北京巿通州区2026届数学高二上期末质量跟踪监视试题含解析

北京巿通州区2026届数学高二上期末质量跟踪监视试题注意事项：1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号、考场号和座位号填写在试题卷和答题卡上。用2B铅笔将试卷类型（B）填涂在答题卡相应位置上。将条形码粘贴在答题卡右上角"条形码粘贴处"。2．作答选择题时，选出每小题答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目选项的答案信息点涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案。答案不能答在试题卷上。3．非选择题必须用黑色字迹的钢笔或签字笔作答，答案必须写在答题卡各题目指定区域内相应位置上；如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新答案；不准使用铅笔和涂改液。不按以上要求作答无效。4．考生必须保证答题卡的整洁。考试结束后，请将本试卷和答题卡一并交回。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知，且，则实数的值为（）A. B.3C.4 D.62．圆心在直线上，且过点，并与直线相切的圆的方程为（）A. B.C. D.3．定义在区间上的函数满足：对恒成立，其中为的导函数，则A.B.C.D.4．已知是抛物线上的一点，是抛物线的焦点，若以为始边，为终边的角，则等于（）A. B.C. D.5．已知点P在抛物线上，点Q在圆上，则的最小值为（）A. B.C. D.6．已知四棱锥，平面PAB，平面PAB，底面ABCD是梯形，，，，满足上述条件的四棱锥的顶点P的轨迹是（）A.椭圆 B.椭圆的一部分C.圆 D.不完整的圆7．已知双曲线的左右焦点分别为、，过点的直线交双曲线右支于A、B两点，若是等腰三角形，且，则的周长为（）A. B.C. D.8．执行如图所示的程序框图，则输出的A. B.C. D.9．已知直线与平行，则a的值为（）A.1 B.﹣2C. D.1或﹣210．若圆与圆外切，则（）A. B.C. D.11．2021年小林大学毕业后，9月1日开始工作，他决定给自己开一张储蓄银行卡，每月的10号存钱至该银行卡（假设当天存钱次日到账）.2021年9月10日他给卡上存入1元，以后每月存的钱数比上个月多一倍，则他这张银行卡账上存钱总额（不含银行利息）首次达到1万元的时间为（）A.2022年12月11日 B.2022年11月11日C.2022年10月11日 D.2022年9月11日12．已知各项都为正数的等比数列，其公比为q，前n项和为，满足，且是与的等差中项，则下列选项正确的是（）A. B.C D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．直线的倾斜角的取值范围是______.14．给定点、、与点，求点到平面的距离______.15．已知O为坐标原点，，是抛物线上的两点，且满足，则______；若OM垂直AB于点M，且为定值，则点Q的坐标为__________.16．已知双曲线的左、右焦点分别为，，O为坐标原点，点M是双曲线左支上的一点，若，，则双曲线的离心率是____________三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知椭圆经过点，椭圆E的一个焦点为（1）求椭圆E的方程；（2）若直线l过点且与椭圆E交于A，B两点.求的最大值18．（12分）已知圆的半径为，圆心在直线上，点在圆上.（1）求圆的标准方程；（2）若原点在圆内，求过点且与圆相切的直线方程.19．（12分）在等差数列中，，.（1）求数列通项公式；（2）若，求数列的前项和.20．（12分）圆心在轴正半轴上、半径为2的圆与直线相交于两点且.（1）求圆的标准方程；（2）若直线，圆上仅有一个点到直线的距离为1，求直线的方程.21．（12分）已知椭圆：（）的左、右焦点分别为，焦距为，过点作直线交椭圆于两点，的周长为.（1）求椭圆的方程；（2）若斜率为的直线与椭圆相交于两点，求定点与交点所构成的三角形面积的最大值.22．（10分）已知数列满足且（1）求证：数列为等差数列，并求数列的通项公式；（2）设，求数列的前n项和为.

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、B【解析】根据给定条件利用空间向量垂直的坐标表示计算作答.详解】因，且，则有，解得，所以实数的值为3.故选：B2、A【解析】设圆的圆心，表示出半径，再由圆心到切线距离等于半径即可列出方程求得参数及圆的方程.【详解】∵圆的圆心在直线上，∴设圆心为(a，－a)，∵圆过，∴半径r＝，又∵圆与相切，∴半径r＝，则，解得a＝2，故圆心为(2，－2)，半径为，故方程为.故选：A.3、D【解析】分别构造函数，，，，利用导数研究其单调性即可得出【详解】令，，，，恒成立，，，，函数在上单调递增，，令，，，，恒成立，，函数在上单调递减，，．综上可得：，故选：D【点睛】函数的性质是高考的重点内容,本题考查的是利用函数的单调性比较大小的问题,通过题目中给定的不等式,分别构造两个不同的函数求导判出单调性从而比较函数值得大小关系．在讨论函数的性质时，必须坚持定义域优先的原则．对于函数实际应用问题，注意挖掘隐含在实际中的条件，避免忽略实际意义对定义域的影响4、D【解析】设点，取，可得，求出的值，利用抛物线的定义可求得的值.【详解】设点，其中，则，，取，则，可得，因为，可得，解得，则，因此，.故选：D.5、C【解析】先计算抛物线上的点P到圆心距离的最小值，再减去半径即可.【详解】设，由圆心，得，∴时，，∴故选：C.6、D【解析】根据题意，分析得动点满足的条件，结合圆以及椭圆的方程，以及点的限制条件，即可判断轨迹.【详解】因为平面PAB，平面PAB，则//，又面面，故可得；因为，故可得，则，综上所述：动点在垂直的平面中，且满足；为方便研究，不妨建立平面直角坐标系进行说明，在平面中，因为，以中点为坐标原点，以为轴，过且垂直于的直线为轴建立平面直角坐标系，如下所示：因为，故可得，整理得：，故动点的轨迹是一个圆；又当三点共线时，几何体不是空间几何体，故动点的轨迹是一个不完整的圆.故选：.【点睛】本题考察立体几何中动点的轨迹问题，处理的关键是利用立体几何知识，找到动点满足的条件，进而求解轨迹.7、A【解析】设，．根据双曲线的定义和等腰三角形可得，再利用余弦定理可求得，从而可得的周长.【详解】由双曲线可得设，．则，，所以，因为是等腰三角形，且，所以，即，所以，所以，，在中，由余弦定理得，即，所以，解得，的周长故选：A【点睛】关键点点睛：根据双曲线的定义求解是解题关键.8、B【解析】根据输入的条件执行循环，并且每一次都要判断结论是或否，直至退出循环.【详解】，，，；，【点睛】本题考查程序框图，执行循环，属于基础题.9、A【解析】根据题意可得，解之即可得解.【详解】解：因为直线与平行，所以，解得.故选：A.10、C【解析】求得两圆的圆心坐标和半径，结合两圆相外切，列出方程，即可求解.【详解】由题意，圆与圆可得，，因为两圆相外切，可得，解得故选：C.11、C【解析】分析可得每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为，分析首次达到1万元的值，即得解【详解】依题意可知，小林从第一个月开始，每月所存钱数依次成首项为1，公比为2的等比数列，其前n项和为.因为为增函数，且，所以第14个月的10号存完钱后，他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元，即2022年10月11日他这张银行卡账上存钱总额首次达到1万元.故选：C12、D【解析】根据题意求得，即可判断AB，再根据等比数列的通项公式即可判断C；再根据等比数列前项和公式即可判断D.【详解】解：因为各项都为正数的等比数列，，所以，又因是与的等差中项，所以，即，解得或（舍去），故B错误；所以，故A错误；所以，故C错误；所以，故D正确.故选：D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】先求出直线的斜率取值范围，再根据斜率与倾斜角的关系，即可求出【详解】可化为：，所以，由于，结合函数在上的图象，可知故答案为：【点睛】本题主要考查斜率与倾斜角的关系的应用，以及直线的一般式化斜截式，属于基础题14、【解析】先求出平面的法向量，再利用点到面的距离公式计算即可.【详解】设平面的法向量为，点到平面的距离为，，，即，令，得故答案为：.15、①.-24②.【解析】由抛物线的方程及数量积的运算可求出，设直线AB的方程为，联立抛物线方程，由根与系数的关系可求出，由圆的定义求出圆心即可.【详解】由，即解得或（舍去）.设直线AB的方程为.由，消去x并整理得,.又，，直线AB恒过定点N(6,0),OM垂直AB于点M，点M在以ON为直径圆上.|MQ|为定值，点Q为该圆的圆心，又即Q(3,0).故答案为：；16、5【解析】根据得出，设，从而利用双曲线的定义可求出，的关系，从而可求出答案.【详解】设双曲线的焦距为，则，因为，所以，因为，不妨设，，由双曲线的定义可得，所以，，由勾股定理可得，，所以，所以双曲线的离心率故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）；（2）.【解析】（1）利用代入法，结合焦点的坐标、椭圆中的关系进行求解即可；（2）根据直线l是否存在斜率分类讨论，结合一元二次方程根的判别式、根与系数关系、弦长公式、基本不等式进行求解即可.【小问1详解】依题意：，解得，，∴椭圆E的方程为；【小问2详解】当直线l的斜率存在时，设，，由得由得．由，得当且仅当，即时等号成立当直线l的斜率不存在时，，∴的最大值为18、（1）或（2）或【解析】（1）先设出圆的标准方程，利用点在圆上和圆心在直线上得到圆心坐标的方程组，进而求出圆的标准方程；（2）先利用原点在圆内求出圆的方程，设出切线方程，利用圆心到切线的距离等于半径进行求解.【小问1详解】解：设圆的标准方程为，由已知得，解得或，故圆的方程为或.【小问2详解】解：因为，，且原点在圆内，故圆的方程为，则圆心为，半径为，设切线为，即，则，解得或，故切线为或，即或即为所求.19、（1）；（2）.【解析】（1）利用等差数列的基本量，根据题意，列出方程，即可求得公差以及通项公式；（2）根据（1）中所求，结合等差数列的前项和的公式，求得，以及，再利用等比数列的前项和公式求得.【小问1详解】因为，所以，故可得，所以.【小问2详解】因为，所以.于是，令，则.显然数列是等比数列，且，公比，所以数列的前n项和.20、（1）；（2）或.【解析】（1）根据圆的弦长公式进行求解即可；（2）根据平行线的性质，结合直线与圆的位置关系进行求解即可.小问1详解】因为圆的圆心在轴正半轴上、半径为2，所以设方程为：，圆心，设圆心到直线的距离为，因为，所以有，或舍去，所以圆的标准方程为；【小问2详解】由（1）可知：，圆的半径为，因为直线，所以设直线的方程为，因为圆上仅有一个点到直线的距离为1，所以直线与该圆相离，当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.当两平行线间的距离为，于是有：，当时，圆心到直线的距离为：，不符合题意；当时，圆心到直线的距离为：：，不符合题意，此时直线的方程为.故直线方程为或.21、（1）（2）【解析】（1）根据题意可得，，再由，即可求解.（2）设直线的方程为，将直线与椭圆方程联立求得关于的方程，利用弦长公式求出，再利用点到直线的距离求出点到直线的距离，利用三角形的面积公式配方即可求解.【详解】解（1）由题意得：，，∴，∴∴椭圆的方程为(2)∵直线的斜率为，∴可设直线的方程为与椭圆的方程联立可得：①