军校考试向量及其应用题及答案

军校考试向量及其应用题及答案

一、单项选择题（每题2分，共10题）1.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,x)\)，若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则\(x\)的值为（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(1\)D.\(-1\)2.向量\(\vec{a}=(3,4)\)的模\(\vert\vec{a}\vert\)为（）A.\(5\)B.\(7\)C.\(1\)D.\(25\)3.若\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(1,-1)\)，则\(\vec{a}-\vec{b}\)等于（）A.\((0,2)\)B.\((2,0)\)C.\((0,-2)\)D.\((-2,0)\)4.已知向量\(\vec{a}=(2,m)\)，\(\vec{b}=(-1,2)\)，且\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(m\)的值为（）A.\(1\)B.\(-1\)C.\(4\)D.\(-4\)5.向量\(\vec{a}=(1,0)\)与向量\(\vec{b}=(0,1)\)的夹角为（）A.\(0^{\circ}\)B.\(45^{\circ}\)C.\(90^{\circ}\)D.\(180^{\circ}\)6.若\(\vec{a}=(x,3)\)，\(\vec{b}=(-2,4)\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)共线，则\(x\)的值为（）A.\(\frac{3}{2}\)B.\(-\frac{3}{2}\)C.\(\frac{2}{3}\)D.\(-\frac{2}{3}\)7.已知向量\(\vec{a}=(2,-1)\)，\(\vec{b}=(-3,2)\)，则\(2\vec{a}+\vec{b}\)等于（）A.\((1,0)\)B.\((1,-2)\)C.\((-1,0)\)D.\((-1,-2)\)8.向量\(\vec{a}=(m,1)\)，\(\vec{b}=(1,-2)\)，若\(\vec{a}\perp\vec{b}\)，则\(m\)的值为（）A.\(\frac{1}{2}\)B.\(-\frac{1}{2}\)C.\(2\)D.\(-2\)9.已知\(\vert\vec{a}\vert=3\)，\(\vert\vec{b}\vert=4\)，且\(\vec{a}\)与\(\vec{b}\)的夹角为\(60^{\circ}\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A.\(6\)B.\(12\)C.\(-6\)D.\(-12\)10.若向量\(\vec{a}=(1,1)\)，\(\vec{b}=(x,1)\)，\(\vec{c}=(4,-2)\)，且\(\vec{b}\parallel\vec{c}\)，则\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)的值为（）A.\(2\)B.\(-2\)C.\(4\)D.\(-4\)二、多项选择题（每题2分，共10题）1.以下关于向量的说法正确的是（）A.零向量与任意向量平行B.向量的模一定是非负的C.若\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，\(\vec{b}\parallel\vec{c}\)，则\(\vec{a}\parallel\vec{c}\)D.相等向量的模相等2.已知向量\(\vec{a}=(1,2)\)，\(\vec{b}=(-1,3)\)，则（）A.\(\vec{a}+\vec{b}=(0,5)\)B.\(\vec{a}-\vec{b}=(2,-1)\)C.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\)D.\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{5}\)3.若向量\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则以下哪些是\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)的条件（）A.\(x_1y_2-x_2y_1=0\)B.存在实数\(\lambda\)，使得\(\vec{a}=\lambda\vec{b}\)C.\(\frac{x_1}{x_2}=\frac{y_1}{y_2}\)（\(x_2\neq0\)，\(y_2\neq0\)）D.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)4.向量的运算律包括（）A.加法交换律\(\vec{a}+\vec{b}=\vec{b}+\vec{a}\)B.加法结合律\((\vec{a}+\vec{b})+\vec{c}=\vec{a}+(\vec{b}+\vec{c})\)C.数乘分配律\(\lambda(\vec{a}+\vec{b})=\lambda\vec{a}+\lambda\vec{b}\)D.数量积交换律\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vec{b}\cdot\vec{a}\)5.已知向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，则\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert\)的计算方法有（）A.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert^2=(\vec{a}+\vec{b})^2=\vec{a}^2+2\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{b}^2\)B.若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，则\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\sqrt{(x_1+x_2)^2+(y_1+y_2)^2}\)C.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert+\vert\vec{b}\vert\)D.\(\vert\vec{a}+\vec{b}\vert=\vert\vec{a}\vert-\vert\vec{b}\vert\)6.下列向量中，与向量\(\vec{a}=(1,-1)\)垂直的向量有（）A.\((1,1)\)B.\((-1,1)\)C.\((1,-1)\)D.\((-1,-1)\)7.若\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是两个非零向量，\(\theta\)为它们的夹角，则以下说法正确的是（）A.\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)B.当\(\theta=90^{\circ}\)时，\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)C.\(\cos\theta=\frac{\vec{a}\cdot\vec{b}}{\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert}\)D.\(\vert\vec{a}\cdot\vec{b}\vert\leqslant\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\)8.已知向量\(\vec{a}=(3,-4)\)，将其单位化后的向量为（）A.\((\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)B.\((-\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)C.\((\frac{3}{5},\frac{4}{5})\)D.\((-\frac{3}{5},-\frac{4}{5})\)9.以下能表示向量的有（）A.有向线段B.坐标形式C.用字母表示（如\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)等）D.数字形式10.对于向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，\(\vec{c}\)，下列运算正确的是（）A.\(\vec{a}\cdot(\vec{b}+\vec{c})=\vec{a}\cdot\vec{b}+\vec{a}\cdot\vec{c}\)B.\((\vec{a}\cdot\vec{b})\vec{c}=\vec{a}(\vec{b}\cdot\vec{c})\)C.\(\vec{a}^2=\vert\vec{a}\vert^2\)D.\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)是一个实数三、判断题（每题2分，共10题）1.向量\(\vec{a}=(1,2)\)与向量\(\vec{b}=(2,4)\)是相等向量。（）2.零向量的方向是任意的。（）3.若\(\vec{a}\cdot\vec{b}=0\)，则\(\vec{a}\perp\vec{b}\)。（）4.向量的加法满足平行四边形法则和三角形法则。（）5.若\(\vert\vec{a}\vert=\vert\vec{b}\vert\)，则\(\vec{a}=\vec{b}\)。（）6.向量\(\vec{a}\)与\(-\vec{a}\)的模相等。（）7.两个向量的数量积结果是一个向量。（）8.若\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)是两个非零向量，且\(\vec{a}\parallel\vec{b}\)，则它们的夹角为\(0^{\circ}\)。（）9.向量\(\vec{a}=(x,y)\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)。（）10.对于向量\(\vec{a}\)，\(\vec{b}\)，若\(\vec{a}\cdot\vec{b}\lt0\)，则它们的夹角为钝角。（）四、简答题（每题5分，共4题）1.已知向量\(\vec{a}=(2,3)\)，\(\vec{b}=(-1,4)\)，求\(\vec{a}+\vec{b}\)和\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。答案：\(\vec{a}+\vec{b}=(2-1,3+4)=(1,7)\)；\(\vec{a}\cdot\vec{b}=2\times(-1)+3\times4=-2+12=10\)。2.简述向量平行和垂直的坐标表示。答案：若\(\vec{a}=(x_1,y_1)\)，\(\vec{b}=(x_2,y_2)\)，平行：\(x_1y_2-x_2y_1=0\)；垂直：\(x_1x_2+y_1y_2=0\)。3.已知向量\(\vec{a}\)的模\(\vert\vec{a}\vert=5\)，向量\(\vec{b}\)的模\(\vert\vec{b}\vert=3\)，它们的夹角为\(120^{\circ}\)，求\(\vec{a}\cdot\vec{b}\)。答案：根据\(\vec{a}\cdot\vec{b}=\vert\vec{a}\vert\vert\vec{b}\vert\cos\theta\)，这里\(\vert\vec{a}\vert=5\)，\(\vert\vec{b}\vert=3\)，\(\theta=120^{\circ}\)，\(\cos120^{\circ}=-\frac{1}{2}\)，所以\(\vec{a}\cdot\vec{b}=5\times3\times(-\frac{1}{2})=-\frac{15}{2}\)。4.如何将非零向量\(\vec{a}=(x,y)\)单位化？答案：先求\(\vec{a}\)的模\(\vert\vec{a}\vert=\sqrt{x^2+y^2}\)，单位化后的向量为\(\frac{\vec{a}}{\vert\vec{a}\vert}=(\frac{x}{\sqrt{x^2+y^2}},\frac{y}{\sqrt{x^2+y^2}})\)。五、讨论题（每题5分，共4题）1.在实际问题中，向量的加法和减法有哪些应用场景？举例说明。答案：加法如在力的合成中，多个力作用于一点，合力就是这些力的向量和；减法可用于求相对位置，如飞机从A地到B地，求相对于起始点的位移变化，用终点位置向量减去起点位置向量。2.向量的数量积在物理学中有哪些重要应用？答案：在物理学中，功的计算是力与位移的数量积。力是向量，位移也是向量，功\(W=\vec{F}\cdot\vec{s}=\vert\vec{F}\vert\vert\vec{s}\vert\cos\theta\)，\(\theta\)是力与位移的夹角，此外在计算力矩等方面也有应用。3.探讨向量的坐标表示对向量运算的简化作用。答案：向量坐标表示将向量运算转化为坐标的代数运算。如加法、减法对应坐标相加、减，数量积是对应坐标乘积之和。无需复杂的几何作图和角度计算，让向量运算更简便、准确，降低了运算难度。4.当向量的夹角为锐角、直角、钝角时，它们的数量积分别有什么特点？答案：夹角为锐角时，数量积大于\(0\)；夹角为直角时，数量积为\(0\)