高中数学人教B版必修5课时作业第一章检测试题

第一章检测试题(时间:90分钟满分:150分)一、选择题(本大题共10小题,每小题5分,共50分)1.在△ABC中,a,b,c分别为内角A,B,C的对边,若a=3,A=π3,b=2(A)π4 (B)(C)π4或3π4 (D)解析:因为a=3,A=π3,b=2所以由正弦定理可得sinB=bsinAa=2因为B∈(0,π),a>b,所以A>B,所以B=π42.在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,asinB=2sinC,cosC=13,△(A)3 (B)4 (C)5 (D)6解析:由asinB=2sinC,cosC=13得ab=2c,sinC=1-cos所以12absinC=12×2c×解得c=6.故选D.3.在△ABC中,AB=5,BC=6,AC=8,则△ABC的形状是(C)(A)锐角三角形 (B)直角三角形(C)钝角三角形 (D)非钝角三角形解析:因为52+6282=3<0,即AB2+BC2AC2<0.所以cos∠ABC=AB即∠ABC为钝角,所以△ABC是钝角三角形.4.老师要求同学们作一个三角形,使它的三条高分别为12,1,2(A)同学们作不出符合要求的三角形(B)能作出一个锐角三角形(C)能作出一个直角三角形(D)能作出一个钝角三角形解析:它的三条高分别为12,1,2设三角形的面积为S,设三条高线对应的边长分别为2k,k,52最大边对应的角为θ,由余弦定理可得254=4+14cosθ解之得cosθ=516因此θ为钝角,故三角形为钝角三角形.5.△ABC中,a、b、c分别为∠A、∠B、∠C的对边,若a、b、c成等差数列,∠B=30°,△ABC的面积为32(A)1+32 (B)1+(C)2+32 解析:因为a,b,c成等差数列,所以2b=a+c.平方得a2+c2=4b2-2ac.由S=12acsin30°=14ac=所以a2+c2=4b212.得cosB=a2+c2-b2解得b=1+3.6.在△ABC中,∠A=60°,b=1,S△ABC=3,则asin(A)8381 (B)2633 (C)2解析:由S△ABC=12bcsinA=3所以a=b2+c所以asinA=1337.在△ABC中,角A、B、C的对边分别为a、b、c,若(a2+c2b2)·tanB=3ac,则∠B的值为(D)(A)π6 (B)(C)π6或5π6 (D)解析:因为(a2+c2b2)tanB=3ac,所以a2+c2即cosB·tanB=sinB=32因为0<B<π,所以∠B的值为π3或28.在△ABC中,B=π4,BC边上的高等于1(A)310 (B)1010 (C)5解析:如图,设BC边上的高为AD,因为B=π4所以∠BAD=π4又AD=13所以sin∠BAC=sin(∠BAD+∠DAC)=sin45°cos∠DAC+cos45°sin∠DAC=22×55+22×2故选D.9.如图,为测量塔高AB,选取与塔底B在同一水平面内的两点C,D,在C,D两点处测得塔顶A的仰角分别为45°,30°,又测得∠CBD=30°,CD=50米,则塔高AB等于(A)(A)50米 (B)25米 (C)25米 (D)50米解析:设AB=a米,则由题意知BC=a米,BD=3a米,因为∠CBD=30°,CD=50米,所以2500=a2+3a2-2a·3a·32所以a=50.故选A.10.在△ABC中,角A,B,C所对的边分别为a,b,c,已知sinC2=10△ABC的面积为3154,且sin2A+sin2B=13(A)22 (B)3 (C)23 (D)4解析:因为cosC=12sin2C2=12×1016=所以sinC=1-cos因为S△ABC=12absinC=3又因为sin2A+sin2B=1316sin2C,则a2+b2=13由余弦定理得c2=a2+b22abcosC,可得c2=16,所以c=4.故选D.二、填空题(本大题共5小题,每小题5分,共25分)11.△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c.已知C=60°,b=6,c=3,则A=.

解析:由正弦定理bsinB=csinC得所以sinB=22又b<c,所以B<C,所以B=45°,A=180°60°45°=75°.答案:75°12.某舰艇在A处测得一遇险渔船在北偏东45°距离A处10海里的C处,此时得知,该渔船正沿南偏东75°方向以每小时9海里的速度向一小岛靠近,舰艇时速为21海里,求舰艇追上渔船的最短时间(单位:小时).

解析:设舰艇t小时后在B处追上渔船,则由题意可知AC=10,BC=9t,AB=21t,∠ACB=120°,由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2AC·BC·cos∠ACB,即441t2=100+81t2+90t,解得t=23或t=5所以舰艇追上渔船的时间为23答案:213.在△ABC中,已知b=503,c=150,∠B=30°,则边长a=.

解析:由b2=a2+c2-2ac·cosB得:(503)2=a2+1502-150a,解得a=503或a=1003.答案:503或100314.△ABC中,ac=12,S△ABC=3,R=22(R为△ABC外接圆的半径),则b=.

解析:S△ABC=12ac·sinB=3,则sinB=1由正弦定理bsinB=2R,得:b=2R·sinB=2答案:2215.在△ABC中,若∠B=60°,2b=a+c,则△ABC的形状是.

解析:由正弦定理,得:2sinB=sinA+sinC,因为∠B=60°,所以∠A+∠C=120°,∠A=120°∠C,则2sin60°=sin(120°∠C)+sinC,即:32sinC+1故sin(C+30°)=1,所以∠C=60°.故为等边三角形.答案:等边三角形三、解答题(本大题共6小题,共75分)16.(本小题满分12分)设锐角三角形ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2bsinA.(1)求∠B的大小;(2)若a=33,c=5,求△ABC的面积及b.解:(1)因为a=2bsinA,由正弦定理得sinA=2sinBsinA,由于sinA≠0,故有sinB=12又因为∠B是锐角,所以∠B=30°.(2)依题意得,S△ABC=12acsin30=12×33×5×=153由余弦定理b2=a2+c22accosB可得b2=(33)2+522×33×5×cos30°=27+2545=7,所以b=7.17.(本小题满分12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b=3,AB→·ACS△ABC=3,求A和a.解:因为AB→·AC所以bccosA=6.又S△ABC=3,所以bcsinA=6,因此tanA=1.又0<A<π,所以A=3π又b=3,所以c=22.由余弦定理a2=b2+c22bccosA,得a2=9+82×3×22×（22）所以a=29.18.(本小题满分12分)已知(a2+bc)x2+2b2△ABC的三边,(1)若∠A为钝角,试判断方程的根的情况;(2)若方程有两个相等的实根,求∠A.解:(1)因为∠A为钝角,所以cosA=b2即b2+c2<a2.此时Δ=4(b2+c2)4(a2+bc)·1=4(b2+c2a2bc).又b>0,c>0,所以Δ<0,此时方程无实根.(2)由已知得Δ=0,即b2+c2a2bc=0.所以b2+c2a2=bc.由余弦定理得,cosA=b2+c2-又∠A∈(0,π),所以∠A=π319.(本小题满分12分)如图,要测量河对岸A,B两点之间的距离,选取相距3km的C,D两点,并测得∠ACB=75°,∠BCD=∠ADB=45°,∠ADC=30°,请利用所测数据计算A,B之间的距离.解:在△ACD中,∠ACD=75°+45°=120°,所以∠CAD=30°,由正弦定理得ADsin120°=解得AD=3,在△BCD中,∠CDB=45°+30°=75°,所以∠CBD=60°,由正弦定理得3sin60°=解得BD=2,在△ABD中,由余弦定理得AB=9+2-2×20.(本小题满分13分)如图,在平面四边形ABCD中,AD=1,CD=2,AC=7.(1)求cos∠CAD的值;(2)若cos∠BAD=714,sin∠CBA=21解:(1)在△ADC中,由余弦定理,得cos∠CAD=AC故由题设知,cos∠CAD=7+1-42(2)设∠BAC=α,则α=∠BAD∠CAD.因为cos∠CAD=277,cos∠BAD=所以sin∠CAD=1=1=217sin∠BAD=1=1=321于是sinα=sin(∠BAD∠CAD)=sin∠BADcos∠CADcos∠BADsin∠CAD=32114×277（=32在△ABC中,由正弦定理,BCsinα=故BC=AC=7=3.21.(本小题满分14分)如图,在平面四边形ABCD中,DA⊥AB,DE=1,EC=7,EA=2,∠ADC=2π∠BEC=π3(1)求sin∠CED的值;(2)求BE的长.解:如题图,设∠CED=α.(1)在△CDE中,由余弦定理,得EC2=CD2+DE22CD·DE·cos∠EDC.由题设知,7=CD2+1+CD,即C