端点B的坐标为(1,3)，端点A在圆C:(x+1)2+y2=4上运动.（1）求线段AB的中点M的轨迹方程；（2）已知点P(x,y)为（1）所求轨迹上任意一点，求x2+y2的最大值.【解析】【分析】（1）设M(x,y)，A(x1,y1)，用x,y表示出x1,y1，再把(x1,y1)代入已知圆方程化简可得；（2）利用·x2+y2表示P到原点距离这个几何意义求解：由P在圆上，求出P到圆心距离，加上半径得距离的最大值，平方后可得结论.【小问1详解】[x=2x-1设M(x,y)，A(x1,y1)，因为M是AB中点，所以[x=2x-1ly1=2y-3所以(x1+1)2+y=4，即(2x-1+1)2+(2y-3)2=4，所以M的轨迹方程是x2+(y-)2=1；xx+y232由（1）知P在圆x+(y-2)=1，设其圆心为N(0,232ON=，因此222x+y的最大值是2+1=2，从而x+y的最大值是20.已知△ABC的顶点A(5,1)，边AB上的高线CH所在的方程为x-y-1=0，角B的角平分线交AC边第15页/共20页（1）求点B的坐标；（2）求直线BC的方程.【解析】【分析】（1）设点B(x0,y0)，由AB丄CH，BM所在的直线方程建立方程求解即可；（2）根据角平分线的性质求A