2023-2024学年广东深圳盐田高级中学高二(上)期中考数学试题含答案

第1页/共4页2023-2024学年第一学期期中考试盐田高级中学高二数学试题卷考试时间：120分钟分数：150分2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.A.B.C.D.A.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件224.M是双曲线=1上一点，点分别是双曲线左右焦点，若MF1=5，则MF2=()5.已知圆C:x2+y2=1，直线l：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是()6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1丄MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是第2页/共4页7.已知椭圆方程为+=1(a>b>0)，其右焦点为F(4,0)，过点F的直线交椭圆与A，B两点．若8.已知直线l:(m-1)x+(m+1)y-3m+1=0与圆O:x2+y2=9交于A,B两点，则△AOB的面积的最有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.B.当t>4或t<1时，曲线C是双曲线C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t<D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>410.已知双曲线C:-=1的焦点分别为F1,F2，则下列结论正确的是(A.若双曲线C上一点P满足PF1=2PF2，则△PF1F2的周长为28B.渐近线方程为3x±4y=0C.若从双曲线C的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6D.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数11.下列说法正确的是()A.直线(3+m)x+4y-3+3m=0(m∈R)恒过定点(-3,-3)B.直线xcosθ+y+2=0的倾斜角的范围是0,u,π),|第3页/共4页-+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4x轴的直线与该椭圆相交于A，B两点，且AB=1，点P在该椭圆上，则下列说法正确的是()A.存在点P，使得上F1PF2=90OC.满足△F1PF2为等腰三角形的点P只有2个-D.PF1-PF2的取值范围为-2·,213.与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为.14.求圆x2+y2-4y+3=0上的动点P到直线3x-4y-2=0距离的最大值.15.已知双曲线和椭圆有相同的焦点，则的最小值为.16.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点A(0,-2)射出的两条光线与圆O:x2+y2=1分别相切于点M、N，称两射线AM、AN的切点上方部分与优弧MN上方所夹的平面区域（含边界）为圆O的“背面”．若以点B(a,2)(a>0)为圆心，r为半径的圆处于ΘO的“背面”，当r取得最大值时的a值为.四、解答题70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知菱形ABCD中，A(-4,7)，C(2,-3)，BC边所在直线过点P(5,9)．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）对角线BD所在直线的方程.18.已知圆C:x2+y2+2x-4y-4=0.（1）从圆外一点P(2,1)向圆引切线，求切线方程；第4页/共4页（2）若圆C2:x2+y2=4与圆C相交于D,E两点，求线段DE的长.点E是棱CC1的中点.（2）求平面ABC与平面AB1E夹角的余弦值；=1，动圆M与圆C1,C2均外切，记圆心M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点C2且斜率为4的直线l与曲线C交于A,B两点，求△C1AB的面积.2221.已知椭圆的离心率为，左、右焦点分别为F1,F2,O为坐标原点，且FF=（1）求椭圆C的方程；（2）已知过点(2,0)的直线l与椭圆C交于M,N两点，点Q(8,0)，求kMQ+kNQ的值.22.已知椭圆的左焦点为，点在C上.（1）求椭圆C的方程；（2）过F的两条互相垂直的直线分别交C于A,B两点和P,Q两点，若AB,PQ的中点分别为M,N，证明：直线MN必过定点，并求出此定点坐标.2023-2024学年第一学期期中考试盐田高级中学高二数学试题卷考试时间：120分钟分数：150分2．选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.在试题卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效.A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】先利用斜率公式求得直线l1的斜率，结合l1丄l2，求得kl2=得到tanα=即可求解.【详解】因为直线l1过A两点，可得kl1=所以直线l2的倾斜角为.故选：A.2.已知双曲线的离心率为·i5，则渐近线方程是()第2页/共19页【答案】B【解析】【分析】由离心率求得即得渐近线方程.故选：BA.充分非必要条件B.必要非充分条件C.充要条件D.既非充分也非必要条件【答案】A【解析】【分析】分别当a=3时，判断两直线的位置关系和当两直线平行且不重合时，求a的范围.:两直线斜率相等，则平行且不重合.若两直线平行且不重合，则:a=3或a=-2，综上所述，a=3是两直线平行的充分不必要条件.故选：A224.M是双曲线=1上一点，点分别是双曲线左右焦点，若MF1=5，则MF2=()【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的定义即可求解.第3页/共19页由双曲线定义可知MF1-MF2=2a=4，故选：C5.已知圆C:x2+y2=1，直线l：y=2x+b相交，那么实数b的取值范围是()【答案】D【解析】【分析】利用圆心到直线l的距离列不等式，从而求得b的取值范围.【详解】圆C的圆心为(0,0)，半径为1，直线l:2x-y+b=0，由于圆与直线l相交，故选：D6.已知F1、F2是椭圆的两个焦点，满足MF1丄MF2的点M总在椭圆内部，则椭圆离心率的取值范围是【答案】B【解析】【分析】M在F1F2为直径的圆上，即x2+y2=c2，根据c<b得到离心率范围.【详解】MF1丄MF2，故M在F1F2为直径的圆上，即x2+y2=c2，故选：B.7.已知椭圆方程为+=1(a>b>0)，其右焦点为F(4,0)，过点F的直线交椭圆与A，B两点．若第4页/共19页2222B.22C.22D.【答案】C【解析】计算kFM=代入椭圆方程相减得到解得答案.【详解】AB的中点坐标为，则kFM=222故选：C.8.已知直线l:(m-1)x+(m+1)y-3m+1=0与圆O:x2+y2=9交于A,B两点，则△AOB的面积的最A.2S2B.2C.2·i5D.【答案】D【解析】【详解】根据题意，直线l:(m-1)x+(m+1)y-3m+1=0，联立解得则直线l恒过定点(2,1)，记为M， +y2又AB为圆O的弦，设AB的中点为E，则有OE丄AB，第5页/共19页所以，当且仅当9m2=m2，即等号成立.即△AOB的面积的最大值为.故选：D.有多个选项是正确的，全部选对的得5分，选对但不全的得2分，选错或不答的得0分.229.已知方程表示的曲线为C，则下列四个结论中正确的是()C.若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则1<t<D.若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t>4【答案】BC【解析】【分析】根据给定条件，利用椭圆、双曲线方程的特征逐项判断作答.第6页/共19页对于C，若曲线C是焦点在x轴上的椭圆，则4-t>t-1>0，解得1<t<，C正确；对于D，若曲线C是焦点在y轴上的椭圆，则t-1>4-t>0，解得<t<4，D错误.故选：BC.10.已知双曲线C:-=1的焦点分别为F1,F2，则下列结论正确的是(A.若双曲线C上一点P满足PF1=2PF2，则△PF1F2的周长为28B.渐近线方程为3x±4y=0C.若从双曲线C的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为6D.双曲线C与椭圆+=1的离心率互为倒数【答案】AC【解析】【分析】计算PF1=12，PF2=6得到A正确，渐近线方程为4x±3y=0，B错误，最短距离为2a=6，C正确，计算离心率得到D错误，得到答案.【详解】双曲线C:-=1的焦点分别为F1(-5,0)，F222对选项B：双曲线的渐近线方程为4x±3y=0，错误；对选项C：从双曲线C的左，右支上任取一点，则这两点的最短距离为2a=6，正确；故选：AC.11.下列说法正确的是()B.直线xcosθ+y+2=0的倾斜角的范围是0,u,π),|(x-4)2+(x-4)2+y2=8表示的曲线是双曲线-+2x=0与曲线C2:x2+y2-4x-8y+m=0恰有三条公切线，则m=4第7页/共19页【答案】BD【解析】【分析】代入验证知A错误，确定k∈得到B正确，轨迹为两条射线，C错误，确定两圆外切，根据圆心距与半径的关系得到D正确，得到答案.【详解】对选项A：将x=-3,y=-3代入验证不成立，错误；对选项B：直线xcosθ+y+2=0的斜率为-表示到点(-4,0)和(4,0)的距离之差的绝对值为8，轨迹为两条射线，错误；2(y-4)2=20-m，42故选：BDx轴的直线与该椭圆相交于A，B两点，且AB=1，点P在该椭圆上，则下列说法正确的是()A.存在点P，使得LF1PF2=90。C.满足△F1PF2为等腰三角形的点P只有2个D.PF1-PF2的取值范围为【答案】ABD【解析】【分析】根据已知椭圆的焦点以及通经，建立方程，解得标准方程；对于A，利用动点P的位置变化，研究LF1PF2的取值范围，可得答案；第8页/共19页对于B，根据椭圆的几何性质以及三角形余弦定理，建立方程，可得答案；对于C，利用分类讨论，建立方程，求动点坐标，可得答案；对于D，利用余弦定理结合上F1PF2的取值范围，结合不等式性质，可得答案.对于A，当点P为椭圆的上顶点时，上F1PF2最大，如下图：2PF对于B，根据题意可作图如下：PF2在△F1PF2中，根据余弦定理，则cos上所以cos60o=整理可得第9页/共19页对于C，设PFPF2FF2 PF2为等腰三角形，易知此时P的坐标为(0,1)或(0,1)，(x,y)，则24mn在△F1PF2中，根据余弦定理可得：cos上 2o 2故选：ABD.13.与椭圆有公共焦点，且离心率为的双曲线方程为.22【解析】【分析】由椭圆方程求出焦点坐标，得出c的值，再由双曲线的离心率得出a，进而可得双曲线的标准方程.第10页/共19页【详解】由椭圆方程可得焦点为(3,0),(-3,0)设双曲线的半焦距为c，则c=3，因双曲线的离心率为，则e= 22所以双曲线的标准方程为22故答案为14.求圆x2+y2-4y+3=0上的动点P到直线3x-4y-2=0距离的最大值.【答案】3【解析】【分析】先求得圆心和半径，再求得圆心到直线的距离，由此距离加半径为最大值求解.【详解】圆x2+y2-4y+3=0可化为x2+(y-2)2=1，其圆心为(0,2)，半径为1，圆心(0,2)到直线3x-4y-2=0的距离，所以圆上的点到直线距离的最大值为2+r=3.故答案为：3.【答案】9【解析】【分析】先运用椭圆与双曲线的基本量的关系，依据椭圆与双曲线的焦点相同得到m+n=1，最后利用基本不等式中“1”的妙用，将化为积定的形式，运用基本不等式求出最小值.mn【详解】先根据椭圆的基本量关系式得到椭圆1的焦点分别为点(-1,0)与点(1,0)，于是点(-1,0)与点(1,0)也是双曲线的两个焦点，故答案为：916.月球背面指月球的背面，从地球上始终不能完全看见．某学习小组通过单光源实验来演示月球背面．由光源点A(0,2)射出的两条光线与圆O:x2+y2=1分别相切于点M、N，称两射线AM、AN的切点上方部分与优弧MN上方所夹的平面区域（含边界）为圆O的“背面”．若以点B(a,2)(a>0)为圆心，r为半径的圆处于ΘO的“背面”，当r取得最大值时的a值为.【解析】【分析】根据相切得到切线AM方程为3x一y一2=0，当圆B与直线AM相切且与圆O外切时半径r最大，据此得到方程组，解得答案.当圆B与直线AM相切且与圆O外切时半径r最大，则，第12页/共19页四、解答题70分，17题10分，其他题每题12分）解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.17.已知菱形ABCD中，A(-4,7)，C(2,-3)，BC边所在直线过点P(5,9)．求：（1）AD边所在直线的方程；（2）对角线BD所在直线的方程.【解析】【分析】（1）利用互相平行的直线斜率相等，利用点斜式即可得直线方程；（2）由互相垂直的直线斜率间关系，以及中点，利用点斜式可得直线方程.【小问1详解】由已知得直线AD//BC，:kAD=4:AD边所在直线的方程为：y-7=4(x+4)，即4x-y+23=0【小问2详解】由已知得AC与BD互相垂直平分，:kBD=，:BD所在直线方程为：y-2=，即3x-5y+13=0.18.已知圆C:x2+y2+2x-4y-4=0.（1）从圆外一点P(2,1)向圆引切线，求切线方程；（2）若圆C2:x2+y2=4与圆C相交于D,E两点，求线段DE的长.【答案】18.4x-3y-5=0或x=219.4第13页/共19页【解析】【分析】（1）当斜率存在时，用点斜式设切线方程，根据圆心到直线的距离等于半径，求得k的值，可得切线方程．当斜率不存在时，易得切线方程，从而得出结论；（2）把两个圆的方程相减可得直线DE的方程，可判断圆心C2(0,0)在直线DE上，DE刚好是圆C2的直径，得解.【小问1详解】当切线的斜率存在时，设切线方程为y-1=k，即kx-y+1-2k=0，于是解得切线方程为4x-3y-5=0，当切线的斜率不存在时，得切线方程为x=2，综上，切线方程为x=2或4x-3y-5=0.【小问2详解】把两圆方程相减可得直线DE的方程：x-2y=0，圆心C2(0,0)刚好在直线DE上，则DE是圆C2的直径，点E是棱CC1的中点.第14页/共19页（2）求平面ABC与平面AB1E夹角的余弦值；【答案】（1）证明见解析【解析】【分析】（1）利用勾股定理确定BC丄BC1，根据线面垂直得到AB丄BC1，得到C1B丄平面ABC；（2）建立空间直角坐标系，确定各点坐标，计算两个平面的法向量，再根据向量的夹角公式计算得到答案.【小问1详解】又AB∩BC=B，AB,BC平面ABC，故C1B丄平面ABC；【小问2详解】如图所示：以BC,BC1,BA为x,y,z轴建立空间直角坐标系，C1B丄平面ABC，故平面ABC的一个法向量为第15页/共19页设平面AB1E的法向量为，平面ABC与平面AB1E夹角的平面角为锐角，故余弦值为=1，动圆M与圆C1,C2均外切，记圆心M的轨迹为曲线C.（1）求曲线C的方程；（2）过点C2且斜率为4的直线l与曲线C交于A,B两点，求△C1AB的面积.21.2417【解析】【分析】（1）根据两圆的位置关系结合双曲线的定义分析即可得解；（2）联立直线与曲线C的方程，利用弦长公式求得AB，再利用点线距离求得C1到直线AB的距离，从而利用三角形面积公式即可得解.【小问1详解】由条件可得MC1-3=MC2-1，即MC1-MC2C2,则根据双曲线的定义可知，点M是以C1，C2为焦点，以2为实轴长的双曲线