四川省成都龙泉中学高三上学期12月月考数学（文）试题

成都龙泉中学2015级高三上学期12月月考试题数学（文科）第Ⅰ卷（共60分）一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.A．第一象限B．第二象限C．第三象限D．第四象限A．B．C．D．4．在区间[﹣1，3]内任取一个实数x满足log2（x﹣1）＞0的概率是（A）A． B． C． D．5.某四棱锥的三视图如图所示，该四棱锥最长棱的棱长为(C)B.eqB.eq\r(2)C.eqC.eq\r(3) D.27.已知，是两条不同的直线，，是两个不同的平面，有以下几个命题，其中正确的个数是（B）A．1B．2C．3D．49.已知一只蚂蚁在边长分别为5,12,13的三角形的边上随机爬行，则其恰在离三个顶点的距离都大于1的地方的概率为（D）A.eqA.\f(π,60)B.eqB.eq\f(3,5)C.eqC.eq\f(π,3)D.eqD.eq\f(4,5)10.给出下列四个命题：其中真命题的个数是（B）A．0 B．1 C．2 D．3A．5B．6 C．7 D．8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分．第(13)～(21)题为必考题，每个试题考生都必须作答．第(22)～(23)题为选考题，考生根据要求作答．二．填空题（本大题共4小题，每小题5分，共20分）14.圆心在直线2x﹣y﹣7=0上的圆C与y轴交于两点A（0，﹣4）、B（0，﹣2），则圆C的方程为．14.（x﹣2）2+（y+3）2=515.三、解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤．（Ⅰ）求的通项公式；19.随着医院对看病挂号的改革，网上预约成为了当前最热门的就诊方式，这解决了看病期间病人插队以及医生先治疗熟悉病人等诸多问题；某医院研究人员对其所在地区年龄在10～60岁间的n位市民对网上预约挂号的了解情况作出调查，并将被调查的人员的年龄情况绘制成频率分布直方图，如下图所示．（Ⅰ）若被调查的人员年龄在20～30岁间的市民有300人，求被调查人员的年龄在40岁以上（含40岁）的市民人数；（Ⅱ）若按分层抽样的方法从年龄在20,30以内及40,50以内的市民中随机抽取5人，再从这5人中随机抽取2人进行调研，求抽取的2人中，至多1人年龄在20,30内的概率.【答案】（Ⅰ）250；（Ⅱ）710【解析】试题分析：（Ⅰ）结合直方图求出求出满足条件的人数即可；（Ⅱ）先求出年龄在[20，30）、[40，50）内的人数，根据古典概率公式计算即可．试题解析：（Ⅰ）依题意，所求人数为3000.03×10（Ⅱ）依题意，年龄在20,30内的有3人，记为A,B,C，年龄在40,50内的有2人，记为1,2；随机抽取2人，所有可能的情况为A,B，A,C，A,1,A,2,B,C,B,1，B,2,C,1,C,2,1,2,共10种.其中年龄都在20,30内的情况为A,B，A,C，B,C，故所求概率P=1-320．已知椭圆C：eq\f(x2,a2)＋eq\f(y2,b2)＝1(a>b>0)的离心率为eq\f(\r(2),2)，点(2，eq\r(2))在C上．(1)求C的方程；(2)直线l不经过原点O且不平行于坐标轴，l与C有两个交点A，B，线段AB的中点为M，证明：直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．20．解：(1)由题意有eq\f(\r(a2－b2),a)＝eq\f(\r(2),2)，eq\f(4,a2)＋eq\f(2,b2)＝1，解得a2＝8，b2＝4.所以C的方程为eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1.(2)证明：设直线l：y＝kx＋b(k≠0，b≠0)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，M(xM，yM)．将y＝kx＋b代入eq\f(x2,8)＋eq\f(y2,4)＝1得(2k2＋1)x2＋4kbx＋2b2－8＝0.故xM＝eq\f(x1＋x2,2)＝eq\f(－2kb,2k2＋1)，yM＝k·xM＋b＝eq\f(b,2k2＋1).于是直线OM的斜率kOM＝eq\f(yM,xM)＝－eq\f(1,2k)，即kOM·k＝－eq\f(1,2).所以直线OM的斜率与直线l的斜率的乘积为定值．21.已知函数f(x)＝sinx，g(x)＝mx－eq\f(x3,6)(m为实数).(1)求曲线y＝f(x)在点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，f\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))))处的切线方程；(2)求函数g(x)的单调递减区间；(3)若m＝1，证明：当x＞0时，f(x)＜g(x)＋eq\f(x3,6).21(1)解由题意得所求切线的斜率k＝f′eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)))＝coseq\f(π,4)＝eq\f(\r(2),2).切点Peq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(π,4)，\f(\r(2),2)))，则切线方程为y－eq\f(\r(2),2)＝eq\f(\r(2),2)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(π,4))).即x－eq\r(2)y＋1－eq\f(π,4)＝0.(2)解g′(x)＝m－eq\f(1,2)x2.①当m≤0时，g′(x)≤0，则g(x)的单调递减区间是(－∞，＋∞)；②当m＞0时，令g′(x)＜0，解得x＜－eq\r(2m)或x＞eq\r(2m)，则g(x)的单调递减区间是(－∞，－eq\r(2m))，(eq\r(2m)，＋∞).(3)证明当m＝1时，g(x)＝x－eq\f(x3,6).令h(x)＝g(x)＋eq\f(x3,6)－f(x)＝x－sinx，x∈[0，＋∞)，h′(x)＝1－cosx≥0，则h(x)是[0，＋∞)上的增函数.故当x＞0时，h(x)＞h(0)＝0，即sinx＜x，f(x)＜g(x)＋eq\f(x3,6).请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.22.选修44：坐标系与参数方程已知曲线C的参数方程为x=3+10cosα,y=1+10（Ⅰ）求曲线C的极坐标方程；（Ⅱ）若直线l:sinθ−cosθ=1ρ交曲线22.【答案】（Ⅰ）ρ=6cosθ+2sinθ；（试题解析：（Ⅰ）∵曲线C的参数方程为x