河北省衡水市2025-2026学年高二上学期第三次调研考试数学试题

2025~2026学年度第一学期高二年级三调考试数学试卷一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.1.已知数列，则是这个数列的（）A.第5项 B.第6项 C.第7项 D.第8项【答案】B【解析】【分析】根据数列最后一项可知通项公式，即可确定解.【详解】数列通项公式为，当，解得，故选：B.【点睛】本题考查了由通项公式求数列项数，属于基础题.2.椭圆的焦点坐标为（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根据椭圆的定义进行求解即可.【详解】因为椭圆方程为，所以，所以所以焦点坐标为.故选：C.3.已知为抛物线上一点，点到抛物线焦点距离为，则（）A.2 B.1 C. D.4【答案】A【解析】【分析】根据条件，利用抛物线的定义，即可求出结果.【详解】因为到抛物线焦点的距离为，所以由抛物线定义知，，解得，故选：A.4.已知以为圆心的圆与圆相内切，则圆的方程为（）A. B.C. D.【答案】C【解析】【分析】先判断点在圆的外部，然后设所求圆的半径为r，再由求解.【详解】因为，所以点在圆的外部，设以为圆心的圆的半径为：r，则，解得，所以所求圆的方程为：.故选：C【点睛】本题主要考查圆与圆的位置关系的应用，还考查了运算求解的能力，属于基础题.5.若方程表示焦点在轴上的椭圆，则实数的取值范围是（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】根据椭圆的标准方程列不等式求解即可【详解】，解得，所以的取值范围是.故选：D.6.双曲线的两个焦点分别是与，焦距为8；M是双曲线上的一点，且，则的值为（）.A.9 B.1 C.1或9 D.2【答案】A【解析】【分析】根据焦距，可得值，根据的关系，可得值，根据双曲线定义，分类讨论，即可求得答案.【详解】因为，所以，所以，解得，根据双曲线定义可得，所以，解得或，当时，不合题意，故舍去，当时，，满足题意，综上，故选：A7.已知直线与圆相交于两点，则当取最小值时，（）A.1 B.-1 C. D.2【答案】B【解析】【分析】首先求出直线恒过定点，结合圆的性质得到当时，取得最小值，再根据垂直关系求解即可.【详解】直线化简为，即直线恒过定点.当时，取得最小值.，则直线的斜率为，解得.故选：B8.抛物线的焦点为F，其准线与双曲线的渐近线相交于A、B两点，若的周长为，则（）A.2 B. C.8 D.4【答案】A【解析】【分析】由题意设，，再由的周长为得到关于的方程，从而求得的值.【详解】双曲线渐近线方程为，抛物线的准线方程为，则，，，，又的周长为，，∴.故选：A.【点睛】本题考查双曲线的渐近线方程、抛物线的准线方程、三角形的周长等，考查函数与方程思想、转化与化归思想，考查逻辑推理能力和运算求解能力，求解时注意将周长表示成关于的方程.二、多项选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分，每小题全部选对得6分，部分选对得部分分，有选错的得0分.9.关于空间向量，以下说法正确的是（）A.空间中的三个向量，若有两个向量共线，则这三个向量一定共面B.若对空间中任意一点，有，则四点共面C.已知向量组是空间的一个基底，则也是空间的一个基底D.若，则是钝角【答案】ABC【解析】【分析】根据空间向量共面定义判断A，由共面向量定理判断B，由空间向量基本定理判断C，由向量夹角的范围判断D．【详解】A选项，由于有两个向量共线，则三个向量一定共面，A正确；B选项，中，所以四点共面，B正确；选项C，向量组是空间的一个基底，即不共面，若共面，则存在实数，使得，所以，从而，与向量组是空间的一个基底矛盾，所以不共面，C正确；选项D，时，是钝角或，D错．故选：ABC．10.圆和圆的交点为A，B，则下列结论正确的是（）A.直线AB的方程为B.C.线段AB的垂直平分线方程为D.点P为圆上的一个动点，则点P到直线AB的距离的最大值为【答案】ACD【解析】【分析】A：两个圆的方程作差即可求得公共弦所在直线方程；B：利用几何关系即可求AB弦长；C：弦AB中垂线为；D：根据几何关系，点P到直线AB的距离的最大值P到AB距离与圆半径之和.【详解】；.对于A，由与，两式作差可得，即公共弦所在直线方程为，故A正确；对于B，圆心到直线的距离，半径为，则，故B错误；对于C，圆的圆心为，圆的圆心的中垂线的斜率为，可得的中垂线方程为，即，故C正确；对于D为圆上一动点，圆心到弦AB：的距离为，半径，则到直线的距离的最大值为，故D正确.故选：ACD.11.已知是椭圆和双曲线的公共焦点是他们的一个公共点，且则以下结论正确的是（）A. B.C. D.的最小值为【答案】ABD【解析】【分析】对，设，由椭圆和双曲线的标准方程可得和，由此即可判定；对B，由题意和双曲线的定义结合余弦定理联立方程组求解即可判定；对C，由B中结论转化为离心率即可判定；对D，由C中结论，利用构造互为倒数的类型，再利用基本不等式求最值即可判定.【详解】对于，设，因为是椭圆的焦点，所以；又因为是双曲线的焦点，所以所以，故A正确；

对于B，由题意可得，两式平方整理得，

在中，由，得，即，又由，，可得，解得，故B正确；

对于C，由B可得，即，即，故C错误；

对于D，由C可得，

所以，

当且仅当时等号成立，即的最小值为，故D正确．

故选：ABD.三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.12.若，，且，则的值是____.【答案】或【解析】【分析】求出，再由得到，列式求解即可求出答案.【详解】由题意得，因为，所以，解得或故答案为：或.13.抛物线的准线方程是_______．【答案】【解析】【分析】将抛物线方程化成标准方程，判断焦点位置，求出焦准距，即得准线方程.【详解】由可得，则抛物线的焦点在轴的正半轴上，且，解得，故抛物线的准线方程为.故答案为：.14.双曲线的一条渐近线方程为，则其离心率为___________．【答案】【解析】【分析】利用双曲线的简单性质的应用和离心率的求法即可求解.【详解】双曲线的一条渐近线方程为，则，离心率，故答案为：.四、解答题：本题共5小题，共77分.15.已知圆与轴相切于点，圆心在经过点与点的直线上．（1）求圆的方程；（2）圆与圆：相交于两点，求两圆的公共弦的直线方程．【答案】（1）；（2）【解析】【分析】（1）根据直线的两点式方程，结合圆的切线性质进行求解即可；（2）根据两圆的一般方程，利用作差法进行求解即可,【小问1详解】经过点与点的直线方程为．由题意可得，圆心在直线上，由，解得圆心坐标为，故圆的半径为4．则圆的方程为；【小问2详解】∵圆的方程为即，圆：，两式作差可得两圆公共弦所在直线方程为．16.如图，在棱长为3的正方体中，分别是上的点且.（1）求证：；（2）求平面与平面的夹角的余弦值.【答案】（1）证明见解析（2）【解析】【分析】（1）建立空间直角坐标系，利用向量法证明即可；（2）求出平面和平面的法向量，利用向量法即可求解.【小问1详解】以为原点，所在直线分别为轴建立空间直角坐标系，则，，，，，，因为，所以.【小问2详解】，，，设平面的一个法向量为由，令，所以，，故，平面的一个法向量为，设平面与平面夹角为，故所以平面与平面夹角的余弦值为.17.已知点，，中恰有两个点在抛物线上，（1）求的标准方程；（2）若点，在上，且，证明：直线过定点．【答案】（1）（2）证明见详解.【解析】【分析】（1）将点坐标代入抛物线方程，取相同的值，得到标准方程；（2）设直线方程，联立方程组化简为一元二次方程，由韦达定理求得参数的值，得到直线的定点.【小问1详解】将代入抛物线方程，解得，将代入抛物线方程，解得，将代入抛物线方程，解得，根据题意可知，∴的标准方程为【小问2详解】∵，∴，∴设直线，则联立方程组得，即，∴，∴，∴，∴直线过动点.18.已知双曲线的一条渐近线方程为，焦距为.（1）求的方程；（2）过点作直线与双曲线相交于两点，且为线段的中点，求这条直线的方程.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由题意可得，进而求解即可；（2）分直线斜率不存在和存在两种情况，结合点差法求解即可.【小问1详解】由题意知，，解得，故双曲线的方程为.【小问2详解】①当过点的直线斜率不存在时，若点为的中点，则点必在轴上，这与矛盾；②当过点的直线斜率存在时，设斜率为，则直线方程为，设，因为点为线段的中点，所以，因在双曲线上，所以，则，所以，则所求直线方程为，即.经检验此时直线与双曲线有两个交点，满足题意.19.已知椭圆C：的左右焦点分别为F1，F2，直线l：y＝kx+m与椭圆C交于A，B两点．O为坐标原点．（1）若直线l过点F1，且｜AB｜＝，求k的值；(2)若以AB为直径的圆过原点O，试探究点O到直线AB的距离是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由．【答案】（1）；（2）.【解析】【分析】（1）由条件得到m=2k，设A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．由弦长公式|AB|，代入整理，解得．（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．由条件结合韦达定理得到3m2=8k2+8．利用点O到直线AB的距离公式求得d2=，从而得到定值．【详解】（1）因为直线l过点F1(-2,0)，所以m=2k即直线l的方程为y=k(x+2).设A(x1，y1)，B(x2，y2).联立整理得(1+2k2)x2+8k2x+8k2-8=0．∴x1+x2=，x1x2=．由弦长公式|AB|=，代入整理得，解得k2=1.∴．（2）设直线l方程y=kx+m，A(x1，y1)，B(x2，y2)．联立整理得(2k2+1)x2+4kmx+2m2-8=0.∴x1+x2=，x1