复变函数复数辛几何基础测试试题

复变函数复数辛几何基础测试试题考试时长：120分钟满分：100分试卷名称：复变函数与复数辛几何基础测试试题考核对象：数学专业本科二年级学生、相关专业行业从业者题型分值分布：-判断题（10题，每题2分）总分20分-单选题（10题，每题2分）总分20分-多选题（10题，每题2分）总分20分-案例分析（3题，每题6分）总分18分-论述题（2题，每题11分）总分22分总分：100分---一、判断题（每题2分，共20分）1.每个复变函数在解析区域内都可展开为洛朗级数。2.若函数f(z)在区域D内解析，则f(z)在D内处处可导。3.留数定理适用于任何闭合曲线上的积分计算。4.复数平面上的旋转映射可以表示为f(z)=az+b（a为非零复数）。5.辛变换是保持辛形式的线性变换。6.若f(z)在z₀处解析，则f(z)在z₀的去心邻域内解析。7.所有解析函数的实部和虚部都满足拉普拉斯方程。8.辛空间中的正交变换一定是酉变换。9.复数z的辐角唯一确定，且在主值范围内为arg(z)。10.若函数f(z)在区域D内解析且不为常数，则其模|f(z)|在D内不可取最大值。二、单选题（每题2分，共20分）1.下列哪个函数在z=0处解析？A.f(z)=sin(1/z)B.f(z)=z²+2iC.f(z)=|z|D.f(z)=log(z²)2.函数f(z)=e^z在单位圆周|z|=1上的积分值为？A.0B.2πiC.πiD.-2πi3.复数z=1+i的辐角主值为？A.π/4B.3π/4C.5π/4D.7π/44.辛变换T(x)=(x₁,x₂)→(x₁,x₂+x₁)的辛形式为？A.x₁dx₁+x₂dx₂B.x₁dx₂-x₂dx₁C.x₁dx₁-x₂dx₂D.x₁dx₂+x₂dx₁5.函数f(z)=z/(z²+1)在z=i处的留数为？A.-1/2B.1/2C.-iD.i6.复平面上的映射f(z)=z²将点z=1映射为？A.1B.-1C.2D.-27.辛空间R²上的正交变换矩阵Q满足？A.QᵀQ=IB.QQᵀ=IC.QᵀQ=0D.QQᵀ=08.函数f(z)=1/z在z=0处的罗朗级数展开式中，-1/z的系数为？A.1B.-1C.0D.无穷9.若函数f(z)在区域D内解析且f(z)≠0，则f(z)的零点必为孤立点。A.正确B.错误10.辛变换的行列式为？A.1B.-1C.0D.任意实数三、多选题（每题2分，共20分）1.下列哪些是柯西-黎曼方程的等价条件？A.f(z)在区域D内解析B.u(x,y)和v(x,y)在D内可微C.u(x,y)和v(x,y)在D内连续D.∂u/∂x=∂v/∂y且∂u/∂y=-∂v/∂x2.留数定理可用于计算哪些积分？A.∮|z|¹dz（|z|=1）B.∮(z²+1)⁻¹dz（|z|=2）C.∮e^zdz（|z|=1）D.∮sin(z)/zdz（|z|=π）3.复数z=a+bi的模为？A.√(a²+b²)B.a²+b²C.|a|+|b|D.i(a+b)4.辛变换的性质包括？A.保持向量长度B.保持内积C.保持行列式为1D.保持向量正交性5.函数f(z)=z³在z=0处的泰勒级数展开式中，z的系数为？A.0B.1C.3D.66.复平面上的映射f(z)=1/z将点z=-1映射为？A.-1B.1C.-1/2D.27.辛空间R²中的向量(x₁,x₂)在变换T下的像为？A.(x₁,x₂+x₁)B.(x₁+x₂,x₂)C.(x₁,-x₂)D.(x₁,x₁+x₂)8.函数f(z)=sin(z)在z=0处的泰勒级数展开式中，z³的系数为？A.0B.1/6C.1/2D.-1/69.复变函数的解析性等价于？A.柯西-黎曼方程成立B.函数满足莫雷拉定理C.函数的实部和虚部满足拉普拉斯方程D.函数的导数在区域内连续10.辛变换的矩阵形式为？A.Qᵀ=Q⁻¹B.Qᵀ=-Q⁻¹C.det(Q)=1D.det(Q)=-1四、案例分析（每题6分，共18分）1.案例：函数f(z)=z²/(z-1)在|z|=2的积分。（1）求f(z)在z=1处的留数。（2）利用留数定理计算积分值。2.案例：辛变换T(x)=(x₁,x₂)→(x₁+x₂,x₁-x₂)。（1）验证T是否为辛变换。（2）若x=(1,2)，求T(x)的像。3.案例：复数z₁=2+i，z₂=1-i。（1）求z₁和z₂的夹角。（2）将z₁和z₂正交化，得到单位向量u和v。五、论述题（每题11分，共22分）1.论述题：论述柯西积分定理的条件和意义，并举例说明其应用。2.论述题：辛几何在物理学中有哪些应用？结合具体例子说明辛变换的物理意义。---标准答案及解析一、判断题1.×（仅解析函数在单连通区域可展开为洛朗级数）2.√（解析性等价于全导数存在）3.×（需闭合曲线包含孤立奇点）4.√（旋转映射为f(z)=e^(iθ)z）5.√（辛变换保持J(xᵀx)=J(yᵀy)）6.√（解析性局部定义）7.√（柯西积分定理推论）8.×（酉变换需保持内积，辛变换保持J形式）9.×（辐角多值性，主值范围有限）10.√（最大模原理）二、单选题1.B2.B（柯西积分定理，f(z)在|z|=1内解析）3.A4.B5.A（留数计算：1/(2i)）6.C7.A8.C9.A10.A三、多选题1.A,B,D2.B,C3.A4.A,B,C5.D6.B7.A,D8.B,D9.A,B,C10.A,C四、案例分析1.（1）留数计算：Res(f,1)=lim(z→1)(z-1)z²/(z-1)=1²=1。（2）∮|z|²dz=2πiRes(f,1)=2πi。2.（1）J=diag(1,-1)，TᵀJ=diag(1,-1)，TJTᵀ=J，故为辛变换。（2）T(1,2)=(3,-1)。3.（1）cosθ=(z₁·z₂)/(|z₁||z₂|)=(2-1)/(√5·√2)=√2/5，θ=arccos(√2/5)。（2）u=z₁/|z₁|=(2+i)/√5，v=z₂-proj<0xE1><0xB5><0xA3>z₂<u>=(1-i)-(2+i)(2+i)/(5)=(-3-4i)/5。五、论述题1.柯西积分定理：条件：f(z)在单连通区域D内解析，∮<0xE1><0xB5><0xA3>f(z)dz（|z|<0xE1><0xB5><