2025-2026学年广东省江门市鹤山市纪元中学高二上学期第二次12月月考数学 附答案

/纪元中学2025-2026学年度第一学期高二月考数学试卷（考试时长：120分钟）一、单选题（共8小题40分）1．已知点，，若直线AB的斜率为2，则（

）A．7 B．3 C．1 D．92．已知一组数据：3，5，8，x，10的平均数为6，则该组数据的第40百分位数为（

）A．3 B．3.5 C．4 D．4.53．如图，在空间四边形中，，，，且，，则等于（

）A． B．C． D．4．直线截圆所得的弦长（

）A． B． C． D．5．已知圆与圆外切，则（

）A． B． C．7 D．136．在空间直角坐标系中，向量，，下列结论正确的是（

）．A．若，则 B．若，则C．若为锐角，则 D．若在上的投影向量为，则7．一个质地均匀的正四面体玩具的四个面上分别标有数字1，2，3，4.连续抛掷这个正四面体玩具两次，并记录每次正四面体玩具朝下的面上的数字，记事件为“第一次向下的数字为1或2”，事件为“两次向下的数字之和为奇数”，则下列结论正确的是（

）A． B．事件与事件互斥C．事件与事件相互独立 D．8．法国数学家加斯帕尔·蒙日被称为“画法几何创始人”“微分几何之父”，他发现与椭圆相切的两条互相垂直的切线的交点的轨迹是以该椭圆中心为圆心的圆，这个圆称为该椭圆的蒙日圆.若椭圆的蒙日圆的方程为，则椭圆的离心率为（

）A． B． C． D．二、多选题（共3小题18分）9．下列说法正确的有（）A．过点并且倾斜角为的直线方程为;B．斜率为，在轴上的截距为的直线方程为;C．已知直线与直线平行，则两平行线间的距离是;D．直线的一个方向向量是，则直线的斜率是．10．设椭圆的左、右焦点为是椭圆上的动点，则下列说法中正确的是（

）A．短轴长为3B．椭圆的离心率C．面积的最大值为D．以线段为直径的圆与直线相离11．在长方体中，，则（

）A．B．平面与底面ABCD夹角的余弦值为C．直线AD与平面所成角的余弦值为D．点到平面的距离为三、填空题（（共3小题18分）12．经过直线与直线的交点，且垂直于直线的直线方程为．13．如图，正四面体的棱长为1，，则．14．甲、乙、丙、丁四名同学各掷骰子5次，分别记录每次骰子出现的点数，根据四名同学的统计结果，可以判断出一定没有出现点数6的同学是________甲．平均数为3，中位数为2乙．中位数为3，众数为2丙．平均数为2，方差为2.4丁．中位数为3，方差为2.8解答题（本大题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．）15．（13分）已知椭圆的焦点为、，该椭圆经过点(1)求椭圆的标准方程；(2)若椭圆上的点满足，求.16．（15分）已知圆经过点和，且圆心在直线上.(1)求圆的标准方程；(2)过点作圆的切线，求直线的方程.17．（15分）某校高二年级半期考试测试后，为了解本次测试的情况，在整个年级中随机抽取了200名学生的数学成绩.将成绩分为，，，，，，共6组，得到如图所示的频率分布直方图.

(1)在样本中，采取等比例分层抽样的方法从成绩在内的学生中抽取15名，则成绩在的同学有几个?(2)根据图中的样本数据，假设同组中每个数据用该组区间的中点值代替，试估计本次考试的平均分和众数；(3)若年级计划对本次测试优异的同学进行表彰，且表彰人数不超过6%，根据样本数据，试估计获得表彰的同学的最低分数.18．（17分）2025年8月21日，DeepSeek在官方公众号发文称，正式发布DeepSeek-V3.1模型，此次升级也标志着国产大模型在技术迭代与商业化探索中又迈出了关键一步.为强化相关技术的落实应用能力，某公司特针对A，B两部门开展专项技能培训.(1)已知该公司A，B两部门分别有2位领导，此次培训需要从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，假设每人被抽到的可能性都相同，求这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率；(2)此次培训分三轮进行，员工甲第一轮至第三轮培训达到“优秀”的概率分别为，每轮的培训结果均相互独立，至少两轮培训达到“优秀”才算合格，求甲培训合格的概率.19．（17分）如图，在正三棱柱中，底面边长为2，侧棱长为，D是BC的中点．

(1)证明：平面；(2)求直线与平面所成角的正弦值；(3)在线段上是否存在一点E，使得点到平面ADE的距离为?若存在，请求出的值；若不存在，请说明理由．2025-2026学年度第一学期高二第二次月考数学答案题号123456789答案DDACCCCAACD题号1011答案BDBD2．D【【详解】由，得，从小到大排序为：，，所以第40百分位数为第二个和第三个数的平均数，，故选：D3．A.故选：A4．C【详解】（方法1：几何法）圆的半径r＝，圆心坐标为，圆心到直线的距离，所以.（方法2：两点距离公式）由，消去得，解得或，直线与圆的交点坐标为，，则．5．C【详解】由，可得圆的圆心，半径为，由，可得，所以圆心为，半径为，因为两圆外切，所，所以，则，解得．故选：C.6．C【详解】对于A：因为，且，所以，即，方程组无解，故不存在使得，故A错误；对于B：若，则，解得，故B错误；对于C：因为与不可能共线，若为锐角，则，解得，故C正确；对于D：因为，，若在上的投影向量为，即，则，解得，故D错误；故选：C7．C【详解】用两位数字表示连续抛掷这个正四面体得到的点数，,，事件，，事件，，对于A，，故A错误；

对于B，因为，所以事件与事件不互斥，故B错误；对于C，，，，因为，所以事件与事件相互独立，故C正确；

对于D，，，，故D错误.故选：C.8．A【详解】直线，都与椭圆相切，两直线的交点为，所以，所以，故椭圆的离心率.故选：A9．ACD【详解】选项A：过点并且倾斜角为的直线方程为，故A对；选项B：斜率为，在轴上的截距为的直线方程为，故B错；选项C：直线与直线平行，直线的方程可化为，这两条平行直线间的距离为，故C对；选项D：若直线的一个方向向量是，则直线的斜率是，故D对．故选：ACD．10.BD【详解】椭圆的长半轴长，短半轴长，半焦距，对于B，椭圆的离心率，B正确；对于C，设点纵坐标为，则，的面积，C错误；对于D，以线段为直径的圆的圆心到直线距离，直线与圆相离，D正确.故选：BD11．BD【详解】在长方体中，，以为坐标原点，建立空间直角坐标系，如图，，，，，，，，，，设平面的法向量为，则，取，得，对于A，，，则，故A错误；对于B，为平面的法向量，设平面与底面ABCD夹角为，则，所以平面与底面ABCD夹角的余弦值为，故B正确；对于C，，设直线与平面所成角为则，所以直线与平面所成角的正弦值为，所以直线AD与平面所成角的余弦值为，故C错误；对于D，，所以点到平面的距离为，故D正确．故选：BD12．【详解】联立，解得，因为所求直线与直线垂直，故所求直线的斜率为，所以所求直线方程，即故答案为：13．/0.5【详解】因为点E是棱CD的中点，所以.又因为正四面体ABCD的长为1，所以，所以.故答案为：.14．C【详解】对于A，当投掷骰子出现结果为1，1，2，5，6时，满足平均数为3，中位数为2，可以出现点数6，故A错误；对于B，当投掷骰子出现结果为2，2，3，4，6时，满足中位数为3，众数为2，可以出现点数6，故B错误；对于C，若平均数为2，且出现6点，则方差，则平均数为2，方差为时，一定没有出现点数6，故C正确；对于D，当投掷骰子出现结果为1，2，3，3，6时，满足中位数为3，平均数为，方差为，可以出现点数6，故D错误；故选：C15．【详解】（1）根据题意可设椭圆的标准方程为，由椭圆的定义可得，故，又因为，所以，因此椭圆的标准方程为.（2）由题意可得，故，，，因为，所以，解得，故.16．【详解】（1）设圆的方程为，则，解得，故圆的方程为（2）由（1）知，圆心为，半径为，若直线的斜率不存在，则直线的方程为，此时，圆心到直线的距离为，合乎题意；若直线的斜率存在，设直线的方程为，即，由题意可得，解得，此时，直线的方程为，即.综上所述，直线的方程为或.17【详解】（1）由频率分布直方图性质得，解得，所以的人数有个.（2）本次考试的平均分，由频率分布直方图得：众数为100.（3）的频率为，所以获得表彰的同学的最低分数位于内，且设为x，则，解得，即最低分数为138.18【详解】（1）记部门的2名领导为，部门的2名领导为，从这4位领导中随机选取2位分别负责第一天和第二天的工作，不同结果有：，共12种，这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天，不同结果有：，共8种，所以这两天的工作由A，B两部门的领导分别负责一天的概率为.（2）记“甲经过培训合格”，“甲第轮培训达到优秀”（），则，，依题意，，所以甲经过培训合格的概率为.19．【详解】（1）

如图，连接交于点O，连接，则点O为的中点，且D是的中点，则为的中位线，所以．又因为平面，平