专题06 动点折叠类问题中图形存在性问题

专题06动点折叠类问题中图形存在性问题一、基础知识点综述要求学生具备：运动观点；方程思想；数形结合思想；分类讨论思想；转化思想等等.存在性问题主要有等腰三角形存在性、直角三角形存在性、特殊落点存在性等问题，常用的数学解题模型有“一线三直角”等模型，作图方法是借助圆规化动为静找落点.解题思路：分析题目→依据落点定折痕→建立模型→设出未知数列方程求解→得到结论.解题核心知识点：折叠性质；①折叠前后图形大小、形状不变；②折痕是折叠前后对应点连线的垂直平分线；勾股定理；相似图形的性质、三角函数等.★等腰三角形存在性问题解题思路：依据圆规等先确定落点，再确定折痕；★直角三角形存在性问题解题思路：依据不同直角顶点位置分类讨论，作出图形求解.二、精品例题解析题型一：折叠问题中等腰三角形存在性问题例1.如图，∠AOB=90°，点P为∠AOB内部一点，作射线OP，点M在射线OB上，且OM=，点M与点M’关于射线OP对称，且直线MM’与射线OA交于点N，当△ONM’为等腰三角形时，ON的长为 .【解析】解：由△ONM’为等腰三角形，分以下三种情况讨论：①当M’落在线段ON的垂直平分线上时，即M’N=M’O，如图1所示，设∠ONM’=x°，则∠OM’M=∠OMM’=2x°，∵∠AOB=90°，∴x+2x=90，解得x=30，在Rt△NOM中，ON=；②当M’N=ON时，如图2所示，由①知：∠NOM’=30°，过M’作M’H⊥OA于H，∴HM’=,在Rt△HNM’中，NM’=，即ON=1；③当M’O=ON=OM=，此时M、M’、N点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.ON的长为1或3.图1图2图3例2.如图所示，△ABC中，∠ACB=90°，AC≤BC，将△ABC沿EF折叠，使点A落在直角边BC上的D点，设EF与AB、AC分别交于点E、点F，如果折叠后△CDF与△BDE均为等腰三角形，则∠B= .【解析】由题意知，△CDF是等腰三角形，则CD=CF，∠CDF=∠CFD=45°，∴∠FDB=135°，△BDE是等腰三角形时，分以下三种情况讨论：①当DE=BD时，如图1，设∠B=x°，则∠DEB=x，∠EDB=180°－2x，由折叠知：∠A=∠FDE=90°－x，∴180－2x+90－x=135，解得x=45，即∠B=45°；②当BD=BE时，如图2所示，设∠B=x°，则∠EDB=，由折叠，知∠A=∠FDE=90°－x，∴+90－x=135，解得x=30，即∠B=30°；③当BE=DE时，得∠B=∠EDB，∴∠FDB=∠FDE+∠EDB=∠A+∠B=90°∠FDB+∠CDF=135°≠180°，此时C、D、B点不在一条直线上，与题意不符，此种情况不存在.∠B=45°或30°.图1图2题型二：折叠问题中直角三角形存在性问题例3.在矩形纸片ABCD中，AD＝8，AB＝6，E是边BC上的点，将纸片沿AE折叠，使点B落在点F处，连接FC，当△EFC为直角三角形时，BE的长为．【解析】∵AD＝8，AB＝6，四边形ABCD为矩形，∴BC＝AD＝8，∠B＝90°，根据勾股定理得：AC＝10．由分析知，△EFC为直角三角形分下面两种情况：①当∠EFC＝90°时，如图1所示，由折叠性质知：∠AFE＝∠B＝90°，∠EFC＝90°，AF=AB=6,∴A、F、C三点共线，又AE平分∠BAC，∴CF=AC－AF=4，设BE=x，则EF=x，EC=8－x，在Rt△EFC中，由勾股定理得：，解得x=3，即BE=3；②当∠FEC＝90°时，如下图所示．由题意知：∠FEC＝90°，∠FEB＝90°，∴∠AEF＝∠BEA＝45°，∴四边形ABEF为正方形，∴BE＝AB＝6．综上所述：BE的长为3或6．图1图2例4.矩形ABCD中，AB=4，AD=6，点E为AD的中点，点P为线段AB上一个动点，连接EP，将△APE沿PE折叠得到△FPE，连接CE，CF，当△CEF为直角三角形时，AP的长为 .【解析】分以下两种情况讨论：（1）∠EFC=90°，如图1所示，由折叠性质知：∠A=∠PFE=90°，AP=PF所以点P、F、C在一条直线上，∵EF=ED=3，∴Rt△CEF≌Rt△CED，由勾股定理，得CE=5，∴CD=CF=4，设AP=x，则PF=x，PC=x+4，BP=4－x，在Rt△BCP中，由勾股定理，得，解得x=，即AP=；（2）∠FEC=90°，如图2所示，过F作FH⊥AD于H，过P作PG⊥FH于G，易知∠EFH=∠ECD，∴,∴,即FH=,∴EH=,AH=PG=，由∠FPG=∠HFE，∴cos∠FPG=cos∠HFE，即,,解得PF=1；所以PF的长为或1.图1图2例5.如图，已知平行四边形ABCD中，AB=16,AD=10，sinA=,点M为AB边上一动点，过点M作MN⊥AB交AD边于点N，将∠A沿直线MN翻折，点A落在线段AB上的点E处.当△CDE为直角三角形时，AM的长为 .【解析】当△CDE为直角三角形时，①当∠CDE＝90°，如图1所示，在平行四边形ABCD中，AB∥CD，∴DE⊥AB，由折叠知：MN⊥AB，AM＝EM，∴MN∥DE，∴AN＝DN＝AD＝5，由sinA＝＝，∴MN＝3，AM＝4；②当∠DEC＝90°，如图2所示，过D作DH⊥AB于H，由题意知：∠HDC＝90°，∴∠HDC+∠CDE＝∠CDE+∠DCE＝90°，∴∠HDE＝∠DCE，∴△DHE∽△CED，∴，∵sinA＝，AD＝10，∴DH＝6，AH＝8，设EH＝x，∴DE＝4，由勾股定理，得DH2+HE2＝DE2，62+x2＝16x，解得：x＝8﹣2，x＝8+2（不合题意舍去），∴AE＝AH+HE＝16﹣2，∴AM＝8﹣，所以AM的长为4或8﹣．例6.如图，在Rt△ABC中，AB＝3，BC＝4，点P为AC上一点，过点P作PD⊥BC于点D，将△PCD沿PD折叠，得到△PED，连接AE．若△APE为直角三角形，则PC＝___________．【解析】当∠AEP＝90°时，设PC＝x，在Rt△PDC中，sinC＝，cosC＝，所以PD＝x，CD＝x．由折叠，知DE＝CD＝x．∴BE＝BC﹣CE＝x．在△ABE和△EDP中，∠B＝∠PDE，∠BAE+∠AEB＝90°，∠PED+∠AEB＝90°，∴∠BAE＝∠PED．∴△ABE∽△EPD．∴，即，解得x＝．例7.如图，在Rt△ABC中，AC＝8，BC＝6，点D为斜边AB上一点，DE⊥AB交AC于点E，将△AED沿DE翻折，点A的对应点为点F．如果△EFC是直角三角形，那么AD的长为．【解析】由勾股定理得：AB＝10，（1）若∠CFE＝90°，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∴∠1+∠2＝∠B+∠A＝90°，由折叠知：∠A＝∠2，AE＝EF，∴∠1＝∠B，即CF＝BC＝6，在Rt△CEF中，由勾股定理得：CE2＝EF2+CF2，CE2＝（8﹣CE）2+62，∴CE＝，∴AE＝，由△ADE∽△ACB，得：∴AD＝；（2）当∠ECF＝90°时，点F与B重合，AD＝5；（3）当∠CEF＝90°时，则EF∥BC，∠AFE＝∠B，∵∠A＝∠AFE，∴∠A＝∠B，∴AC＝BC（与题设矛盾），∴这种情况不存在，例8.在矩形ABCD中，AB＝3，BC＝4，点E，F分别为BC，AC上的两个动点，将△CEF沿EF折叠，点C的对应点为G，若点G落