北京市西城14中2026届数学高二上期末预测试题含解析

北京市西城14中2026届数学高二上期末预测试题注意事项：1．答题前，考生先将自己的姓名、准考证号填写清楚，将条形码准确粘贴在考生信息条形码粘贴区。2．选择题必须使用2B铅笔填涂；非选择题必须使用0．5毫米黑色字迹的签字笔书写，字体工整、笔迹清楚。3．请按照题号顺序在各题目的答题区域内作答，超出答题区域书写的答案无效；在草稿纸、试题卷上答题无效。4．保持卡面清洁，不要折叠，不要弄破、弄皱，不准使用涂改液、修正带、刮纸刀。一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1．若存在，使得不等式成立，则实数k的取值范围为（）A. B.C. D.2．过抛物线的焦点的直线交抛物线于不同的两点，则的值为A.2 B.1C. D.43．已知，若，则（）A. B.2C. D.e4．数学家欧拉1765年在其所著的《三角形几何学》一书中提出：任意三角形的外心、重心、垂心在同一条直线上，后人称这条直线为欧拉线.已知△ABC的顶点分别为，，，则△ABC的欧拉线方程为（）A. B.C. D.5．已知，则的大小关系为（）A. B.C. D.6．已知函数，在上随机取一个实数，则使得成立的概率为（）A. B.C. D.7．若双曲线的渐近线方程为，则实数a的值为（）A B.C.2 D.8．已知等比数列的前项和为，若公比，则＝（）A. B.C. D.9．在等差数列中，，且，，，构成等比数列，则公差（）A.0或2 B.2C.0 D.0或10．函数的图象的大致形状是（）A. B.C. D.11．若命题为“，”，则为（）A.， B.，C.， D.，12．设函数是奇函数的导函数，且，当时，，则不等式的解集为（）A. B.C. D.二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13．我国民间剪纸艺术在剪纸时经常会沿纸的某条对称轴把纸对折.现有一张半径为的圆形纸，对折次可以得到两个规格相同的图形，将其中之一进行第次对折后，就会得到三个图形，其中有两个规格相同，取规格相同的两个之一进行第次对折后，就会得到四个图形，其中依然有两个规格相同，以此类推，每次对折后都会有两个图形规格相同.如果把次对折后得到的不同规格的图形面积和用表示，由题意知，，则________；如果对折次，则________.14．根据某市有关统计公报显示，随着“一带一路”经贸合作持续深化，该市对外贸易近几年持续繁荣，2017年至2020年每年进口总额x（单位：千亿元）和出口总额y（单位：千亿元）之间一组数据如下：2017年2018年2019年2020年x1.82.22.63.0y2.02.83.24.0若每年的进出口总额x，y满足线性相关关系，则______；若计划2022年出口总额达到5千亿元，预计该年进口总额为______千亿元15．已知空间向量，，，若，，共面，则实数___________.16．容积为V圆柱形密封金属饮料罐，它的高与底面半径比值为___________时用料最省.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17．（12分）已知是抛物线上的焦点，是抛物线上的一个动点，若动点满足，则的轨迹方程.18．（12分）已知，C是圆B：（B是圆心）上一动点，线段AC的垂直平分线交BC于点P（1）求动点P的轨迹的方程；（2）设E，F为与x轴的两交点，Q是直线上动点，直线QE，QF分别交于M，N两点，求证：直线MN过定点19．（12分）p：函数在区间是递增的；q：方程有实数解.（1）若p为真命题，求m的取值范围；（2）若“”为真，“”为假，求m的取值范围.20．（12分）设抛物线的焦点为，点在抛物线上，且，椭圆右焦点也为，离心率为（1）求抛物线方程和椭圆方程；（2）若不经过的直线与抛物线交于、两点，且（为坐标原点），直线与椭圆交于、两点，求面积的最大值21．（12分）某企业新研发了一种产品，产品的成本由原料成本及非原料成本组成.每件产品的非原料成本（元）与生产该产品的数量（千件）有关，经统计得到如下数据：x12345678y56.53122.7517.815.9514.51312.5根据以上数据绘制了散点图观察散点图，两个变量间关系考虑用反比例函数模型和指数函数模型分别对两个变量的关系进行拟合.已求得用指数函数模型拟合的回归方程为，与x的相关系数.（1）用反比例函数模型求y关于x的回归方程；（2）用相关系数判断上述两个模型哪一个拟合效果更好（精确到0.001），并用其估计产量为10千件时每件产品非原料成本；（3）根据企业长期研究表明，非原料成本y服从正态分布，用样本平均数作为的估计值，用样本标准差s作为的估计值，若非原料成本y在之外，说明该成本异常，并称落在之外的成本为异样成本，此时需寻找出现异样成本的原因.利用估计值判断上述非原料成本数据是否需要寻找出现异样成本的原因？参考数据（其中）：0.340.1151.531845777.55593.0630.70513.9参考公式：对于一组数据，其回归直线的斜率和截距的最小二乘估计公式分别为：，，相关系数.22．（10分）平行六面体，（1）若，，，，，，求长；（2）若以顶点A为端点的三条棱长均为2，且它们彼此的夹角都是60°，则AC与所成角的余弦值

参考答案一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分。在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。1、C【解析】根据题意和一元二次不等式能成立可得对于，成立，令，利用导数讨论函数的单调性，即可求出.【详解】存在，不等式成立，则，能成立，即对于，成立，令，，则，令，所以当，单调递增，当，单调递减，又，所以f(x)>-3，所以.故选：C2、D【解析】本题首先可以通过直线交抛物线于不同的两点确定直线的斜率存在，然后设出直线方程并与抛物线方程联立，求出以及的值，然后通过抛物线的定义将化简，最后得出结果【详解】因为直线交抛物线于不同的两点，所以直线的斜率存在，设过抛物线的焦点的直线方程为，由可得，，因为抛物线的准线方程为，所以根据抛物线的定义可知，，所以，综上所述，故选D【点睛】本题考查了抛物线的相关性质，主要考查了抛物线的定义、过抛物线焦点的直线与抛物线相交的相关性质，考查了计算能力，是中档题3、B【解析】求得导函数，则，计算即可得出结果.【详解】,.,解得：.故选：B4、A【解析】求出重心坐标，求出AB边上高和AC边上高所在直线方程，联立两直线可得垂心坐标，即可求出欧拉线方程.【详解】由题可知，△ABC的重心为，可得直线AB的斜率为，则AB边上高所在的直线斜率为，则方程为，直线AC的斜率为，则AC边上高所在的直线斜率为2，则方程为，联立方程可得△ABC的垂心为，则直线GH斜率为，则可得直线GH方程为，故△ABC的欧拉线方程为.故选：A.5、B【解析】构造利用导数判断函数在上单调递减，利用单调性比较大小【详解】设恒成立，函数在上单调递减，.故选：B6、B【解析】首先求不等式的解集，再根据区间长度，求几何概型的概率.【详解】由，得，解得，在区间上随机取一实数，则实数满足不等式的概率为故选：B7、D【解析】由双曲线的渐近线方程结合已知可得.【详解】双曲线方程为所以渐近线为，故，解得：.故选：D8、A【解析】根据题意，由等比数列的通项公式与前项和公式直接计算即可.【详解】由已知可得.故选：A.9、A【解析】根据等比中项的性质和等差数列的通项公式建立方程，可解得公差d得选项.【详解】解：因为在等差数列中，，且，，，构成等比数列，所以，即，所以，解得或，故选：A.10、B【解析】对A，根据当时，的值即可判断；对B，根据函数在上的单调性即可判断；对C，根据函数的奇偶性即可判断；对D，根据函数在上的单调性即可判断.【详解】解：对A，当时，，故A错误；对B，的定义域为，且，故为奇函数；，当时，当时，，即，又，，故存在，故在单调递增，单调递减，单调递增，故B正确；对C，为奇函数，故C错误；对D，函数在上不单调，故D错误.故选：B.11、B【解析】特称命题的否定是全称命题，把存在改为任意，把结论否定.【详解】“，”的否命题为“，”，故选：B12、D【解析】设，则，分析可得为偶函数且，求出的导数，分析可得在上为减函数，进而分析可得上，，在上，，结合函数的奇偶性可得上，，在上，，又由即，则有或，据此分析可得答案【详解】根据题意，设，则，若奇函数，则，则有，即函数为偶函数，又由，则，则，，又由当时，，则在上为减函数，又由，则在上，，在上，，又由为偶函数，则在上，，在上，，即，则有或，故或，即不等式的解集为；故选：D二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分。13、①.②.【解析】首先根据题意得到，再计算即可；根据题意得到，再利用分组求和法求和即可.【详解】因为，，所以，所以..故答案为：；14、①.1.6；②.3.65.【解析】根据给定数表求出样本中心点，代入即可求得，取可求出该年进口总额.详解】由数表得：，，因此，回归直线过点，由，解得，此时，，当时，即，解得，所以，预计该年进口总额为千亿元.故答案为：1.6；3.6515、1【解析】根据向量共面，可设，先求解出的值，则的值可求.【详解】因为，，共面且，不共线，所以可设，所以，所以，所以，所以，故答案为：1.16、【解析】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，由，得到，进而求得表面积，结合不等式，即可求解.【详解】设圆柱的底面半径为，高为，容积为，则，即有，可得圆柱的表面积为，当且仅当时，即时最小，即用料最省，此时，可得.故答案为：.三、解答题：共70分。解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤。17、【解析】由抛物线的方程可得到焦点坐标，设，写出向量的坐标，由向量间的关系得到，将点代入物线即可得到轨迹方程.【详解】由抛物线可得：设①在上，将①代入可得：，即.【点睛】求轨迹方程，一般是求谁设谁的坐标然后根据题目等式直接求解即可，而对于直线与曲线的综合问题要先分析题意转化为等式，例如，可以转化为向量坐标进行运算也可以转化为斜率来理解，然后借助韦达定理求解即可运算此类题计算一定要仔细.18、（1）（2）证明见解析【解析】（1）根据，利用椭圆的定义求解；（2）（解法1）设，得到，的方程，与椭圆方程联立，求得M，N的坐标，写出直线的方程求解；（解法2）上同解法1，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，然后由求解；（解法3）设，由，，设：，：，其中，与椭圆方程联立，整理得，由F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，得到：求解.【小问1详解】解：由题知，则，由椭圆的定义知动点P的轨迹为以A，B为焦点，6为长轴长的椭圆，所以轨迹的方程为【小问2详解】（解法1）易知E，F为椭圆的长轴两端点，不妨设，，设，则，，于是：，：，联立得，解得或，易得，同理当，即时，：；当时，有，于是：，即综上直线MN过定点（解法2）上同解法1，得，，由对称性分析知动直线MN所过定点一定在x轴上，设所求定点为，由C，D，T三点共线，得，即，于是，整理得，由t的任意性知，即，所以直线MN过定点（解法3）设，则，，当时，直线MN即为x轴；当时，因为，所以，则，设：，：，其中，联立，得，整理得，易知F，M，N三点的横坐标为该方程的三个根，所以：，由及的任意性，知直线MN过定点19、（1）（2）或【解析】（1）依题意在区间上恒成立，参变分离可得在区间上恒成立，再利用基本不等式计算可得；（2）首先求出命题为真时参数的取值范围，再根据“”为真，“”为假，即可得到真假，或假真，从而得到不等式组，解得即可；【小问1详解】解：为真命题，即函数在区间上是递增的∴在区间上恒成立，∴在区间上恒成立，∵，当且仅当时等号成立，∴的取值范围为.【小问2详解】解：为真命题，即方程有实数解∴即∴或∵“”为真，“”为假∴真假，或假真∴或，解得或，∴的取值范围为或；20、（1）抛物线方程为，椭圆方程为（2）【解析】（1）由，可得，继而可得，故，再利用离心率，以及，即得解；（2）设直线方程为，与抛物线联立，，结合韦达定理可得，再与椭圆联立，，韦达定理代入，结合均值不等式即得解【小问1详解】由题意，解得：，故，，，，，所以抛物线方程为，椭圆方程为【小问2详解】设直线方程为，由消去得，，设，，则因，所以或（舍去），所以直线方程为由，消去得，设，，则设直线与轴交点为，则所以令，则，所以，当且仅当时，即时，取最大值21、（1）（2）反比例函数模型拟合效果更好，产量为10千件时每件产品的非原料成本约为11元，（3）见解析【解析】（1）令，则可转化为，求出样本中心，回归方程的斜率，转化求回归方程即可，（2）求出与的相关系数，通过比较，可得用反比例函数模型拟合效果更好，然后将代入回归方程中可求结果（3）利用已知数据求出样本标准差s，从而可得非原料成本y服从正态分布，再计算，然后各个数据是否在此范围内，从而可得结论【小问1详