2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷

第1页（共1页）2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1．（3分）（2024•赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．2．（3分）（2024•赤峰）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×10103．（3分）（2024•赤峰）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（）A．100° B．105° C．115° D．120°4．（3分）（2024•赤峰）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a65．（3分）（2024•赤峰）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（）A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，则发挥稳定的是甲6．（3分）（2024•赤峰）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．7．（3分）（2024•赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．108．（3分）（2024•赤峰）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（）视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数3941334047A．120 B．200 C．6960 D．96009．（3分）（2024•赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．1310．（3分）（2024•赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°11．（3分）（2024•赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（）A． B． C． D．12．（3分）（2024•赤峰）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④13．（3分）（2024•赤峰）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b14．（3分）（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15．（3分）（2024•赤峰）写出一个比小的整数．16．（3分）（2024•赤峰）因式分解：3ax2﹣3a＝．17．（3分）（2024•赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．18．（3分）（2024•赤峰）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表：收割机编号A，BB，CC，DD，EA，E所需时间（小时）2319202218则收割最快的一台收割机编号是．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19．（12分）（2024•赤峰）（1）计算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．20．（10分）（2024•赤峰）如图，在△ABC中，D是AB中点．（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．21．（10分）（2024•赤峰）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：收集数据777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人11a433b111314分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表：平均数众数中位数80c78解决问题：（1）表格中的a＝；b＝；c＝；（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为分；（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．22．（12分）（2024•赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？23．（12分）（2024•赤峰）在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有；（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；（3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．24．（12分）（2024•赤峰）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．25．（14分）（2024•赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为；（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．26．（14分）（2024•赤峰）数学课上，老师给出以下条件，请同学们经过小组讨论，提出探究问题．如图1，在△ABC中，AB＝AC，点D是AC上的一个动点，过点D作DE⊥BC于点E，延长ED交BA延长线于点F．请你解决下面各组提出的问题：（1）求证：AD＝AF；（2）探究与的关系；某小组探究发现，当时，；当时，．请你继续探究：①当时，直接写出的值；②当时，猜想的值（用含m，n的式子表示），并证明；（3）拓展应用：在图1中，过点F作FP⊥AC，垂足为点P，连接CF，得到图2，当点D运动到使∠ACF＝∠ACB时，若，直接写出的值（用含m，n的式子表示）．

2024年内蒙古赤峰市中考数学试卷参考答案与试题解析一、选择题（每小题给出的选项中只有一个符合题意，请将符合题意的选项序号，在答题卡的对应位置上按要求涂黑．每小题3分，共42分）1．（3分）（2024•赤峰）在以下绿色食品、回收、节能、节水四个标志中，是轴对称图形的是（）A． B． C． D．【答案】A【解答】解：A．是轴对称图形，故本选项符合题意；B．不是轴对称图形，故本选项不合题意；C．不是轴对称图形，故本选项不合题意；D．不是轴对称图形，故本选项不合题意．故选：A．2．（3分）（2024•赤峰）央视新闻2024年5月31日报道，世界最大清洁能源走廊今年一季度累计发电超52000000000度，为我国经济社会绿色发展提供了强劲动能．将数据52000000000用科学记数法表示为（）A．5.2×109 B．0.52×1011 C．52×10﹣9 D．5.2×1010【答案】D【解答】解：52000000000＝5.2×1010．故选：D．3．（3分）（2024•赤峰）将一副三角尺（厚度不计）按如图所示摆放，使有刻度的两条边互相平行，则图中∠1的度数为（）A．100° B．105° C．115° D．120°【答案】B【解答】解：由题意得：BC∥DF，∠ACB＝45°，∠EDF＝30°，∴∠BCD＝∠EDF＝30°，∵∠BCD+∠ACB+∠ACE＝180°，∴30°+45°+∠ACE＝180°，∴∠ACE＝105°，∴∠1＝105°，故选：B．4．（3分）（2024•赤峰）下列计算正确的是（）A．a2+a3＝a5 B．（a+b）2＝a2+b2 C．a6÷a3＝a2 D．（a3）2＝a6【答案】D【解答】解：A、a2与a3不能合并，故A不符合题意；B、（a+b）2＝a2+2ab+b2，故B不符合题意；C、a6÷a3＝a3，故C不符合题意；D、（a3）2＝a6，故D符合题意；故选：D．5．（3分）（2024•赤峰）在数据收集、整理、描述的过程中，下列说法错误的是（）A．为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50 B．了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查 C．了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性 D．甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，则发挥稳定的是甲【答案】D【解答】解：A、为了解1000只灯泡的使用寿命，从中抽取50只进行检测，此次抽样的样本容量是50，故A不符合题意；B、了解某校一个班级学生的身高情况，适合全面调查，故B不符合题意；C、了解商场的平均日营业额，选在周末进行调查，这种调查不具有代表性，故C不符合题意；D、甲、乙二人10次测试的平均分都是96分，且方差S甲2＝2.5，S乙2＝2.3，因为2.3＜2.5，所以发挥稳定的是乙，故D符合题意；故选：D．6．（3分）（2024•赤峰）解不等式组时，不等式①和不等式②的解集在数轴上表示正确的是（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：，解不等式①，得：x＜2，解不等式②，得：x≥﹣3，将两个不等式的解集表示在数轴上如下：故选：C．7．（3分）（2024•赤峰）如图，是正n边形纸片的一部分，其中l，m是正n边形两条边的一部分，若l，m所在的直线相交形成的锐角为60°，则n的值是（）A．5 B．6 C．8 D．10【答案】B【解答】解：如图，直线l、m相交于点A，则∠A＝60°，∵正多边形的每个内角相等，∴正多边形的每个外角也相等，∠1＝∠2＝＝60°，∴n＝＝6．故选：B．8．（3分）（2024•赤峰）某市为了解初中学生的视力情况，随机抽取200名初中学生进行调查，整理样本数据如表．根据抽样调查结果，估计该市16000名初中学生中，视力不低于4.8的人数是（）视力4.7以下4.74.84.94.9以上人数3941334047A．120 B．200 C．6960 D．9600【答案】D【解答】解：估计该市16000名初中学生视力不低于4.8的人数为16000×＝9600（名），故选：D．9．（3分）（2024•赤峰）等腰三角形的两边长分别是方程x2﹣10x+21＝0的两个根，则这个三角形的周长为（）A．17或13 B．13或21 C．17 D．13【答案】C【解答】解：x2﹣10x+21＝0，（x﹣3）（x﹣7）＝0，解得x1＝3，x2＝7，当等腰三角形的边长是3、3、7时，3+3＜7，不符合三角形的三边关系，应舍去；当等腰三角形的边长是7、7、3时，这个三角形的周长是7+7+3＝17．故选：C．10．（3分）（2024•赤峰）如图，AD是⊙O的直径，AB是⊙O的弦，半径OC⊥AB，连接CD，交OB于点E，∠BOC＝42°，则∠OED的度数是（）A．61° B．63° C．65° D．67°【答案】B【解答】解：∵半径OC⊥AB，∴＝，∴∠AOC＝∠BOC＝42°，∴∠D＝∠AOC＝21°，∵OC＝OD，∴∠C＝∠D＝21°，∴∠OED＝∠C+∠BOC＝21°+42°＝63°．故选：B．11．（3分）（2024•赤峰）用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板；用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板．现在需要58块C型钢板、40块D型钢板，问恰好用A型钢板、B型钢板各多少块？如果设用A型钢板x块，用B型钢板y块，则可列方程组为（）A． B． C． D．【答案】C【解答】解：∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要58块C型钢板，∴3x+5y＝58；∵用1块A型钢板可制成3块C型钢板和4块D型钢板，用1块B型钢板可制成5块C型钢板和2块D型钢板，且现在需要40块D型钢板，∴4x+2y＝40．∴根据题意可列方程组．故选：C．12．（3分）（2024•赤峰）如图，△ABC中，AB＝BC＝1，∠C＝72°．将△ABC绕点A顺时针旋转得到△AB′C′，点B′与点B是对应点，点C′与点C是对应点．若点C′恰好落在BC边上，下列结论：①点B在旋转过程中经过的路径长是π；②B′A∥BC；③BD＝CD；④．其中正确的结论是（）A．①②③④ B．①②③ C．①③④ D．②④【答案】A【解答】解：∵AB＝BC，∠C＝72°，∴∠BAC＝∠C＝72°，∠ABC＝180°﹣2∠C＝36°，由旋转的性质得∠AB′C＝∠ABC＝36°，∠B'AC'＝∠BAC＝72°，∠AC′B′＝∠C＝72°，∠AC′B′＝∠ADC＝72°，AC′＝AC，∴∠AC′C＝∠C＝72°，∴∠CAC'＝36°，∴∠CAC′＝∠BAC′＝36°，∴∠B′AB＝72°﹣36°＝36°，由旋转的性质得AB′＝AB，∴，①点B在旋转过程中经过的路径长是，①说法正确；②∵∠B′AB＝∠ABC＝36°，∴B′A∥BC，②说法正确；③∵∠DC′B＝180°﹣2×72°＝36°，∴∠DC′B＝∠ABC＝36°，∴BD＝C′D，③说法正确；④∵∠BB′D＝∠ABC＝36°，∠B′BD＝∠BAC＝72°，∴△B′BD∽△BAC，∴，④说法正确；综上，①②③④都是正确的，故选：A．13．（3分）（2024•赤峰）数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，那么下列运算结果一定是正数的是（）A．a+b B．a﹣b C．ab D．|a|﹣b【答案】A【解答】解：数轴上点A，M，B分别表示数a，a+b，b，AM＝a+b﹣a＝b，原点在A，M之间，由它们的位置可得a＜0，a+b＞0，b＞0且|a|＜|b|，则a﹣b＜0，ab＜0，|a|﹣b＜0，故运算结果一定是正数的是a+b．故选：A．14．（3分）（2024•赤峰）如图，正方形ABCD的顶点A，C在抛物线y＝﹣x2+4上，点D在y轴上．若A，C两点的横坐标分别为m，n（m＞n＞0），下列结论正确的是（）A．m+n＝1 B．m﹣n＝1 C．m＝1 D．＝1【答案】B【解答】解：分别过点A和点C作y轴的垂线，垂足分别为M和N，将A，C两点的横坐标代入函数解析式得，点A坐标为（m，﹣m2+4），点C坐标为（n，﹣n2+4），所以AM＝m，MO＝﹣m2+4，CN＝n，NO＝﹣n2+4．因为四边形ABCD是正方形，所以AD＝CD，∠ADC＝90°，所以∠CDN+∠ADM＝∠ADM+∠DAM＝90°，所以∠CDN＝∠DAM．在△CDN和△DAM中，，所以△CDN≌△DAM（AAS），所以DM＝CN＝n，DN＝AM＝m，所以MN＝DM+DN＝m+n，又因为MN＝NO﹣MO＝m2﹣n2，所以m2﹣n2＝m+n，即（m+n）（m﹣n）＝m+n，因为m＞n＞0，所以m+n≠0，所以m﹣n＝1．故选：B．二、填空题（请把答案填写在答题卡对应的横线上．每小题3分，共12分）15．（3分）（2024•赤峰）写出一个比小的整数2（答案不唯一）．【答案】2（答案不唯一）．【解答】解：由于＜＜，即2＜＜3，∴比小的整数可以是2，1，0，﹣1，﹣2……故答案为：2（答案不唯一）．16．（3分）（2024•赤峰）因式分解：3ax2﹣3a＝3a（x+1）（x﹣1）．【答案】3a（x+1）（x﹣1）．【解答】解：3ax2﹣3a＝3a（x2﹣1）＝3a（x+1）（x﹣1），故答案为：3a（x+1）（x﹣1）．17．（3分）（2024•赤峰）综合实践课上，航模小组用无人机测量古树AB的高度．如图，点C处与古树底部A处在同一水平面上，且AC＝10米，无人机从C处竖直上升到达D处，测得古树顶部B的俯角为45°，古树底部A的俯角为65°，则古树AB的高度约为11.5米（结果精确到0.1米；参考数据：sin65°≈0.906，cos65°≈0.423，tan65°≈2.145）．【答案】11.5．【解答】解：由题意，知DM∥AC，DC⊥AC，∠MDA＝65°，∠MDB＝45°．过点B作BE⊥DC，垂足为E．∵BE⊥CD，BA⊥AC，DC⊥AC，∴∠C＝∠BEA＝∠CAB＝90°．∴四边形CABE是矩形．∴BE＝AC＝10米，CE＝AB．∵DM∥AC∥BE，∴∠MDB＝∠EBD＝45°，∠MDA＝∠DAC＝65°．在Rt△ACD中，∵tan∠DAC＝，∴DC＝tan∠DAC•AC＝tan65°×10≈2.145×10＝21.45（米）．在Rt△DBE中，∵tan∠DBE＝，∴DE＝tan∠DBE•AC＝tan45°×10＝1×10＝10（米）．∴AB＝DC﹣DE＝21.45﹣10＝11.45≈11.5（米）．故答案为：11.5．18．（3分）（2024•赤峰）编号为A，B，C，D，E的五台收割机，若同时启动其中两台收割机，收割面积相同的田地所需时间如表：收割机编号A，BB，CC，DD，EA，E所需时间（小时）2319202218则收割最快的一台收割机编号是C．【答案】C．【解答】解：∵A，B所需时间为23小时，B，C所需时间为19小时，∴C比A快4小时；∵B，C所需时间为19小时，C，D所需时间为20小时，∴B比D快1小时；∵C，D所需时间为20小时，D，E所需时间为22小时，∴C比E快2小时；∵D，E所需时间为22小时，A，E所需时间为18小时，∴A比D快4小时；如图所示：∴C＞E＞A＞B＞D，∴收割最快的一台收割机编号是C．故选：C．三、解答题（在答题卡上解答，答在本试卷上无效，解答时要写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．共8题，满分96分）19．（12分）（2024•赤峰）（1）计算：+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|；（2）已知a2﹣a﹣3＝0，求代数式（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）的值．【答案】（1）6；（2）2a2﹣2a+1，原式＝7．【解答】解：（1）+（π+1）0+2sin60°+|2﹣|＝3+1+2×+2﹣＝3+1++2﹣＝6；（2）（a﹣2）2+（a﹣1）（a+3）＝a2﹣4a+4+a2+3a﹣a﹣3＝2a2﹣2a+1，∵a2﹣a﹣3＝0，∴a2﹣a＝3，当a2﹣a＝3时，原式＝2（a2﹣a）+1＝2×3+1＝6+1＝7．20．（10分）（2024•赤峰）如图，在△ABC中，D是AB中点．（1）求作：AC的垂直平分线l（要求：尺规作图，不写作法，保留作图痕迹）；（2）若l交AC于点E，连接DE并延长至点F，使EF＝2DE，连接BE，CF．补全图形，并证明四边形BCFE是平行四边形．【答案】见解析．【解答】（1）解：图形如图所示：（2）证明：由作图可知AE＝EC，∵AD＝DB，∴DE∥BC，BC＝2DE，∵EF＝2DE，∴EF＝BC，∵EF∥BC，∴四边形BCFE是平行四边形．21．（10分）（2024•赤峰）某校田径队为了调动队员体育训练的积极性，计划根据成绩情况对队员进行奖励．为确定一个适当的成绩目标，进行了体育成绩测试，统计了每个队员的成绩，数据如下：收集数据777876728475918578798278767991917674758575918077757587857677整理、描述数据成绩/分72747576777879808284858791人数/人11a433b111314分析数据样本数据的平均数、众数、中位数如表：平均数众数中位数80c78解决问题：（1）表格中的a＝5；b＝2；c＝75；（2）分析平均数、众数、中位数这三个数据，如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，你认为成绩目标应定为78分，如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分；（3）学校要从91分的A，B，C，D四名队员中，随机抽取两名队员去市里参加系统培训．请利用画树状图法或列表法，求A，B两名队员恰好同时被选中的概率．【答案】（1）5；2；75．（2）78；80．（3）．【解答】解：（1）由题意得，a＝5，b＝2，c＝75．故答案为：5；2；75．（2）∵样本数据的中位数为78，∴如果想让一半左右的队员都能达到成绩目标，成绩目标应定为78分．∵平均数、众数、中位数这三个数据中，平均数最大，为80，∴如果想确定一个较高的成绩目标，这个成绩目标应定为80分．故答案为：78；80．（3）列表如下：ABCDA（A，B）（A，C）（A，D）B（B，A）（B，C）（B，D）C（C，A）（C，B）（C，D）D（D，A）（D，B）（D，C）共有12种等可能的结果，其中A，B两名队员恰好同时被选中的结果有：（A，B），（B，A），共2种，∴A，B两名队员恰好同时被选中的概率为＝．22．（12分）（2024•赤峰）一段高速公路需要修复，现有甲、乙两个工程队参与施工，已知乙队平均每天修复公路比甲队平均每天修复公路多3千米，且甲队单独修复60千米公路所需要的时间与乙队单独修复90千米公路所需要的时间相等．（1）求甲、乙两队平均每天修复公路分别是多少千米；（2）为了保证交通安全，两队不能同时施工，要求甲队的工作时间不少于乙队工作时间的2倍，那么15天的工期，两队最多能修复公路多少千米？【答案】（1）甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米；（2）15天的工期，两队最多能修复公路105千米．【解答】解：（1）由题意，设甲队平均每天修复公路x千米，则乙队平均每天修复公路（x+3）千米，则＝，∴x＝6．经检验，x＝6是原方程的解．∴x+3＝9．答：甲队平均每天修复公路6千米，则乙队平均每天修复公路9千米．（2）设甲队工作时间为m天，则乙队的工作时间为（15﹣m）天，15天的工期，两队能修复公路w千米，由题意得，w＝6m+9（15﹣m）＝﹣3m+135．又m≥2（15﹣m），∴m≥10．又﹣3＜0，∴w随x的增大而减小．∴当m＝10时，w有最大值，最大值为w＝﹣3×10+135＝105．答：15天的工期，两队最多能修复公路105千米．23．（12分）（2024•赤峰）在平面直角坐标系中，对于点M（x1，y1），给出如下定义：当点N（x2，y2），满足x1+x2＝y1+y2时，称点N是点M的等和点．（1）已知点M（1，3），在N1（4，2），N2（3，﹣1），N3（0，﹣2）中，是点M等和点的有N1（4，2），N3（0，﹣2）；（2）若点M（3，﹣2）的等和点N在直线y＝x+b上，求b的值；（3）已知，双曲线y1＝和直线y2＝x﹣2，满足y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0．若点P在双曲线y1＝上，点P的等和点Q在直线y2＝x﹣2上，求点P的坐标．【答案】（1）N1（4，2），N3（0，﹣2）；（2）b＝5；（3）（﹣4，﹣2）或（2，4）．【解答】解：（1）由M（1，3），N1（4，2）得，∴x1+x2＝y1+y2＝5．∴点N1（4，2）是点M的等和点．由M（1，3），N2（3，﹣1）得，x1+x2＝4，y1+y2＝2，∴x1+x2≠y1+y2．∴N2（3，﹣1）不是点M的等和点．由M（1，3），N3（0，﹣2）得，∴x1+x2＝y1+y2＝1．∴点N3（0，﹣2）是点M的等和点．故答案为：N1（4，2），N3（0，﹣2）．（2）由题意，设点N的横坐标为a，∵点N是点M（3，﹣2）的等和点，∴点N的纵坐标为3+a﹣（﹣2）＝a+5．∴点N的坐标为（a，a+5）．又∵点N在直线y＝x+b上，∴a+5＝a+b．∴b＝5．（3）由题意得，k＞0，双曲线分布在第一、第三象限．设直线与双曲线的交点分别为点A、B，如图，由y1＜y2的x取值范围是x＞4或﹣2＜x＜0，∴A的横坐标为4，B的横坐标为﹣2．把x＝4代入y＝x﹣2得，y＝4﹣2＝2，∴A（4，2）．把A（4，2）代入y1＝得，2＝．∴k＝8．∴反比例函数的解析式为y＝．设P（m，），点Q的横坐标为n，∵点Q是点P的等和点，∴点Q的纵坐标为m+n﹣．∴Q（n，m+n﹣）．∵点Q在直线y2＝x﹣2上，∴m+n﹣＝n﹣2．∴m﹣+2＝0．∴m＝﹣4或m＝2．经检验，m＝﹣4，m＝2是方程m﹣+2＝0的解．∴点P的坐标为（﹣4，﹣2）或（2，4）．24．（12分）（2024•赤峰）如图，△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝BC，⊙O经过B，C两点，与斜边AB交于点E，连接CO并延长交AB于点M，交⊙O于点D，过点E作EF∥CD，交AC于点F．（1）求证：EF是⊙O的切线；（2）若BM＝4，tan∠BCD＝，求OM的长．【答案】（1）见解析；（2）．【解答】（1）证明：连接OE，∵∠ACB＝90°，AC＝BC，∴∠A＝∠ABC＝45°，∴∠COE＝2∠ABC＝90°，∵EF∥CD，∴∠COE+∠OEF＝180°，∴∠FEO＝90°，∵OE是⊙O的半径，∴EF是⊙O的切线；（2）解：过M作MH⊥BC于H，则△BMH是等腰直角三角形，∵BM＝4，∴BH＝MH＝BM＝4，在Rt△CHM中，∵tan∠BCD＝＝，∴CH＝2MH＝8，∴CM＝＝4，CB＝CH+BH＝12，连接BD，∵CD是⊙O的直径，∵BD⊥BC，∴MH∥BD，∴，∴，∴DM＝2，∴OD＝＝3，∴OM＝OD﹣DM＝．25．（14分）（2024•赤峰）如图，是某公园的一种水上娱乐项目．数学兴趣小组对该项目中的数学问题进行了深入研究．下面是该小组绘制的水滑道截面图，如图1，人从点A处沿水滑道下滑至点B处腾空飞出后落入水池．以地面所在的水平线为x轴，过腾空点B与x轴垂直的直线为y轴，O为坐标原点，建立平面直角坐标系．他们把水滑道和人腾空飞出后经过的路径都近似看作是抛物线的一部分．根据测量和调查得到的数据和信息，设计了以下三个问题，请你解决．（1）如图1，点B与地面的距离为2米，水滑道最低点C与地面的距离为米，点C到点B的水平距离为3米，则水滑道ACB所在抛物线的解析式为y＝（x+3）2+；（2）如图1，腾空点B与对面水池边缘的水平距离OE＝12米，人腾空后的落点D与水池边缘的安全距离DE不少于3米．若某人腾空后的路径形成的抛物线BD恰好与抛物线ACB关于点B成中心对称．①请直接写出此人腾空后的最大高度和抛物线BD的解析式；②此人腾空飞出后的落点D是否在安全范围内？请说明理由（水面与地面之间的高度差忽略不计）；（3）为消除安全隐患，公园计划对水滑道进行加固．如图2，水滑道已经有两条加固钢架，一条是水滑道距地面4米的点M处竖直支撑的钢架MN，另一条是点M与点B之间连接支撑的钢架BM．现在需要在水滑道下方加固一条支撑钢架，为了美观，要求这条钢架与BM平行，且与水滑道有唯一公共点，一端固定在钢架MN上，另一端固定在地面上．请你计算出这条钢架的长度（结果保留根号）．【答案】（1）y＝（x+3）2+；（2）①此人腾空后的最大高度为米；抛物线BD的解析式y＝﹣（x﹣3）2+；②落点D在安全范围内，理由见解析；（3）这条钢架的长度为2米．【解答】解：（1）由题意，