福建省闽侯第一中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题含解析

福建省闽侯第一中学2026届高二数学第一学期期末质量跟踪监视试题请考生注意：1．请用2B铅笔将选择题答案涂填在答题纸相应位置上，请用0．5毫米及以上黑色字迹的钢笔或签字笔将主观题的答案写在答题纸相应的答题区内。写在试题卷、草稿纸上均无效。2．答题前，认真阅读答题纸上的《注意事项》，按规定答题。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．已知F(3,0)是椭圆的一个焦点，过F且垂直x轴的弦长为，则该椭圆的方程为（）A.+=1 B.+=1C.+=1 D.+=12．等轴双曲线渐近线是（）A. B.C. D.3．若曲线的一条切线与直线垂直，则的方程为（）A. B.C. D.4．设数列的前项和为，且，则（）A. B.C. D.5．已知斜率为1的直线l过椭圆的右焦点，交椭圆于A，B两点，则弦AB的长为（）A. B.C. D.6．已知x＞0、y＞0，且1，若恒成立，则实数m的取值范围为（）A.(1,9) B.(9,1)C.[9,1] D.(∞,1)∪(9,+∞)7．焦点坐标为的抛物线的标准方程是（）A. B.C. D.8．学校开设甲类选修课3门，乙类选修课4门，从中任选3门，甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为（）A.24 B.30C.60 D.1209．在四面体中，为的中点，为棱上的点，且，则（）A. B.C. D.10．已知向量，，则向量等于（）A.（3，1，－2） B.（3，－1，2）C.（3，－1，－2） D.（－3，－1，－2）11．已知向量是两两垂直的单位向量，且，则（）A.5 B.1C.-1 D.712．下列说法正确的有（）个.①向量，，，不一定成立；②圆与圆外切③若，则数是数，的等比中项.A.1 B.2C.3 D.0二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．在中，，是线段上的点，，若的面积为，当取到最大值时，___________.14．已知正方体的棱长为2，E、F分别是棱、的中点，点P为底面ABCD内（包括边界）的一动点，若直线与平面BEF无公共点，则点P的轨迹长度为______.15．如图所示，在正方体中，点是底面内（含边界）的一点，且平面，则异面直线与所成角的取值范围为____________16．如图，E，F分别是三棱锥的棱AD，BC的中点，，，，则异面直线AB与EF所成的角为______.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知的二项展开式中所有项的二项式系数之和为，（1）求的值；（2）求展开式的所有有理项(指数为整数)，并指明是第几项18．（12分）设分别为椭圆的左右焦点，过的直线l与椭圆C相交于A，B两点，直线的倾斜角为60度，到直线l的距离为（1）求椭圆C的焦距；（2）如果，求椭圆C的方程19．（12分）某快递公司收取快递费用的标准是：重量不超过的包裹收费10元；重量超过的包裹，除收费10元之外，超过的部分，每超出（不足，按计算）需要再收费5元.该公司近60天每天揽件数量的频率分布直方图如下图所示（同一组数据用该区间的中点值作代表）.（1）求这60天每天包裹数量的平均值和中位数；（2）该公司从收取的每件快递的费用中抽取5元作为前台工作人员的工资和公司利润，剩余的作为其他费用.已知公司前台有工作人员3人，每人每天工资100元，以样本估计总体，试估计该公司每天的利润有多少元？（3）小明打算将四件礼物随机分成两个包裹寄出，且每个包裹重量都不超过，求他支付的快递费为45元的概率.20．（12分）已知函数.（1）当时，求函数在时的最大值和最小值；（2）若函数在区间存在极小值，求a的取值范围.21．（12分）为了调查某苹果园中苹果的生长情况，在苹果园中随机采摘了个苹果.经整理分析后发现，苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，如图所示，已知，.（1）若从苹果园中随机采摘个苹果，求该苹果的重量在内的概率；（2）从这个苹果中随机挑出个，这个苹果的重量情况如下.重量范围（单位：）个数为进一步了解苹果的甜度，从这个苹果中随机选出个，记随机选出的个苹果中重量在内的个数为，求随机变量的分布列和数学期望.22．（10分）冠状病毒是一个大型病毒家族，已知可引起感冒以及中东呼吸综合征（MERS）和严重急性呼吸综合征（SARS）等较严重疾病．而今年出现的新型冠状病毒（nCoV）是以前从未在人体中发现的冠状病毒新毒株．人感染了新型冠状病毒后常见体征有呼吸道症状、发热、咳嗽、气促和呼吸困难等．在较严重病例中，感染可导致肺炎、严重急性呼吸综合征、肾衰竭，甚至死亡．应国务院要求，黑龙江某医院选派医生参加援鄂医疗，该院呼吸内科有3名男医生，2名女医生，其中李亮（男）为科室主任；该院病毒感染科有2名男医生，2名女医生，其中张雅（女）为科室主任，现在院方决定从两科室中共选4人参加援鄂医疗（最后结果用数字表达）（1）若至多有1名主任参加，有多少种派法？（2）若呼吸内科至少2名医生参加，有多少种派法？（3）若至少有1名主任参加，且有女医生参加，有多少种派法？

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据已知条件求得，由此求得椭圆的方程.【详解】依题意，所以椭圆方程为.故选：C2、A【解析】对等轴双曲线的焦点的位置进行分类讨论，可得出等轴双曲线的渐近线方程.【详解】因为，若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为；若双曲线的焦点在轴上，则等轴双曲线的渐近线方程为.综上所述，等轴双曲线的渐近线方程为.故选：A.3、A【解析】两直线垂直，斜率之积为，曲线与直线相切，联立方程令.【详解】法一：直线，所以，所以切线的，设切线的方程为，联立方程，所以，令，解得，所以切线方程为.法二：直线，所以，所以切线的，，所以令，所以，带入曲线方程得切点坐标为，所以切线方程为，化简得.故选：A.4、C【解析】利用，把代入中，即可求出答案.【详解】当时，.当时，.故选：C.5、C【解析】根据题意求得直线l的方程，设，联立直线与椭圆的方程，利用韦达定理求得，再利用弦长公式即可得出答案.【详解】由椭圆知，，所以，所以右焦点坐标为，则直线的方程为，设，联立，消y得，，则，所以.即弦AB长为.故选：C.6、B【解析】应用基本不等式“1”的代换求的最小值，注意等号成立条件，再根据题设不等式恒成立有，解一元二次不等式求解集即可.【详解】由题设，，当且仅当时等号成立，∴要使恒成立，只需，故，∴.故选：B.7、D【解析】依次确定选项中各个抛物线的焦点坐标即可.【详解】对于A，的焦点坐标为，A错误；对于B，的焦点坐标为，B错误；对于C，焦点坐标为，C错误；对于D，的焦点坐标为，D正确.故选：D.8、B【解析】利用组合数计算出正确答案.【详解】甲乙两类课程都有选择的不同选法种数为.故选：B9、A【解析】利用空间向量加法运算，减法运算，数乘运算即可得到答案.【详解】如图故选：A10、B【解析】根据空间向量线性运算的坐标表示即可得出答案.【详解】解：因为，，所以.故选：B.11、B【解析】根据单位向量的定义和向量的乘法运算计算即可.【详解】因为向量是两两垂直的单位向量，且所以.故选：B12、A【解析】由向量数量积为实数，以及向量共线定理，即可判断①；求出圆心距，即可判断两圆位置关系，从而判断②；取，即可判断③【详解】对于①，与共线，与共线，故不一定成立，故①正确；对于②，圆的圆心为，半径为，圆可变形为，故其圆心为，半径为，则圆心距，由，所以两圆相交，故②错误；对于③，若，取，则数不是数的等比中项，故③错误故选：A二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、【解析】由三角形面积公式得出，设，由可得出，利用基本不等式可求出的值，利用等号成立可得出、的值，再利用余弦利用可得出的值.【详解】由题意可得，解得，设，则，可得，由基本不等式可得，当且仅当时，取得最大值，，，由余弦定理得，解得．故答案为【点睛】本题考查余弦定理解三角形，同时也考查了三角形的面积公式以及利用基本不等式求最值，在利用基本不等式求最值时，需要结合已知条件得出定值条件，同时要注意等号成立的条件，考查分析问题和解决问题的能力，属于中等题.14、【解析】取BC中点G，证明平面平面确定点P的轨迹，再计算作答.【详解】在正方体中，取BC中点G，连接，如图，因E、F分别是棱、的中点，则，而平面，平面，则有平面，因，则，而，则有四边形为平行四边形，有，又平面，平面，于是得平面，而，平面，因此，平面平面，即线段AG是点P在底面ABCD内的轨迹，，所以点P的轨迹长度为.故答案为：15、【解析】过作平面平面，得到在与平面的交线上，连接，证得平面平面，得到点在上，设正方体的棱长为，且，得到，，设与所成角为，利用向量的夹角公式，求得，结合二次函数的性质，即可求解.【详解】过作平面平面，因为点是底面内（含边界）的一点，且平面，则平面，即在与平面的交线上，连接，因为且，所以四边形是平行四边形，所以，平面，同理可证平面，所以平面平面，则平面即为，点在线段上，设正方体的棱长为，且，则，，可得，设与所成角为，则，当时，取得最小值，最小值为，当或时，取得最大值，最大值为故答案为16、【解析】取的中点，连结，由分别为的中点，可得(或其补角)为异面直线AB与EF所成的角，在求解即可.【详解】取的中点，连结由分别为的中点，则所以(或其补角)为异面直线AB与EF所成的角由分别是的中点,则，又在中,，则所以,又，所以在直角中，故答案为：三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、（1）（2）【解析】（1）由二项式系数和公式可得答案；（2）求出的通项，利用的指数为整数可得答案.【小问1详解】的二项展开式中所有项的二项式系数之和，所以.【小问2详解】，因此时，有理项，有理项是第一项和第七项.18、（1）（2）【解析】（1）求得直线的方程，利用点到直线的距离列方程，由此求得，进而求得焦距.（2）联立直线的方程和椭圆方程，化简写出根与系数关系，结合来求得，从而求得椭圆的方程.【小问1详解】依题意，直线的方程为，到的距离为，所以焦距.【小问2详解】由，消去并化简得，设，则，，，，，所以，，，，，，，，，所以，所以椭圆的方程为.19、(1)公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.(2)该公司平均每天的利润有1000元．(3).【解析】（1）对于平均数，运用平均数的公式即可；由于中位数将频率分布直方图分成面积相等的两部分，先确定中位数位于哪一组，然后建立关于中位数的方程即可求出.（2）利用每天的总收入减去工资的支出，即可得到公司每天的利润.（3）该为古典概型，根据题意分别确定总的基本事件个数，以及事件“快递费为45元”包括的基本事件个数，即可求出概率.【详解】（1）每天包裹数量的平均数为；或：由图可知每天揽50、150、250、350、450件的天数分别为6、6、30、12、6，所以每天包裹数量的平均数为设中位数为x，易知，则，解得x=260.所以公司每天包裹的平均数和中位数都为260件.（2）由（1）可知平均每天的揽件数为260，利润为(元)，所以该公司平均每天的利润有1000元（3）设四件礼物分为二个包裹E、F，因为礼物A、C、D共重（千克），礼物B、C、D共重（千克），都超过5千克，故E和F的重量数分别有，，，，共5种，对应的快递费分别为45、45、50，45，50（单位：元）故所求概率为.【点睛】主要考查了频率分布直方图的平均数，中位数求解，以及古典概型，属于中档题.20、（1）最大值为9，最小值为；（2）.【解析】（1）利用导数研究函数的单调性，进而确定在的极值、端点值，比较它们的大小即可知最值.（2）讨论参数a的符号，利用导数研究的单调性，结合已知区间的极值情况求参数a的范围即可.【小问1详解】由题，时，，则，令，得或1，则时，，单调递增；时，，单调递减；时，，单调递增.∴在时取极大值，在时取极小值，又，，综上，在区间上取得的最大值为9，最小值为.小问2详解】，且，当时，单调递增，函数没有极值；当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.∴在取得极大值，在取得极小值，则；当时，时，单调递增；时，单调递减；时，，单调递增.∴在取得极大值，在取得极小值，由得：.综上，函数在区间存在极小值时a的取值范围是.21、（1）；（2）分布列答案见解析，数学期望为.【解析】（1）利用正态密度曲线的对称性结合已知条件可求得的值；（2）分析可知，随机变量的所有可能取值为、、，计算出随机变量在不同取值下的概率，可得出随机变量的分布列，进一步可求得的值.【小问1详解】解：已知苹果的重量（单位：）近似服从正态分布，由正态分布的对称性可知，，所以从苹果园中随机采摘个苹果，该苹果的重量在内的概率为.【小问2详解】解：由题意可知，随机变量的所有可能取值为、、，，；，所以，随机变量的分布列为：所以22、（1）105种（2）105种（3）87种【解析】（1）至多有1名主任参加，包括两种情况：一种是无主任参加，另一种是只有1名主任参加，利用分类计数